精品解析：广东省惠州市第一中学2024-2025学年高二上学期12月检测数学试题

惠州一中2026届高二上学期数学检测（12.21） 命题人：柏蔚 审题人：孔德良 满分：150分 考试时长：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，考生只须将答题卡交回． 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程. 【详解】∵椭圆的右焦点坐标为， ∴抛物线的焦点坐标为，∴抛物线的准线方程为. 故选：D. 2. 已知直线，直线，若，则实数a的取值是（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两条直线平行列式求解即得. 【详解】由直线与直线平行，得，解得， 所以实数a的取值是. 故选：A 3. 已知直线是圆的对称轴，则实数a的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：直线过圆心，代入运算即可. 【详解】因为，则， 注意到，则圆C的圆心， 由题意可知：直线过圆心， 则，解得. 故选：B. 4. 设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列通项和求和公式化简已知等式可求得，由可得结果. 【详解】设等差数列的公差为， ，，解得：， ，解得：，， . 故选：A. 5. 如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理求解. 【详解】 如图，在正三棱锥中，因为点G为的重心，连接并延长交于点, 所以， 又点M是线段上的一点，且， 所以， ， 故选：A. 6. 如图，正方体的棱长为1，且分别是各棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，用向量的坐标运算证明向量共面，进而证明点共面，确定平面的一个法向量，利用点到面的距离的向量计算公式求得答案. 【详解】在正方体中，以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 于是，，，，，， 则有，，， ，， 因此，，，，共面，又它们过同一点E， 所以E，F，G，H，K，L共面， 因，，又， ， 是平面的一个法向量，且， 设点到平面的距离为， 则. 故选：C. 7. 已知数列是等差数列，若，且数列的前n项和有最大值，那么取得最小正值时n等于（ ） A. 1 B. 20 C. 10 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，判断出的符号，再根据等差数列前项和的计算公式，即可求得. 【详解】因为数列是等差数列， 则，即， 又因为，且数列的前n项和有最大值，则， 可得，， 故取得最小正值时n等于. 故选：D. 8. 如图，分别为双曲线的左，右焦点，A在左支上，B在右支上，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据双曲线定义及题干知，，，，根据，得，然后利用余弦定理建立方程求出，即可求解渐近线方程． 【详解】如图，连接， ，由双曲线的定义可得， 则，，， 在中，， 在中，， ，，得， ，得，即，， 该双曲线的渐近线方程为，即． 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合愿目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，圆，则下列结论正确的是（ ） A. 若和外离，则或 B. 若和外切，则 C. 当时，有且仅有一条直线与和均相切 D. 当时，和内含 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先得到两圆圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再根据两圆的位置关系由圆心距与半径的和差关系得到不等式（方程），即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 若和外离，则，解得或，故A正确； 若和外切，则，解得，故B正确； 当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确； 当时，，则和相交，故D错误. 故选：ABC． 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 数列是递增数列 C. D. 数列的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累加法求得数列的通项公式及，再逐项求解判断. 【详解】在数列中，， 当时，， 而满足上式，因此， 对于A，，A正确； 对于B，，而，数列不是递增数列，B错误； 对于C，，即，因此，C正确； 对于D，，，，D错误. 故选：AC 11. 已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线与C相交于两点，与C相交于两点，直线l为抛物线C的准线，则（ ） A. 的最小值为4 B. 以为直径的圆与l相切 C. 的最小值为32 D. 和面积之和最小值为32 【答案】BCD 【解析】 【分析】设出直线、，与抛物线联立后消去，得到与纵坐标有关的韦达定理备用，对A，表示出，计算即可得；对B，求出该圆圆心及半径，借助切线的性质判定即可得；对C，表示出、的长度后结合基本不等式即可得；对D，表示出两三角形面积之和后，借助坐标之间的关系，结合基本不等式求解即可得. 【详解】由，故焦点坐标为，准线方程为， 设，、、、， 则， 联立，消去得：，， 有，， 对于A，，故A错误； 对于B，的中点点坐标为， 因，故， 则为直径的圆以为圆心，为半径， 而圆心到的距离为， 故以为直径的圆与相切，即B正确； 对于C，因， 同理可得， 则， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D， ， 由，则， 同理可得，， 即 ， 当且仅当，时等号成立， 当时，由抛物线的对称性及直线的对称性可得，， 即，可同时取等，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，共15.0分，其中14题第一空2分，第二空3分） 12. 圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程. 【详解】圆经过点和，，AB中点为， 所以线段AB的垂直平分线的方程是． 联立方程组，解得． 所以，圆心坐标为，半径， 所以，此圆的标准方程是． 故答案为：. 13. 设等差数列的前项和为，，，若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式及通项公式化简可得解. 【详解】由已知等差数列满足， 又，所以， 解得， 又， 则，即， 解得， 故答案为：. 14. 某中学开展“劳动创造美好生活”的劳动主题教育活动，展示劳动实践成果并进行评比，某学生设计的一款如图所示的“心形”工艺品获得了“十佳创意奖”，该“心形”由上、下两部分组成，并用矩形框（虚线）进行镶嵌，上部分是两个半径都为r的半圆，、分别为其直径，且，下部分是一个“半椭圆”，并把椭圆的离心率叫做“心形”的离心率． （1）若矩形框的周长为，则当该矩形框面积最大时，_______； （2）若，图中阴影区域的面积为，则该“心形”的离心率为_______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）结合基本不等式，可得面积最大时矩形的边长，进而可得半径； （2）建立平面直角坐标系，设点，，分情况讨论阴影面积求法，结合三角形面积及扇形面积公式，可得与，进而可得椭圆的离心率. 【详解】由已知、分别为其直径，且， 则， 即矩形的长为，宽为， 则矩形面积为， 当且仅当，即时，等号成立，即此时矩形面积最大； 取中点为，以为坐标原点建立平面直角坐标系，设与的交点为， 由，则，即， 所以，， 设，，，， 则，，， 又， 则，即， 化简可得， 当点在线段上时，， 则阴影面积， ， 即， 解得， 此时， 即此时椭圆长半轴长为，短半轴长为， 椭圆离心率为， 当点在线段上时，， 则阴影面积， ， 即， 解得，不成立， 综上所述，椭圆离心率为， 故答案为：；. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 【答案】（1）因为底面，平面， 所以， 又，， 所以平面， 而平面， 所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面； （2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 [方法一]：相似三角形法 由（1）可知． 于是，故． 因为，所以，即． 故四棱锥的体积． [方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法 由（2）知,所以． 建立如图所示的平面直角坐标系，设． 因为，所以，，，． 从而． 所以，即．下同方法一. [方法三]【最优解】：空间直角坐标系法 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，所以，，，，． 所以，，． 所以． 所以，即．下同方法一. [方法四]：空间向量法 由，得． 所以． 即． 又底面，在平面内， 因此，所以． 所以， 由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义， 得，即． 所以，即．下同方法一. 【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积； 方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积； 方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解； 方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长. 16. 已知等差数列，前项和为，又． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意列方程组求解首项和公差，即可求得答案； （2）由（1）可得的表达式，讨论和，结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，由于， 则，解得， 故； 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，， 则； 当时，， 则， 故. 17. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，， 为的中点， ，， 四边形为平行四边形， ． 平面，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）取的中点，连接、，即可求出，从而得到，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接、，易证四边形为正方形，所以，， 则， 所以,又，所以为等边三角形，所以，则， 所以， 又，平面，所以平面， 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，． 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取， 设平面的一个法向量为， 则，即，取， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知点在抛物线的准线上，且抛物线的焦点为F． （1）求的面积； （2）设过点的直线l与抛物线C相交于两点，O为坐标原点． ①证明：为定值； ②在x轴上是否存在点H，使得x轴平分?若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） ①显然直线不垂直y轴，则设直线的方程为，，. 将直线方程代入抛物线方程得， 即. 显然， 根据韦达定理，，. 又，，则. 把代入得，所以为定值.    ②存在点使得轴平分， 假设存在点使得轴平分，根据抛物线对称性知道，. 因为，，所以. 即. 把，代入上式得. 整理得. 由，， 代入得，即. 解得. 故存在点使得轴平分. AI 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线准线方程求出的值，进而得到焦点坐标，再根据三角形面积公式求解的面积. （2）①设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出的值. ②假设存在点，根据角平分线的性质得到等式，再结合韦达定理求出点的坐标. 【小问1详解】 因为抛物线的准线方程为， 已知点在准线上，所以，解得. 则抛物线方程为，焦点的坐标为. 那么中，，点到轴的距离为， 根据三角形面积公式所以. 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】思路点睛：本题第二问是考查圆锥曲线中的定值问题.第二问都需要直曲联立，借助韦达定理计算，最后一问将定点问题转化为斜率之和问题，运用角平分线的斜率性质，借助韦达定理计算即可. 19. 已知椭圆，左、右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形． （1）求椭圆的方程； （2）若双曲线以为焦点，以为顶点，点Q为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积； （3）如图，直线与椭圆有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴，y轴于两点，当点M运动时，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据为等边三角形得到关系，求出其方程即可； （2）写出双曲线方程，联立椭圆方程即可得到，再计算面积即可； （3）联立椭圆方程与直线方程，根据相切得到，再求出点坐标，最后消元即可. 【小问1详解】 是面积为的等边三角形，， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意得双曲线中的，则， 所以双曲线方程为， 联立椭圆方程解得，即， . 【小问3详解】 由题易知，则联立， 得， ，即， 设为， 则， 直线，令，解得，则， 令，则，则， . 则点的轨迹方程为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是联立直线方程与椭圆方程，根据判别式为0得到，再根据直线垂直得到直线方程，从而得到坐标，即得到的坐标，最后消元即可得到轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州一中2026届高二上学期数学检测（12.21） 命题人：柏蔚 审题人：孔德良 满分：150分 考试时长：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，考生只须将答题卡交回． 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，直线，若，则实数a的取值是（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 1 3. 已知直线是圆的对称轴，则实数a的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 26 5. 如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方体的棱长为1，且分别是各棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是等差数列，若，且数列的前n项和有最大值，那么取得最小正值时n等于（ ） A. 1 B. 20 C. 10 D. 19 8. 如图，分别为双曲线的左，右焦点，A在左支上，B在右支上，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合愿目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，圆，则下列结论正确的是（ ） A. 若和外离，则或 B. 若和外切，则 C. 当时，有且仅有一条直线与和均相切 D. 当时，和内含 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 数列是递增数列 C. D. 数列的最小值为 11. 已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线与C相交于两点，与C相交于两点，直线l为抛物线C的准线，则（ ） A. 的最小值为4 B. 以为直径的圆与l相切 C. 的最小值为32 D. 和面积之和最小值为32 三、填空题（本大题共3小题，共15.0分，其中14题第一空2分，第二空3分） 12. 圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为________． 13. 设等差数列的前项和为，，，若，则的值为_______． 14. 某中学开展“劳动创造美好生活”的劳动主题教育活动，展示劳动实践成果并进行评比，某学生设计的一款如图所示的“心形”工艺品获得了“十佳创意奖”，该“心形”由上、下两部分组成，并用矩形框（虚线）进行镶嵌，上部分是两个半径都为r的半圆，、分别为其直径，且，下部分是一个“半椭圆”，并把椭圆的离心率叫做“心形”的离心率． （1）若矩形框的周长为，则当该矩形框面积最大时，_______； （2）若，图中阴影区域的面积为，则该“心形”的离心率为_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 16. 已知等差数列，前项和为，又． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知点在抛物线的准线上，且抛物线的焦点为F． （1）求的面积； （2）设过点的直线l与抛物线C相交于两点，O为坐标原点． ①证明：为定值； ②在x轴上是否存在点H，使得x轴平分?若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆，左、右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形． （1）求椭圆的方程； （2）若双曲线以为焦点，以为顶点，点Q为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积； （3）如图，直线与椭圆有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴，y轴于两点，当点M运动时，求点的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $