精品解析：河北省沧州市南皮县第一中学2024-2025学年高二上学期1月月考数学试题

1月月考高二数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的通项公式可能是（ ） A. B. C D. 2. 在数列中，，则18是数列中的（ ） A 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 3. 设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（ ） A 60 B. 70 C. 75 D. 85 4. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是等比数列的前项和，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 6. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（ ） A. 9.5尺 B. 10.5尺 C. 11.5尺 D. 12.5尺 7. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 在数列中，，，，是数列的前项积，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若数列是等比数列，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 若，则数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 数列是等比数列 10. 已知数列的首项为4，且满足，则（ ） A. 为等差数列 B. 为递增数列 C. 的前项和 D. 的前项和 11. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 数列的通项公式为 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是等差数列，若，则__________. 13. 已知数列前项和为，则__________. 14. 螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如下图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，直角三角形EMQ面积为，后续各直角三角形面积依次为，…，，若数列的前n项和恒成立，则实数的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列中，. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 16. 已知正项数列的前项和为.若. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知数列和满足，，，，为正数，且为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 设数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 19. 在数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1月月考高二数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合通项公式，逐项验证即可得. 详解】对A：，不符，故A错误； 对B：，不符，故B错误； 对C：，不符，故C错误； 对D：、、 、，符合要求，故D正确； 对选：D. 2. 在数列中，，则18是数列中的（ ） A 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】由，得数列是首项为2，公差为4的等差数列， 所以，而满足该式，故, 令，解得， 所以18是数列中的第5项． 故选：C. 3. 设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（ ） A. 60 B. 70 C. 75 D. 85 【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的奇数项的和为P，偶数项之和为Q，由等差数列的性质列方程组，可求出P、Q的值，从而可得出结果. 【详解】设， 因为数列是等差数列，且公差，， 所以，解得， 所以 故选：A. 4. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可求出的值，再由可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则， 可得，故， 因此，. 故选：B. 5. 已知是等比数列的前项和，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列片段和的性质分析求解. 【详解】因为是等比数列的前项和且， 可知也成等比数列， 又因为，则， 可得，， 所以，， 故选：C. 6. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（ ） A. 9.5尺 B. 10.5尺 C. 11.5尺 D. 12.5尺 【答案】B 【解析】 【分析】设影长依次成等差数列，公差为，根据题意结合等差数列的通项公式及前项和公式求出首项和公差，即可得出答案. 【详解】解：设影长依次成等差数列，公差为， 则，前9项之和， 即，解得， 所以立春的日影长为. 故选：B. 7. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合递推式，当时，利用累加法求，再求，由此确定 【详解】因为满足， 所以，，，， 所以， 又，所以当时，， 又， 所以，. 故选：A. 8. 在数列中，，，，是数列的前项积，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】推导出数列是等比数列，确定其首项和公比，解不等式，求出的范围，进而可得出的最大值. 【详解】由题意可知，对任意的，， 则，且， 所以数列是每项都为的常数列，即， 所以，数列是等比数列，且其首项为，公比为的等比数列， 由，可得，解得， 故当或时，取最大值， 且其最大值为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若数列是等比数列，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 若，则数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 数列是等比数列 【答案】AD 【解析】 【分析】利用等比数列的定义逐一判断即可. 【详解】对于选项A：因为数列是等比数列，即，所以，因为， 所以数列是以为公比的等比数列，故A正确 对于选项B：当时，此时，数列不是等比数列，故选项B错误. 对于选项C：当时，此时，数列不是等比数列，故C错误. 对于选项D：因为数列是等比数列，即，所以， 因为，所以数列是公比为的等比数列，故选项D正确. 故选：AD 10. 已知数列的首项为4，且满足，则（ ） A. 为等差数列 B. 为递增数列 C. 的前项和 D. 的前项和 【答案】BD 【解析】 【分析】由数列递推式两边同除以，可得，推得等比数列，排除A项；通过证明和可得B正确；利用错位相减法可求得的前项和为，排除C项；化简得，易求得该数列的前项和推出D项正确. 【详解】由两边同除以，可得：， 因，则，故为等比数列，首项为4，公比为2. 对于A，由上分析，是公比为2的等比数列，故不可能是等差数列，即A错误； 对于B，由上分析，可得，即， 由，因，故为递增数列，故B正确； 对于C，由上已得，则 ①， 则 ②， 由：， 即，即， 故得，故C错误； 对于D，因，则， 故的前项和为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 数列的通项公式为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D. 【详解】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A错误、B正确； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列等差数列，若，则__________. 【答案】15 【解析】 【分析】运用等差数列下标的性质进行求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以由， 于是， 故答案为： 13. 已知数列的前项和为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，所以由得，两边同时除以得，所以为等差数列，求出从而求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以，即， 所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以，， 所以， 故答案为：. 14. 螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如下图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，直角三角形EMQ面积为，后续各直角三角形面积依次为，…，，若数列的前n项和恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】或 【解析】 【分析】先求正方形边长的规律，再求三角形面积的规律，从而就可以求和了，再解不等式即可求解. 【详解】由题意，由外到内依次各正方形的边长分别为，则 ， ，……， ， 于是数列是以4为首项，为公比的等比数列，则. 由题意可得：，即……， 于是. ，故解得或. 故答案为：或 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列中，. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的首项和公差，列式求解； （2）说明数列是等比数列，利用等比数列求和公式，即可求解. 【小问1详解】 设数列的公差为，由题意，得， 解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由，得， 则，则， 所以是首项为，公比的等比数列. 所以. 16. 已知正项数列的前项和为.若. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）化简已知条件，根据等差数列的定义证得数列是等差数列； （2）利用裂项求和法来求得. 【小问1详解】 由题意，得，则， 因为是正项数列，则，所以， 由可得， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 依题意，得， 所以. 17. 已知数列和满足，，，，为正数，且为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明是等比数列，求出首项和公比，可得数列的通项公式. （2）先确定数列的通项公式，再利用“分组求和法”求数列的前项和公式. 【小问1详解】 由已知得， 因为数列为等差数列，且，所以，得. 又， 当时，有，且， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为.① 【小问2详解】 由（1）可知， 所以，② 由①②两式相加得，则. 所以 18. 设数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用来求通项公式，并检验首项是否满足即可； （2）利用错位相减法来求和即可. 【小问1详解】 由， 得， 两式相减，得， 得， 当时，,得，满足上式， 所以，数列的通项公式为. 小问2详解】 由， 则， 所以 所以. 19. 在数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简已知条件，结合等比数列的定义来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，结合分组求和法来求得正确答案. 【小问1详解】 因为，所以. 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. 所以，即. 【小问2详解】 ， 所以. 当为奇数时， . 当为偶数时， . 综上所述， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$