18.2.1 矩形（第2课时 矩形的判定）（分层作业）-【上好课】八年级数学下册同步高效课堂(人教版)

18.2.1矩形（第2课时 矩形的判定）（分层作业） 基础训练 1．下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（　　） A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B．有三个角是直角 C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形 D．一组对边平行，另一组对边相等 2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD 3．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A． B． C． D． 4．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 5．如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是 　 　． 6．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝3，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长度为 　 　． 7．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 　 　． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，使AE＝BD，连接BE．求证：四边形AEBD是矩形． 9．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分别为E，F．求证：四边形AFCE是矩形． 10．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，∠1＝∠2. 求证：四边形ABCD是矩形． 能力提升 11．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．根据图中所标示的数据，再添加下列一个条件，其中能使四边形ABCD为矩形的条件有①OB＝5；②OD＝5；③∠ADC＝90°．（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的只有（　　） A．AC＝BD B．AB＝6，BC＝8，AC＝10 C．AC⊥BD D．∠1＝∠2 13．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点．若四边形EMFN是矩形，则原四边形ABCD应满足的条件是（　　） A．AC⊥BD B．∠ABC+∠DCB＝90° C．AC＝BD D．AB＝CD 14．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 　 　（写出一个即可）． 15．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OB＝OC＝OD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若AB＝5，BE＝7，求CE的长． 16．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 　 　时，四边形ACBD为矩形，并说明理由. 17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形． 拔高拓展 18．如图，在矩形ABCD中，AD＝12cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以4cm/s的速度从点C出发．在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为 　 　． 19．如图，在△ABC中，直线MN以每秒1个单位的速度从△ABC的边BD位置出发，沿CA方向平移，交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACD的角平分线于点F．若AC＝6，则当运动了　　秒时，四边形AECF是矩形，并说明理由. 20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.2.1矩形（第2课时 矩形的判定）（分层作业） 基础训练 1．下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（　　） A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B．有三个角是直角 C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形 D．一组对边平行，另一组对边相等 【解答】解：A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角的四边形是矩形，故A不符合题意； B．有三个角是直角的四边形是矩形，故B不符合题意； C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形是矩形，故C不符合题意； D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是梯形，故D符合题意． 故选：D． 【小结】本题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD 【解答】解：A、AB∥DC，AB＝CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； C、AC＝BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； D、OA＝OB＝OC＝OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确； 故选：D． 【小结】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型． 3．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3， ∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题意； B、∵∠A＝∠B＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠A＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意； D、∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝5， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 【小结】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 4．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【解答】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故选：A． 【小结】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解答本题的关键． 5．如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是 　对角线相等的平行四边形为矩形　． 【解答】解：依题意，∵两组对边分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， 则只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是对角线相等的平行四边形为矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形为矩形． 【小结】本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是关键． 6．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝3，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长度为 　3　． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴当OB＝OA，即AC＝BD时，▱ABCD为矩形， 此时OB的长度为3． 故答案为：3． 【小结】本题主要考查了矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键． 7．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 　有一个角为直角的平行四边形是矩形．　． 【解答】解：∵在一边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次得到的两条边平行， ∴得到了一个平行四边形， ∵与两边分别垂直， ∴就能得到矩形踏板， 故答案为：有一个角为直角的平行四边形是矩形． 【小结】考查了矩形的判定以及平行四边形的判定与性质，熟记矩形的判定方法是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，使AE＝BD，连接BE．求证：四边形AEBD是矩形． 【解答】证明：∵AE∥BC，AE＝BD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴四边形AEBD是矩形． 【小结】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分别为E，F．求证：四边形AFCE是矩形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵AE⊥CD，CF⊥AB， ∴∠AFC=∠AEC=90°， ∴∠FCE=∠EAF=90°， ∴四边形AFCE是矩形． 【小结】本题考查了平行四边形的性质及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 10．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，∠1＝∠2. 求证：四边形ABCD是矩形． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴BO＝CO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO. ∴AC＝2CO，BD＝2BO. ∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形． 【小结】本题考查了矩形的判定与平行四边形的性质． 能力提升 11．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．根据图中所标示的数据，再添加下列一个条件，其中能使四边形ABCD为矩形的条件有①OB＝5；②OD＝5；③∠ADC＝90°．（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：∵∠ABC＝90°，AO＝CO＝5， ∴，AC＝10， ①添加OD＝5， 则BO＝DO，BD＝10， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又AC＝BD＝10， ∴平行四边形ABCD为矩形； ②添加∠ADC＝90°， 则， ∴BO＝DO，BD＝10， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又AC＝BD＝10， ∴平行四边形ABCD为矩形； 添加OB＝5，无法得到对角线互相平分，无法推出平行四边形ABCD为矩形； 故选：C． 【小结】本题考查了直角三角形的性质和矩形的判定，熟练掌握该知识点是关键． 12．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的只有（　　） A．AC＝BD B．AB＝6，BC＝8，AC＝10 C．AC⊥BD D．∠1＝∠2 【解答】解：A、正确．对角线相等的平行四边形是矩形． B、正确．∵AB＝6，BC＝8，AC＝10， ∴AB2+BC2＝62+82＝102， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形． C、错误．对角线垂直的平行四边形不一定是矩形， D、正确，∵∠1＝∠2， ∴AO＝BO， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形． 故选：C． 【小结】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 13．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点．若四边形EMFN是矩形，则原四边形ABCD应满足的条件是（　　） A．AC⊥BD B．∠ABC+∠DCB＝90° C．AC＝BD D．AB＝CD 【解答】解：∵E，F，N，M分别是AD，BC，BD，AC的中点， ∴AE＝DE，BN＝DN，AM＝CM，BF＝CF， ∴EN、NF、FM、EM分别为△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线， ∴，，，，EN∥AB，FN∥CD， ∴EN＝FM，FN＝EM， ∴四边形EMFN为平行四边形， 当AB⊥CD时，EN⊥FN，则此时平行四边形EGFH为矩形， 而当∠ABC+∠DCB＝90°可证明AB⊥CD， 故选：B． 【小结】本题考查的是三角形中位线定理、矩形的判定，熟练掌握三角形中位线定理、矩形的判定定理是解题的关键． 14．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 　∠AEC＝90°（答案不唯一）　（写出一个即可）． 【解答】解：添加一个条件是∠AEC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点， ∴AF∥EC，AO＝CO， ∴∠FAO＝∠ECO， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝EC， 又∵AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠AEC＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 故答案为：∠AEC＝90°（答案不唯一）． 【小结】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定是解决问的关键． 15．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OB＝OC＝OD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若AB＝5，BE＝7，求CE的长． 【解答】解：如图，连接DE， ∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝DB， ∴四边形ABCD是矩形， ∵在矩形ABCD中，OB＝OD，OE⊥BD， ∴OE垂直平分BD， ∴BE＝DE＝7， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝5， ∴在Rt△CDE中，根据勾股定理，得DE2＝CD2+CE2， 即CE2＝72﹣52， 解得：． 故CE的长为． 【小结】本题考查了矩形的性质和判定、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 16．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 　O是AB的中点　时，四边形ACBD为矩形，并说明理由. 【解答】解：添加条件为：O是AB的中点，理由如下： ∵CD∥MN， ∴∠OCB＝∠CBM， ∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC＝∠CBM， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴OC＝OB， 同理可证：OB＝OD， ∴OB＝OC＝OD， ∵O是AB的中点， ∴OA＝OB， ∴四边形ACBD是平行四边形， ∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB， ∴AB＝CD， ∴平行四边形ACBD是矩形， 【小结】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BEOB，DFOD， ∴BE＝DF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）证明：∵AC＝2OA，AC＝2AB， ∴AB＝OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG＝90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， ∵EG＝AE，OA＝OC， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG， ∴EF∥CG， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG＝90°， ∴四边形EGCF是矩形． 【小结】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 拔高拓展 18．如图，在矩形ABCD中，AD＝12cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以4cm/s的速度从点C出发．在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为 　或4或或12　． 【解答】解：∵四边形是ABCD矩形， ∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC， ∵AD＝12cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以4cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动， ∴DP＝12﹣t，CQ＝4t或CQ＝24﹣4t或4t﹣24或48﹣4t， ∵以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形， ∴DP＝CQ， ∴12﹣t＝4t或12﹣t＝24﹣4t或12﹣t＝4t﹣24或12﹣t＝48﹣4t， 解得：或4或或12， 故答案为：或4或或12，． 【小结】本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键． 19．如图，在△ABC中，直线MN以每秒1个单位的速度从△ABC的边BD位置出发，沿CA方向平移，交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACD的角平分线于点F．若AC＝6，则当运动了 　3　秒时，四边形AECF是矩形，并说明理由. 【解答】解：当运动了3秒时，四边形AECF是矩形，理由如下： ∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF， ∴∠ACE+∠ACF90°， ∴∠ECF＝90°， ∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠CFO＝∠DCF， ∴∠OEC＝∠ECO，∠CFO＝∠OCF， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF， ∵AC＝6，OC＝3， ∴AO＝CO， ∵EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形， ∴当运动了3秒时，四边形AECF是矩形． 故答案为：3． 【小结】本题考查了矩形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CDF， ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：当∠ABE＝30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下： ∵AB＝BO，BE⊥AO， ∴∠ABO＝2∠ABE＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴AO＝BO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，BD＝2BO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$