1.5 正弦函数、余弦函数的图象与性质在认识（2知识点+5题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

1.5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 课程标准 学习目标 （1）掌握正(余)弦函数的性质，通过正（余）弦函数的图象特征，掌握利用“五点（画图）法”画一些简单的函数图象； （2）能利用正弦函数的图象和性质解决相关问题； （3）注重利用余弦函数的性质研究几种特殊函数的相应图象与性质． （1）能借助单位圆或五点作图法画出正、余弦函数的图象； （2）了解正、余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值； （3）借助图象理解正、余弦函数在上的性质． 知识点01 正弦函数的图象与性质 1、正弦函数图象的作法 根据正弦曲线的基本性质，描出，，，，这五个关键点后，函数的图象就基本确定了(如图)．因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图，这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”． 2、正弦函数的图象与性质 函数 性质 x∈[0，2π]时的图象 x∈R时的图象 定义域 周期 单调性 在每一个区间，k∈Z上都单调递增， 在每一个区间，k∈Z上都单调递减 最值和值域 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1．值域为[－1，1] 奇偶性 奇函数 对称轴 图象关于直线x＝＋kπ，k∈Z对称 对称中心 图象关于点(kπ，0)，k∈Z对称 【即学即练1】正弦函数，的图象的一条对称轴是（    ） A．轴 B．直线 C．直线 D．直线 【即学即练2】（24-25高一上·天津南开·期末）函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点02 余弦函数的图象与性质 1、余弦函数图象的作法 根据余弦曲线的基本性质，描出，，，，后，函数在区间的图象就基本确定了(如图)．因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数的简图．这种作余弦曲线的方法也称为“五点(画图)法”． 2、余弦函数的图象与性质 函数 性质 x∈[0，2π]时的图象 x∈R时的图象 定义域 R 周期 2π 单调性 在区间[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z上都单调递增， 在区间[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z上都单调递减 最值和值域 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，ymin＝－1．值域为[－1，1] 奇偶性 偶函数 对称轴 图象关于直线x＝kπ，k∈Z对称 对称中心 图象关于点，k∈Z对称 【即学即练3】函数的图象中与轴最近的最高点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）函数的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 难点1 利用正弦函数、余弦函数的图象解决零点问题 对于这类问题，若用直接法求解则较困难，可以先观察题目中所涉及的函数（或方程）的特点，然后构造出两个新函数，根据这两个新函数图象的交点情况来求解． 【示例1】函数的图象与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【示例2】（23-24高三下·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【示例3】（24-25高一上·上海·期末）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 【题型1：五点法画正（余）弦函数的图象】 例1．用“五点法”画的图象时，下列哪个点不是关键点（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（23-24高一上·陕西宝鸡·月考）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 变式1-2．作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，. 变式1-3．用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2). 【方法技巧与总结】 五点法画函数图象的三个步骤 一列：取，求出相应的的值，列出表格； 二描：在平面直角坐标系内描出表中相应的五个点； 三连线：用光滑的曲线将上述五个点连线成图． 【题型2：求正（余）弦函数的单调区间】 例2．函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 变式2-1．（23-24高一下·江西宜春·期中）下列是函数的单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（23-24高一上·广东清远·期末）写出函数在上的一个减区间： . 变式2-3．（23-24高一下·江西南昌·月考）函数的单调递减区间为 . 【方法技巧与总结】 1、求正弦函数的单调区间有两种方法：一是利用y＝sinx的单调区间，进行代换，解不等式；二是画图象，从图象上观察，注意定义域，单调区间不能随便并起来． 2、求y＝acosx＋b的单调区间时，若a>0，则y＝acosx＋b与y＝cosx的单调性相同，若a<0，则y＝acosx＋b与y＝cosx的单调性相反．若函数是由y＝f(u)和u＝g(x)复合而成，则遵循“同增异减”的规律，即内外单调性相同则增，内外单调性相反则减． 【题型3：比较正（余）弦函数值的大小】 例3．下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（22-23高一下·四川绵阳·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（22-23高一下·安徽·开学考试）（多选）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）（多选）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1、用正弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 2、大小比较：对三角函数值cosα，cosβ的大小比较问题，首先看α，β是否在函数y＝cosx的同一单调区间内．若在，则直接根据函数在此区间内的单调性比较大小；若不在，可运用诱导公式将α，β化为同一单调区间上的角，再进行大小比较． 【题型4：利用正（余）弦函数曲线解不等式】 例4．在内，不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．不等式的解集为 . 变式4-2．（22-23高一下·河北衡水·月考）不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（23-24高一上·福建福州·月考）函数的定义域是 . 【方法技巧与总结】 利用正弦曲线解不等式（组），找到不等式对应方程的根，再根据图象的特点找到不等式的解集，注意依据正弦函数的周期添加“”（）或“”（）等．余弦同理． 【题型5：求正（余）弦函数的最值（值域）】 例5．函数，的值域是 . 变式5-1．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，则在的值域为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（23-24高一下·北京门头沟·期中）当时，函数的最小值为 ． 变式5-3．函数的最小值为 ． 【方法技巧与总结】 求与正、余弦函数有关的函数最值（值域）问题的常见类型与方法 （1）求形如，的函数的最值，主要利用，的有界性记以及复合函数的有关性质； （2）求，与二次函数复合的函数的值域，一般利用换元法，令，将所给的三角函数转化为二次函数，并通过配方法求值域； （3）求形如的函数的值域，一般利用分离常数法，将原函数化为只有分母含有的函数，然后利用的有界性，求得值域． 1．（23-24高一上·四川雅安·月考）函数的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 2．（22-23高一下·四川绵阳·期中）设，则大小关系（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．在内，下列区间中使得成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·北京·期中）设a是实数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·河南周口·月考）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 8．（23-24高一上·福建厦门·月考）不等式在上有解，则实数m的取值范围是 . 9．（23-24高一下·北京·期中）函数在区间上的零点个数为（    ） A．无穷多个 B．4个 C．2个 D．0个 10．（24-25高一上·山东菏泽·月考）（多选）已知，则（    ） A．为偶函数 B．是的最小正周期 C．在区间上单调递增 D．的值域为 11．函数在上的最大值是 ．上 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 课程标准 学习目标 （1）掌握正(余)弦函数的性质，通过正（余）弦函数的图象特征，掌握利用“五点（画图）法”画一些简单的函数图象； （2）能利用正弦函数的图象和性质解决相关问题； （3）注重利用余弦函数的性质研究几种特殊函数的相应图象与性质． （1）能借助单位圆或五点作图法画出正、余弦函数的图象； （2）了解正、余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值； （3）借助图象理解正、余弦函数在上的性质． 知识点01 正弦函数的图象与性质 1、正弦函数图象的作法 根据正弦曲线的基本性质，描出，，，，这五个关键点后，函数的图象就基本确定了(如图)．因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图，这种作正弦曲线的方法称为“五点(画图)法”． 2、正弦函数的图象与性质 函数 性质 x∈[0，2π]时的图象 x∈R时的图象 定义域 周期 单调性 在每一个区间，k∈Z上都单调递增， 在每一个区间，k∈Z上都单调递减 最值和值域 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1．值域为[－1，1] 奇偶性 奇函数 对称轴 图象关于直线x＝＋kπ，k∈Z对称 对称中心 图象关于点(kπ，0)，k∈Z对称 【即学即练1】正弦函数，的图象的一条对称轴是（    ） A．轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【解析】正弦函数，的对称轴为， 当时，函数的一条对称轴为直线，故C正确， 结合选项可知A、B、D均不符合题意.故选：C 【即学即练2】（24-25高一上·天津南开·期末）函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】点与代入中， 可得，解得，.故选：A． 知识点02 余弦函数的图象与性质 1、余弦函数图象的作法 根据余弦曲线的基本性质，描出，，，，后，函数在区间的图象就基本确定了(如图)．因此，在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数的简图．这种作余弦曲线的方法也称为“五点(画图)法”． 2、余弦函数的图象与性质 函数 性质 x∈[0，2π]时的图象 x∈R时的图象 定义域 R 周期 2π 单调性 在区间[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z上都单调递增， 在区间[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z上都单调递减 最值和值域 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，ymin＝－1．值域为[－1，1] 奇偶性 偶函数 对称轴 图象关于直线x＝kπ，k∈Z对称 对称中心 图象关于点，k∈Z对称 【即学即练3】函数的图象中与轴最近的最高点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因是周期函数，画出，的图象（如图）， 由图可知，与轴最近的最高点的坐标为.故选：B. 【即学即练4】（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）函数的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】A 【解析】函数的定义域为R，， 而函数是偶函数，所以函数的图象关于轴对称.故选：A 难点1 利用正弦函数、余弦函数的图象解决零点问题 对于这类问题，若用直接法求解则较困难，可以先观察题目中所涉及的函数（或方程）的特点，然后构造出两个新函数，根据这两个新函数图象的交点情况来求解． 【示例1】函数的图象与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】由于， 则函数的图象与直线的交点个数为2个．故选：C. 【示例2】（23-24高三下·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解析】函数与都是偶函数，其中，， 在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图， 由图可知，两函数的交点个数为6.故选：D 【示例3】（24-25高一上·上海·期末）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，显然不成立. 当时，，又，所以， 当时，无解；当时，解得；所以. 【题型1：五点法画正（余）弦函数的图象】 例1．用“五点法”画的图象时，下列哪个点不是关键点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】五点作图法在内的五个关键点为 ，可知不是关键点．故选：A 变式1-1．（23-24高一上·陕西宝鸡·月考）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 【答案】A 【解析】函数的最小正周期为， 用“五点法”作的图象，即作函数在上的图象， 所以五个关键点的横坐标为0，，π，，2π.故选：A 变式1-2．作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，. 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析 【解析】（1）因为， 列表： 描点、连线，函数图象如下图所示： （2）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 列表 x 0 0 1 0 1 0 作图：先作出的图像，又原函数是偶函数， 图像关于y轴对称，即可作出的图像. 变式1-3．用“五点法”作出下列函数的简图： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【解析】（1）按五个关键点列表： 0 0 1 0 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： 【方法技巧与总结】 五点法画函数图象的三个步骤 一列：取，求出相应的的值，列出表格； 二描：在平面直角坐标系内描出表中相应的五个点； 三连线：用光滑的曲线将上述五个点连线成图． 【题型2：求正（余）弦函数的单调区间】 例2．函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】因为， 且的单调递增区间为，， 所以函数的单调递减区间为，.故选：C． 变式2-1．（23-24高一下·江西宜春·期中）下列是函数的单调递增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 函数为偶函数，如图，结合正弦函数图像，，函数单调递增，故选：C 变式2-2．（23-24高一上·广东清远·期末）写出函数在上的一个减区间： . 【答案】（答案不唯一） 【解析】函数的减区间为的增区间，即， 据此只需写内的任何一个非空子集，例如. 故答案为：（答案不唯一） 变式2-3．（23-24高一下·江西南昌·月考）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】由于，令，得， 即函数定义域为， 由于由函数复合而成， 且在上单调递增， 故要求的单调递减区间，需求的单调递减区间， 的单调递减区间为， 故函数的单调递减区间为. 【方法技巧与总结】 1、求正弦函数的单调区间有两种方法：一是利用y＝sinx的单调区间，进行代换，解不等式；二是画图象，从图象上观察，注意定义域，单调区间不能随便并起来． 2、求y＝acosx＋b的单调区间时，若a>0，则y＝acosx＋b与y＝cosx的单调性相同，若a<0，则y＝acosx＋b与y＝cosx的单调性相反．若函数是由y＝f(u)和u＝g(x)复合而成，则遵循“同增异减”的规律，即内外单调性相同则增，内外单调性相反则减． 【题型3：比较正（余）弦函数值的大小】 例3．下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 由正弦函数的单调性得，即.故选：A 变式3-1．（22-23高一下·四川绵阳·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由诱导公式知：，， 在上单调递增，，即.故选：D. 变式3-2．（22-23高一下·安徽·开学考试）（多选）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由于函数在上单调递增,且, 所以，故选项A错误； 因为在上单调递增，，故选项B正确； 因为，， 所以，故选项C正确； 因为，所以，故选项D错误.故选:BC 变式3-3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）（多选）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为，且函数在上单调递增， 则，故选项A错误； 因为，且函数在上单调递减， 则，即，故选项B正确； 因为，且函数在上单调递减，则，故选项C错误； 因为，且函数在上单调递减， 则，故选项D正确；故选：BD 【方法技巧与总结】 1、用正弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 2、大小比较：对三角函数值cosα，cosβ的大小比较问题，首先看α，β是否在函数y＝cosx的同一单调区间内．若在，则直接根据函数在此区间内的单调性比较大小；若不在，可运用诱导公式将α，β化为同一单调区间上的角，再进行大小比较． 【题型4：利用正（余）弦函数曲线解不等式】 例4．在内，不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出的图象如图： 因为，所以， 即在内，方程的解为或． 结合图象可知在内，不等式的解集是．故选：C． 变式4-1．不等式的解集为 . 【答案】或 【解析】作出正弦函数在上的图象，作出直线和，如图所示， 由图可知：在上，当或时，不等式成立， 原不等式的解集为或. 变式4-2．（22-23高一下·河北衡水·月考）不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，则， 注意到，结合余弦函数图象解得，故选：D. 变式4-3．（23-24高一上·福建福州·月考）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】由得， 作出的图象和直线， 由图象可知的解集为. 【方法技巧与总结】 利用正弦曲线解不等式（组），找到不等式对应方程的根，再根据图象的特点找到不等式的解集，注意依据正弦函数的周期添加“”（）或“”（）等．余弦同理． 【题型5：求正（余）弦函数的最值（值域）】 例5．函数，的值域是 . 【答案】 【解析】因为，所以，所以. 可得的值域为. 变式5-1．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，则在的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数在上单调递增，而， ，即 函数，当时，， 当时，， 所以在的值域为.故选：A 变式5-2．（23-24高一下·北京门头沟·期中）当时，函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】， 令，则， 因为，所以，即， 由二次函数性质可知，当时，. 变式5-3．函数的最小值为 ． 【答案】1 【解析】， 因为，分母不为0， 则，则，得， 故函数的最小值为1． 【方法技巧与总结】 求与正、余弦函数有关的函数最值（值域）问题的常见类型与方法 （1）求形如，的函数的最值，主要利用，的有界性记以及复合函数的有关性质； （2）求，与二次函数复合的函数的值域，一般利用换元法，令，将所给的三角函数转化为二次函数，并通过配方法求值域； （3）求形如的函数的值域，一般利用分离常数法，将原函数化为只有分母含有的函数，然后利用的有界性，求得值域． 1．（23-24高一上·四川雅安·月考）函数的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为，所以，所以最小值为，故选：B. 2．（22-23高一下·四川绵阳·期中）设，则大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 因为，且在时单调递增， 则，即； 且，所以.故选：A. 3．（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，因为时， ，所以为偶函数，故A错误； 对于B，，因为时， ，所以为偶函数，故B错误； 对于C，，因为时， ，所以为奇函数， 时，单调递增，故C正确； 对于D，，因为时， ，所以为奇函数， 时，单调递减，故D错误.故选：C. 4．在内，下列区间中使得成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图画出函数在内的图象， 因为， 结合图象可知，在内，不等式的解集为.故选：B． 5．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，所以，排除C，D； 当时，，所以，A正确，B错误，故选：A. 6．（23-24高一下·北京·期中）设a是实数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，显然， 对A，由图知，根据，则，则，则， 则其最小正周期，其最小值应为，则A中图象满足题意； 对B，显然因为不恒为0，则B错误； 对C，由图知，根据A可知，但图中其最小正周期小于，故矛盾，故C错误； 对D，由图知，则，则， 则其最小正周期，但由图易知其最小正周期大于，故矛盾，则D错误；故选：A. 7．（24-25高一上·河南周口·月考）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【解析】由题意可得： ， 若是奇函数，则， 即恒成立，则，解得， 若，则， 显然，且，即， 可知的定义域为，关于原点对称， 此时为定义在上的奇函数，即符合题意.故选：A. 8．（23-24高一上·福建厦门·月考）不等式在上有解，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】， 其中， 故在上有解， 令，则， 其中在上单调递增， 故当时，取得最小值， 最小值为， 故，实数m的取值范围是. 9．（23-24高一下·北京·期中）函数在区间上的零点个数为（    ） A．无穷多个 B．4个 C．2个 D．0个 【答案】D 【解析】当时，由，即，得， 当时，恒成立，而恒成立，因此不成立， 所以函数在区间上的零点个数为0.故选：D 10．（24-25高一上·山东菏泽·月考）（多选）已知，则（    ） A．为偶函数 B．是的最小正周期 C．在区间上单调递增 D．的值域为 【答案】ACD 【解析】A，由可知，，定义域为， 故定义域关于原点对称，又，所以函数为偶函数，故A正确； B，取，则，，即， 所以不是函数的周期，故B错误； C，当时，，令且为减函数， 而在时单调递减， 所以由复合函数的单调性知，单调递增，故C正确； D，由为偶函数，只需研究时的值域， 当时，，因为， 即时，是函数的一个周期， 当时，， 当且仅当，即时取等号，当时，， 令，则在上是增函数，所以， 当时，，所以， 综上的值域为，故D正确.故选：ACD. 11．函数在上的最大值是 ． 【答案】 【解析】画出函数在上的大致图象如图． 当时，， 所以，则， 所以函数在上的最大值是． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$