2025年中考数学复习《数与式之无理数与实数》选择题训练

第 1页（共 11页） 解析答案 填空题 1．16的平方根是 ±4 ． 【解答】解：∵42＝16，（﹣4）2＝16， ∴16的平方根是±4， 故答案为：±4． 【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2． 81的平方根是 ±3 ． 【解答】解：∵ 81 =9，32＝9，（﹣3）2＝9， ∴ 81的平方根为±3， 故答案为：±3． 【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 3．如果 x，y为实数，且满足|� + 3| + 3 − � = 0，那么 x﹣y的值是 ﹣6 ． 【解答】解：∵|� + 3| + 3 − � = 0， ∴x+3＝0，3﹣y＝0， ∴x＝﹣3，y＝3， ∴x﹣y＝﹣3﹣3＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为 0，则这几个非负数分别等于 0，并正确得 出未知数的值是解题的关键． 4．已知球体的体积� = 43�� 3，若一个球的体积是 36π，则它的半径 r＝ 3 ． 【解答】解：当 V＝36π时， 4 3 ��3 = 36�， r3＝27， r＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 5．我们知道 42 + 32 = 5，付老师又用计算器求得： 442 + 332 = 55、 4442 + 3332 = 555， 44442 + 33332 = 5555，则计算： 44⋯42 + 33⋯332（2024个 3，2024个 4）＝ 555…5（2024个 5） ． 第 2页（共 11页） 【解答】解： 42 + 32 = 5， 442 + 332 = 55， 4442 + 3332 = 555， 4442 + 3332 = 555， ……， 以此类推可知， 44⋯42 + 33⋯332（n个 3，n个 4）的值为 555…5（n个 5）， ∴ 44⋯42 + 33⋯332（2024个 3，2024个 4）的值为 555…5（2024个 5）， 故答案为：555…5（2024个 5）． 【点评】本题主要考查了数字类的规律探索，掌握规律是解题的关键． 6．以下各数中①0，②﹣π，③﹣1.5，④ 2，⑤− 67，⑥|﹣2022|，⑦1.1010010001……（每两个“1” 之间依次多 1个“0”）；属于无理数的是 ②④⑦ （填写序号） 【解答】解：|﹣2022|＝2022， 无理数是无限不循环小数，所以属于无理数的是：1.1010010001⋯（每两个“1”之间依次多 1个“0”）， −�， 2， 故答案为：②④⑦． 【点评】本题考查了无理数，即无限不循环的小数． 7．有一个数值转换器，流程如图所示．当输入 x的值为 125时，输出 y的值是 5 ． 【解答】解：当 x＝125时，3 125 =5，不是无理数，不能输出， 5是无理数，输出， ∴y= 5． 故答案为： 5． 【点评】本题主要考查算术平方根、立方根、无理数的定义，解题关键是掌握算术平方根、立方根的定 义． 8．− 5的倒数是 − 55 ； 16的平方根是 ±2 ； 3 64的算术平方根是 2 ． 第 3页（共 11页） 【解答】解：∵− 1 5 =− 55 ， 16 = 4， 3 64 = 4， ∴− 5的倒数是− 1 5 ，即是− 55 ， 16即 4的平方根是±2， 3 64即 4的算术平方根是 2， 故答案为：− 55 ，±2，2． 【点评】本题主要考查了实数的性质、平方根、立方根和算术平方根，解题关键是熟练掌握互为倒数、 平方根和算术平方根的定义． 9．如图，数轴上放了三个正方形①②③，正方形②的面积是 5 ． 【解答】解：如图， 由题意得：∠ACE＝90°，∠CDE＝90°，AC＝CE，AB＝（﹣1）﹣（﹣3）＝2，BC＝1， ∴∠ACB＝∠CED， 在△ABC和△CDE中， ∠��� = ∠���， ∠��� = ∠���， �� = ��， ∴△ABC≌△CDE（AAS）， ∴BC＝DE＝1， ∴AC2＝AB2+BC2＝22+12＝5， 即正方形②的面积是 5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解 题的关键． 10．比较大小： 第 4页（共 11页） （1） 40 ＞ 6；（2） 12 − 1 ＜ 3． 【解答】解：（1）∵6＜ 40＜7， ∴ 40＞6， 故答案为：＞； （2）∵3＜ 12＜4， ∴3 − 1＜ 12 − 1＜4 − 1， ∴2＜ 12 − 1＜3， ∴ 12 − 1＜3， 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查了实数的大小，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． 11．已知 6 + 1的整数部分为 a，小数部分为 b， �+2� 2� = 2 6−1 6 ． 【解答】解：∵2＜ 6＜3， ∴3＜ 6 + 1＜4， ∴ 6 + 1 的整数部分为 a＝3，小数部分为� = 6 + 1 − 3 = 6 − 2， ∴ �+2� 2� = 3+2( 6−2) 6 = 2 6−1 6 ， 故答案为： 2 6−1 6 ． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是找出 a＝3，� = 6 − 2，解此类题型时，根据无理 数的大致范围找出代数式的整数和小数部分是关键． 12．实数 a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简 �2 − 3 �3 − |� + �|的结果为 0 ． 【解答】解：由数轴易得 a＜0＜b，且|a|＞|b|， 则 a+b＜0， 原式＝﹣a﹣b﹣[﹣（a+b）] ＝﹣a﹣b+a+b ＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查实数运算，熟练掌握相关定义及性质是解题的关键． 13．已知一个正数的两个平方根分别是 1﹣3a和 a﹣5，则 a的值是 ﹣2 ． 第 5页（共 11页） 【解答】解：由条件可知 1﹣3a+a﹣5＝0， 解得 a＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查平方根的定义、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是关键． 14．a1＝1+ 1 12 + 1 22，a2＝1+ 1 22 + 1 32，a3＝1+ 1 32 + 1 42，…，an＝1+ 1 �2 + 1 (�+1)2，其中 n为正整数，则 �1 + �2 + �3 +⋯+ �2023的值是 4096575 2024 ． 【解答】解：∵�1 = 1 + 1 12 + 1 22 = ( 3 2 ) 2，�2 = 1 + 1 22 + 1 32 = ( 7 6 ) 2，�3 = 1 + 1 32 + 1 42 = ( 13 12 ) 2， �� = 1 + 1 �2 + 1 (�+1)2 = [ �(�+1)+1 �(�+1) ] 2， ∴ �1 + �2 + �3 +⋯ + �2023 = 3 2+ 7 6+ 13 12 +⋯+ 2023×2024+1 2023×2024 ， = 1 + 12+ 1 + 1 6+ 1 + 1 12 +⋯+ 1 + 1 2023×2024 = 2023 + (1 − 12 + 1 2 − 1 3 + 1 3 − 1 4 +⋯+ 1 2023 − 1 2024 ) = 2023 + 1 − 12024 = 40965752024 ． 故答案为： 4096575 2024 ． 【点评】本题考查算术平方根，正确进行计算是解题关键． 15．已知实数 x、y满足 � − 1 + � + 2 = 0，则（x+y）2024的值为 1 ． 【解答】解：根据题意得 � − 1 ≥ 0， � + 2 ≥ 0， ∴x﹣1＝0，y+2＝0， ∴x＝1，y＝﹣2， ∴（x+y）2024＝（1﹣2）2024＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了非负数的性质：算术平方根，代数式求值，熟练掌握非负数的性质是解题的关 键． 16．如果3 � + 3 = 2，则（x+3）2的平方根是 ±8 ． 【解答】解：由条件可知 x+3＝8， ∴x＝5， 第 6页（共 11页） ∴（x+3）2＝64， ∴64的平方根是± 64 =± 8， 故答案为：±8． 【点评】本题考查的是平方根、立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是正确解决本题的关键． 17．计算器上的三个按键 x2、 1 � 、 �的功能分别是：x2将屏幕显示的数变成它的平方； 1 � 将屏幕显示的数变 成它的倒数； �将屏幕显示的数变成它的算术平方根．小蕊输入一个数﹣2后，依次按照如图所示的三 步循环重复按键，则第 2023次按键后，显示的结果是 4 ． 【解答】解：输入一个数﹣2后， 第一步的结果为（﹣2）2＝4， 第二步的结果为 1 4 ， 第三步的结果为 1 4 = 1 2， 第四步的结果为( 12 ) 2 = 14， 第五步的结果为 1 1 4 = 4， 第六步的结果为 4 = 2， 第七步的结果为 22＝4， 由此可知，运算的结果六步为一个周期， ∴2023÷6＝337⋯1， ∴第 2023次按键后，显示的结果是 4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了计算器，通过列举例子发现规律是解题的关键． 18．若 m是无理数，且 1＜m＜2，请写出一个符合条件的 m： 2（答案不唯一） ． 【解答】解：∵1＜ 2＜2， ∴符合条件的 m可以是 2， 故答案为： 2（答案不唯一）． 【点评】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用无理数的定义进行求解． 第 7页（共 11页） 19．在 1， 2， 3，…， 50这 50 个数中，有理数的个数为 m，无理数的个数为 n，则 m﹣n＝ ﹣ 36 ． 【解答】解：发现规律：50个数中有 7个有理数， ∴m＝7， ∴n＝50﹣7＝43， ∴m﹣n＝7﹣43＝﹣36， 故答案为：﹣36． 【点评】本题考查了无理数的定义，算术平方根，发现规律是关键． 20．已知 a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的倒数等于它本身，则 �+� �2 − �� + �的立方根为 0或3 −2 ． 【解答】解：由条件可知 a+b＝0．cd＝1，以 m＝±1． m＝1时， �+� �2 − �� + � = 0 − 1 + 1 = 0， 所以 �+� �2 − �� + �的立方根是 0； ②m＝﹣1时， �+� �2 − �� + � = 0 − 1 − 1 =− 2， 所以 �+� �2 − �� + �的立方根为3 −2． 综上所述， �+� �2 − �� + �的立方根是 0或3 −2． 故答案为：0或3 −2． 【点评】此题考查立方根，代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键． 21．若 a、b均为整数，当 x= 5 −1时，代数式 x2+ax+b的值为 0，则 ab的算术平方根为 1 4 ． 【解答】解：当 x= 5 −1时，代数式 x2+ax+b的值为 0， ∴（ 5 −1）2+a（ 5 −1）+b＝0， 6﹣2 5 + 5a﹣a+b＝0， ∵a、b均为整数， ∴6﹣a+b＝0，﹣2 5 + 5a＝0， ∴a＝2，b＝﹣4， ∴ab＝2﹣4= 116， ∴则 ab的算术平方根为： 116 = 1 4， 第 8页（共 11页） 故答案为： 1 4 ． 【点评】此题考查了完全平方公式和算术平方根的定义，通过化简代入并根据整数的性质求出 a、b的 值，再根据负整数指数幂和算术平方根得出结论． 22．四个互不相等的实数 a，b，c，m在数轴上的对应点分别为 A，B，C，M，其中 a＝4，b＝7，c为整 数，m＝0.2（a+b+c）． （1）若 c＝10，则 A，B，C中与 M距离最小的点为 点 A ； （2）若在 A，B，C中，点 C与点 M的距离最小，则符合条件的点 C有 3 个． 【解答】解：（1）m＝0.2（4+7+10）＝4.2．AM＝4.2﹣4＝0.2，BM＝7﹣4.2＝2.8，CM＝10﹣4.2＝5.8， 所以 A，B，C中与 M距离最小的点为 A． 故答案为：点 A． （2）m＝0.2（4+7+c）＝2.2+0.2c． ①当 c＝1时，m＝2.4．AM＝1.6 BM＝4.6，CM＝1.4，此时 CM最小． ②当 c＝2时，m＝2.6．AM＝1.4 BM＝4.4，CM＝0.6，此时 CM最小． ③当 c＝3时，m＝2.8．AM＝1.2 BM＝4.2，CM＝0.2此时 CM最小； 所以符合条件的点 C有 3个． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说， 当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 23．已知 � − 1 + (�� − 2)2 = 0，则 1 �� + 1 (�+1)(�+1) + ⋯ + 1 (�+2008)(�+2008) 的值为 2009 2010 ． 【解答】解：根据非负数性质可知 a﹣1＝0且 ab﹣2＝0 解得 a＝1 b＝2 则原式= 11×2 + 1 2×3 +⋯+ 1 2009×2010 裂项得 1 − 12+ 1 2− 1 3+ 1 3− 1 4+⋯+ 1 2009 − 1 2010 = 1 − 1 2010 = 2009 2010； 故答案为 2009 2010 【点评】此题考查了非负数的性质，遇到此类题目可以观察公式特征用裂项的方法，相抵消． 24．如图，周长为 14的长方形 ABCD，其顶点 A、B在数轴上，且点 A对应的数为﹣1，CD＝6，若将长 方形 ABCD沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过 2023次翻滚后到达数轴上的点 P，则 P点所对应的数 为 7083 ． 第 9页（共 11页） 【解答】解：长方形的周长是 14，长为 6，则宽为 1，点 A对应﹣1，点 B 对应 5． 翻滚 1次到达数轴上的点对应 6，翻滚 2次到达数轴上的点对应 12； 翻滚 3次到达数轴上的点对应 13，翻滚 4次到达数轴上的点对应 19； 翻滚 5次到达数轴上的点对应 20，翻滚 6次到达数轴上的点对应 26； •••••• 翻滚 2021次到达数轴上的点对应 7076，翻滚 1次到达数轴上的点对应 7082； 翻滚 2023次到达数轴上的点对应 7083，故点 P对应的数是 7083． 故答案为：7083． 【点评】本题考查的是数轴的一个知识，解题的关键是找到规律． 25．我们把不超过实数 x的最大整数称为 x的整数部分，记作[x]，又把 x﹣[x]称为 x的小数部分，记作{x}， 则有 x＝[x]+{x}．如：[2.4]＝2，{2.4}＝0.4，2.4＝[2.4]+{2.4}；[﹣2.4]＝﹣3，{﹣2.4}＝0.6，﹣2.4＝[﹣ 2.4]+{﹣2.4}，则下列说法正确的是 ① （填序号）． ①[1 − 5] =− 2； ②如[ 12�+ 1] =− 2，则实数 m的取值范围是﹣6≤m＜4； ③若 1＜|x|＜2且{�} = 2 − 1，则� =± 2； ④方程 5[x]+2＝{x}+4x的实数解有 4个． 【解答】解：①∵2＜ 5＜3， ∴﹣3＜ − 5＜ −2， ∴﹣2＜1− 5＜ −1， ∴[1− 5]＝﹣2， 因此①是正确的； ②∵[ 12�+ 1] =− 2， ∴﹣2≤ 12m+1＜﹣1， 解得﹣6≤m＜﹣4， 第 10页（共 11页） 因此②是错误的； ③∵1＜|x|＜2， ∴当 x＜0时，﹣2＜x＜﹣1， ∴[x]＝﹣2， ∵{x}= 2 − 1， ∴x＝[x]+{x}＝﹣2+ 2 −1＝﹣3+ 2， ∴当 x＞0时，1＜x＜2， ∴[x]＝1， ∵{x}= 2 − 1， ∴x＝[x]+{x}＝1+ 2 −1= 2， 综上，x的值为﹣3+ 2或 2， 因此③是错误的； ④∵x＝[x]+{x}，5[x]+2＝{x}+4x， ∴5[x]+2＝{x}+4[x]+4{x}， ∴5{x}＝[x]+2， ∵0≤{x}＜1， ∴0≤5{x}＜5， ∴0≤[x]+2＜5， ∴﹣2≤[x]＜3，则[x]的值为﹣2或﹣1或 0或 1或 2， 当[x]＝﹣2时，5{x}＝﹣2+2＝0， ∴{x}＝0， ∴x＝[x]+{x}＝﹣2+0＝﹣2； 当[x]＝﹣1时，5{x}＝﹣1+2＝1， ∴{x}＝0.2， ∴x＝[x]+{x}＝﹣1+0.2＝﹣0.8； 当[x]＝0时，5{x}＝0+2＝2， ∴{x}＝0.4， ∴x＝[x]+{x}＝0+0.4＝0.4； 当[x]＝1时，5{x}＝1+2＝3， ∴{x}＝0.6， 第 11页（共 11页） ∴x＝[x]+{x}＝1+0.6＝1.6； 当[x]＝2时，5{x}＝2+2＝4， ∴{x}＝0.8， ∴x＝[x]+{x}＝2+0.8＝2.8， 综上，方程 5[x]+2＝{x}+4x的实数解有﹣2，﹣0.8，0.4，1.6，2.8，共 5个， 因此④是错误的． 故答案为：①． 【点评】此题是代数综合题，主要考查与实数有关的新定义问题，涉及的知识点有估算无理数的大小，不 等式的性质及解一元一次不等式组等，理解题意并根据题意解答是关键，需要注意分类讨论思想的运用． 中考数学第一轮复习 填空题练习 数与式之无理数与实数 填空题： 1．16的平方根是 　 　． 2．的平方根是 　 　． 3．如果x，y为实数，且满足，那么x﹣y的值是 　 　． 4．已知球体的体积，若一个球的体积是36π，则它的半径r＝　 　． 5．我们知道，付老师又用计算器求得：、，，则计算：（2024个3，2024个4）＝　 　． 6．以下各数中①0，②﹣π，③﹣1.5，④，⑤，⑥|﹣2022|，⑦1.1010010001……（每两个“1”之间依次多1个“0”）；属于无理数的是 　 　（填写序号） 7．有一个数值转换器，流程如图所示．当输入x的值为125时，输出y的值是 　 　． 8．的倒数是 　 　；的平方根是 　 　；的算术平方根是 　 　． 9．如图，数轴上放了三个正方形①②③，正方形②的面积是　 　． 10．比较大小： （1） 　 　6；（2） 　 　3． 11．已知的整数部分为a，小数部分为b，　 　． 12．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为　 　． 13．已知一个正数的两个平方根分别是1﹣3a和a﹣5，则a的值是　 　． 14．a1＝1，a2＝1，a3＝1，…，an＝1，其中n为正整数，则的值是 　 　． 15．已知实数x、y满足，则（x+y）2024的值为 　 　． 16．如果，则（x+3）2的平方根是　 　． 17．计算器上的三个按键x2、、的功能分别是：x2将屏幕显示的数变成它的平方；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的算术平方根．小蕊输入一个数﹣2后，依次按照如图所示的三步循环重复按键，则第2023次按键后，显示的结果是 　 　． 18．若m是无理数，且1＜m＜2，请写出一个符合条件的m：　 　． 19．在，，，…，这50个数中，有理数的个数为m，无理数的个数为n，则m﹣n＝ 　 　． 20．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的倒数等于它本身，则的立方根为 　 　． 21．若a、b均为整数，当x1时，代数式x2+ax+b的值为0，则ab的算术平方根为　 　． 22．四个互不相等的实数a，b，c，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，M，其中a＝4，b＝7，c为整数，m＝0.2（a+b+c）． （1）若c＝10，则A，B，C中与M距离最小的点为 　 　； （2）若在A，B，C中，点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有 　 　个． 23．已知，则的值为　 　． 24．如图，周长为14的长方形ABCD，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为﹣1，CD＝6，若将长方形ABCD沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2023次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 　 　． 25．我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}，则有x＝[x]+{x}．如：[2.4]＝2，{2.4}＝0.4，2.4＝[2.4]+{2.4}；[﹣2.4]＝﹣3，{﹣2.4}＝0.6，﹣2.4＝[﹣2.4]+{﹣2.4}，则下列说法正确的是 　 　（填序号）． ①； ②如，则实数m的取值范围是﹣6≤m＜4； ③若1＜|x|＜2且，则； ④方程5[x]+2＝{x}+4x的实数解有4个． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$