第13讲 二次函数的图象与性质(精讲册)-【练客中考】2025年甘肃中考数学提优方案

第三章盖数练区中唐■ 第13讲二次函数的图象与性质 (省卷：5年5考：兰州：3年4考) 考点梳理 2022年版课标重要变化 ①会用描点法画出（删除）二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质 ②知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系.（新增） ③知道二次函数和一元二次方程之间的关系。（新增） ④*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.（删除） 考点二次函数的图象与性质 概念 般地，形如① (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数 a的符号 a>0 a<0 图象 大致 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=- 2a 顶点坐标 b 4ae (-2n4a 时，y随x的增大而减小： 当④ 时，y随x的增大而增大： 增减性 当② 性质 当3 时，y随x的增大而增大 当5 时，y随x的增大而减小 最值 当x= 之时y取得最小值0 当x= 之时.取得最大值回 【知识拓展】求对称轴除了可以用公式法和配方法外，还可利用x:”(其中，一为抛物线上关于对称轴对 2 称的两点的横坐标)求解 考点2二次函数的图象与系数4，b,c的关系 a决定抛物线 a>0 开口⑧ 的开口方向 a<0 开口⑨ b=0 对称轴为y轴 a,b决定抛物线 a,b同号 对称轴在y轴0 的对称轴位置 a,b异号 对称轴在y轴D c=0 抛物线过原点 c决定抛物线与 c>0 抛物线与y轴交于 半轴 y轴交点的位置 c<0 抛物线与y轴交于3 半轴 b2-4ac决定 b2-4ac=0 抛物线与x轴有唯一的交点（顶点） 抛物线与x轴 b2-4ac>0 抛物线与x轴有④ 交点 交点的个数 b2-4ac<0 抛物线与x轴没有交点 41 练区中害■甘肃数学特讲册 考点3》二次函数解析式的确定及图象的平移 1.待定系数法确定解析式 二次函数 -般式y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 解析式的三 顶点式 y=a(x-h)2+[a为常数，a≠0，(h,k)为顶点坐标] 种表达形式 交点式 y=a(x-x)(x-2)(a为常数，a≠0，x1,2为抛物线与x轴交点的横坐标) 方法 待定系数法 确定二次函 设：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)： 数解析式的 二列：找出函数图象上的三个点，代入y=ax2+r+c(a≠0)中，得到方程组： 步骤 方法及步骤 三解：解方程组，得到a,b,c的值： 四还原：将所求待定系数a,b,c的值代入y=ax2+bx+e中即可 顶点在原点 Y=ax2 对称轴是y轴（或顶点在y轴上） y=ax'+e 顶点在x轴上 y=a(x-h)2 解析式的 抛物线过原点 y=ax+bx 常见设法 已知任意三个点 y=ax'+bx+e 顶点+其他一点坐标 y=a(x-h)2+k 与x轴的两个交点+其他一点坐标 y=(x-x,)(x-x2) 与x轴的一个交点+对称轴+其他一点坐标 2.二次函数图象的平移 一般式 顶点式 平移方向 简记 y=a2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k 向左平移m y=a(x+m)2+b(x+m)+c 5 个单位长度 向右平移m “左加右减” y=a(x1 )2+b(x )+c y=a(x-h-m)2+k 个单位长度 向上平移m y=a(x-h)2+k图 个单位长度 y=ax'+bx+e+m 等号右边整体 向下平移m “上加下减” y=ax2 +bx+e19 y=a(x-h)2+k-m 个单位长度 考点④二次函数与一元二次方程、不等式的关系 二次函数 y=ax'+bx+e 可书=衣 (a>0)的图象 图象与x轴(y=0) 图象与x轴(y=0) 有两个交点(x1,0),(x1,0) 图象与x轴(y=0)无交点 有且只有一个交点(x1,0) 42 第三章盖数练区中密 一元二次方程 4>0一方程有两个不相等的 4=0一方程有两个相等的实 ax'+bx+c=0 A<0一方程没有实数根 实数根x=x,或x=x 数根x=x,= 的根 不等式 x<x1或x>x2(对应图象中x ax2 +bx+ex0 x≠x,的实数 x取任意实数 轴上方部分)》 的解集 【温馨提示】 (1)一元二次方程ar2+bx+c=0(a≠0) 次函数y=ar2+br+c(a≠0)含y>0 令y=9 → 不等式ar2+bx+c>0(a≠0) (2)一元二次方程ax2+bx+c=m(a≠0，m≠0)的根或不等式ax2+bx+c>m(a≠0，m≠ O)的解集常常转化为抛物线y=x+bx+c与直线y=m的关系进行处理，通常借助数形 2 结合思想来判断，如图： 重难点突破 重难点1》二次函数的图象与性质 为 有最小值为 例1在探究二次函数y=ax2+br+c的图象与 (6)若点(m,1)在该二次函数的图象上，则 性质过程中，x与y的几组对应值如下表： m= -101 23 … (7)若A(1,y),B(x2,y2)是该二次函数图象上 0-3-4-30 两点，且-2<x<-1,1<2<2,则y1,y2的大 小关系为 根据表格提供的数据，完成下列习题： (1)在如图坐标系中画出函数图象： 重难点2二次函数的图象与a,b,c的关系 例2如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象， 结合图中的信息，回答下列问题.（在横线上填 “>”“<”或“=”) 023 例1题图 例2题图 (2)二次函数图象的对称轴为直线 ,顶 (1)a 0: 点坐标为 :二次函数的解析式化为顶点 (2)62-4ac 0: 式为 (3)2a+b 0: (3)二次函数的图象与x轴的交点坐标 (4)a-b+c 0:(当x=-1时，y的情 为 ,与y轴的交点坐标为 况) (4)当x 时，y随x的增大而减小：当 (5)2a+c 0: 时，y随x的增大而增大；当x (6)不等式ax2+c<-bx的解集为 时，y有最小值为 ； (7)a+b m(am+b)(m≠1).（顶，点的 (5)该函数在0≤x≤4取值范围内，有最大值 函数值与其他点函数值的比较) 43 练区中唐■甘斋鼓学精讲册 重难点3》二次函数解析式的确定（含平移）】 相同，则二次函数的解析式为y= 例3已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0). (用交点式表示) (1)若该抛物线经过(0,2)，(1,1)，(3,5)三点， (4)已知a=-1,b=4,c=-3,将抛物线先向上 则二次函数的解析式为y= 平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度 (2)已知二次函数的最小值为3，对称轴为直线 后，得到的抛物线的解析式是y= x=-1,且经过点(2,8)，则二次函数的解析式为 (5)已知b=4,c=-3,若原二次函数先向右平 y :(用顶，点式表示) 移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后经 (3)若该抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0)， 过点(46)，则a= (2,0),且与抛物线y=2x的形状相同，开口方向 甘肃5年中考真题及拓展 0命题点》二次函数的图象与性质（兰州：3年2考） 0命题点3二次函数解析式的确定（含平移】 1.[2023兰州7题]已知二次函数y=-3(x (省卷：5年5考：兰州：3年2考)】 2)2-3,下列说法正确的是 拓展训练 A.对称轴为直线x=-2 5.已知抛物线y=ax2+bx的顶点坐标为 B.顶点坐标为(2,3) C.函数的最大值是-3 A(3,3),则该抛物线的解析式为 D.函数的最小值是-3 A.y=- 3-2x B.y=2 2.[2022兰州11题]已知二次函数y=2x2- 4x+5,当函数值y随x值的增大而增大时，x C.y-ge-2 D.y2 的取值范围是 ( A.x<1 B.x>1 C.x<2 D.x>2 6.[2024包头]将抛物线y=x2+2x向下平移2 0命题点2》二次函数的图象与系数a,b,c 个单位后，所得新抛物线的顶点式为( 的关系 A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2-2 拓展训练 C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)2-2 3.[2024湖北省卷]抛物线y=a.x2+bx+c的顶 7.[2024陇南西和县一模]将某二次函数的图 点为(-1，-2)，抛物线与y轴的交点位于x 象向右平移3个单位长度，再向下平移2个 轴上方，以下结论正确的是 单位长度后得到新的二次函数y=(x-1)2+ A.a<0 B.c<0 C.a-b+c=-2 D.b2-4ac=0 1的图象，则原二次函数的表达式是( 4.[2024兰州五十六中一模]二次函数y=ax2+ A.y=(x+1)2-2 B.y=(x+2)2+3 bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论： C.y=(x-4)2-1 D.y=(x+2)2-3 ①abc>0;②9a+c>0;③ar2+bx+c=0的两 8.[2024陇南康县阳坝初级中学模拟]将二次 个根是1=-2，x2=4;④b:c=1:4.其中正确 函数y=x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的 的有 形式为 A.1个 B.2个 9.[2024牡丹江]将抛物线y=a.x2+bx+3向下 /4 C.3个 平移5个单位长度后，经过点(-2,4)，则 D.4个 第4题图 6a-3b-7= 请完成《课后提升练》P20~21习题 44null