1.4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质（4知识点+6题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

1.4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 课程标准 学习目标 （1）借助单位圆理解任意角的正(余)弦函数定义，利用定义解决相关问题； （2）会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质，并解决相关问题； （3）借助正弦函数、余弦函数的定义理解并掌握正弦、余弦函数值在各象限内的符号； （4）了解三角函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程． （1）会利用任意角的正弦函数、余弦函数的定义求函数值； （2）能求正（余）弦函数的单调性、最小正周期、最值等，了解正（余）弦函数值的符号； （3）借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出诱导公式与旋转； （4）掌握诱导公式并能灵活运用，能进行简单的三角函数式的化简、求值与证明． 知识点01 任意角的正弦函数和余弦函数 1、利用单位圆定义任意角的正弦函数和与余弦函数 如图，在直角坐标系中，给定任意角，作单位圆，角的终边与单位圆的交点为，点P的纵坐标、横坐标都是唯一确定的．把点P的纵坐标叫作角的正弦值，把点P的横坐标叫作角的余弦值，于是，在弧度意义下，对于，称为任意角的正弦函数，为任意角的余弦函数． 2、利用角的终边上的一点的坐标定义正弦函数和余弦函数 （1）定义：设角终边上除原点外的一点，则，，其中． （2）要点提醒： ①对任意一个给定的角，它只有唯一的一条终边，从而终边与单位圆只有唯一的交点，所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的． ②角的三角函数值与点在终边上的位置无关． ③根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到. 3、特殊角的正弦函数值、余弦函数值 0 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 【即学即练1】在平面直角坐标系中，已知，，那么角的终边与单位圆的交点坐标为 . 【即学即练2】（24-25高一上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 正弦函数、余弦函数的基本性质 1、单位圆与正（余）弦函数的基本性质 函数 性质 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时， 周期性 周期函数，最小正周期为 单调性 在区间上单调递增 在区间上单调递减 在区间上单调递增 在区间上单调递减 2、正弦函数、余弦函数值在各象限的符号 根据正弦函数、余弦函数的定义和各象限内点的横、纵坐标的符号，可以得到正弦函数值、余弦函数值在每个象限的符号，如图所示． 【总结】口诀概括为：一全正、二正弦、三全负、四余弦． 【即学即练3】在内，函数和都是增函数的区间是 . 【即学即练4】（23-24高一下·北京海淀·期中）若且，则的终边在所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点03 诱导公式与对称 1、角与的正弦函数、余弦函数关系 终边关系 图示 角与角的终边关于x轴对称 公式 ， 性质 是奇函数，是偶函数 2、角与的正弦函数、余弦函数关系 终边关系 图示 角与角的终边关于原点对称角与角的终边关于原点对称 公式 ， ， 3、角与的正弦函数、余弦函数关系 终边关系 图示 角与角的终边关于y轴对称 公式 ， 【即学即练5】（24-25高一上·广西·月考）的值是（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】（24-25高一上·四川成都·月考）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 知识点04 诱导公式与旋转 图示 公式 ， ， 【总结】诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． 【即学即练7】（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知角α的终边上有一点，则=（    ） A． B． C． D． 【即学即练8】（24-25高一上·云南玉溪·月考），那么（    ） A． B． C． D． 难点1：求终边在已知直线上的角的三角函数值 1、先利用直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦函数、余弦函数的定义求出相应的三角函数值． 2、注意到角的终边为射线，应分两种情况处理，取射线上任意一点，则对应角的正弦值为，余弦值为． 【示例1】已知角的终边在直线上，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 【示例2】（23-24高二上·云南大理·开学考试）已知角的终边落在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 难点2：利用单位圆解三角函数不等式 求三角函数不等式常转化为以下两种类型 1、求解形如，的不等式的具体方法为： （1）如图，画出单位圆； （2）在轴上截取，过点作轴的垂线，交单位圆于，两点，作射线，； （3）写出以射线与为终边的角； （4）图中阴影部分(包括边界)为满足不等式的角的终边的范围，空白部分(包括边界)为满足不等式的角的终边的范围． 2、求解形如，的不等式的具体方法为： （1）如图，画出单位圆； （2）在轴上截取，过点作轴的垂线，交单位圆于，两点，作射线，； （3）写出以射线与为终边的角； （4）图中阴影部分(包括边界)为满足不等式的角的终边的范围，空白部分(包括边界)为满足不等式的角的终边的范围． 【示例3】（1）已知，求：满足条件的角的取值范围； （2）已知，求：满足条件的角的取值范围； 【示例4】利用单位圆，求适合下列条件的角α的集合． (1)； (2)． 难点3：三角函数中的诱导公式 设是的三个内角，则有，所以，，，． 【注意】已知三角形中两个内角的余弦值或正弦值相等，则这两个内角相等，即在三角形中，若或，则． 【示例5】（24-25高一上·江苏南京·月考）（多选）在中，下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【示例6】（23-24高一上·新疆伊犁·月考）（多选）在中，下列关系不成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型1：单位圆法求正（余）弦函数值】 例1．（24-25高一上·广东深圳·月考）已知角的终边与单位圆的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（24-25高一上·天津南开·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（24-25高一上·河北石家庄·月考）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 单位圆法求三角函数的值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 【题型2：坐标法求正（余）弦函数值】 例2．（24-25高一上·河北衡水·月考）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25高一上·福建福州·月考）（多选）若角的终边上有一点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若角终边上有一点，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 变式2-3．（24-25高一上·江苏扬州·月考）已知角终边经过点，且，则的值为 . 【方法技巧与总结】 已知角终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 1、在角的终边上任选一点，求出点到原点的距离为，则，． 2、当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，注意要根据条件对参数符号进行讨论． 【题型3：正（余）弦函数基本性质的应用】 例3．（24-25高一上·甘肃·期末）（    ） A． B． C． D． 变式3-1．函数的最大值为 . 变式3-2．（23-24高一下·河南驻马店·月考）函数和在下列哪个区间上都是单调递减的（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数是定义在上的任意奇函数，则下列函数一定为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1、利用正弦函数、余弦函数的周期性求值的方法 正弦函数、余弦函数的最小正周期都是2π，从而2kπ(k∈Z，k≠0)都是它们的周期，即sin(2kπ＋α)＝sinα， cos(2kπ＋α)＝cosα，k∈Z.先借助正弦函数、余弦函数的周期性，把已知角转化为[0，2π)范围内的角，然后求值，熟记特殊角的三角函数值是解题的基础． 2、判断正弦函数、余弦函数在给定具体区间内的单调性时，要在全部单调区间的前提下，对k取特殊值后，与该给定区间求交集，即为所求单调区间，要注意不能遗漏． 【题型4：正（余）弦函数值在各象限的符号】 例4．（23-24高一下·北京·月考）已知角终边上有一点，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 变式4-1．（23-24高一上·河北保定·期中）已知角终边上有一点，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 变式4-2．（24-25高一上·云南玉溪·月考）已知，则角的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式4-3．（23-24高一上·广东惠州·月考）已知角的终边位于第二象限，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【方法技巧与总结】 判断角的终边所在象限的相关结论 1、若正弦函数值为正，则角的终边在第一或第二象限或y轴的正半轴上；若正弦函数值为负，则角的终边在第三或第四象限或y轴的负半轴上． 2、若余弦函数值为正，则角的终边在第一或第四象限或x轴的正半轴上；若余弦函数值为负，则角的终边在第二或第三象限或x轴的负半轴上． 【题型5：利用诱导公式求值】 例5．（24-25高三上·湖北·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（24-25高一上·江苏盐城·月考）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（23-24高一上·天津·月考）的值为 ． 变式5-3．（24-25高一上·山东青岛·月考）若是第三象限角，且，求的值 【方法技巧与总结】 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【题型6：利用诱导公式化简】 例6．求证：. 变式6-1．求证：. 变式6-2．(1)若为第二象限角，且，求的值. (2)化简：. 变式6-3．化简： (1)； (2)． 【方法技巧与总结】 用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 1．（24-25高一上·四川绵阳·月考）在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）“”是“为第一象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·广西百色·期末）当x为第二象限角时， （    ） A．1 B．0 C．2 D．－2 4．（23-24高一上·陕西西安·期末）使得函数为减函数，且值为负数的区间为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·北京东城·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高一上·天津南开·期末）已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．或 7．（23-24高一上·山西太原·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（    ）    A． B． C． D． 9．（24-25高一上·江苏盐城·月考）（多选）在中，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·湖南长沙·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·天津·期末）设函数，若[x]表示不超过x的最大整数，则函数 的值域是 . 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 课程标准 学习目标 （1）借助单位圆理解任意角的正(余)弦函数定义，利用定义解决相关问题； （2）会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质，并解决相关问题； （3）借助正弦函数、余弦函数的定义理解并掌握正弦、余弦函数值在各象限内的符号； （4）了解三角函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程． （1）会利用任意角的正弦函数、余弦函数的定义求函数值； （2）能求正（余）弦函数的单调性、最小正周期、最值等，了解正（余）弦函数值的符号； （3）借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出诱导公式与旋转； （4）掌握诱导公式并能灵活运用，能进行简单的三角函数式的化简、求值与证明． 知识点01 任意角的正弦函数和余弦函数 1、利用单位圆定义任意角的正弦函数和与余弦函数 如图，在直角坐标系中，给定任意角，作单位圆，角的终边与单位圆的交点为，点P的纵坐标、横坐标都是唯一确定的．把点P的纵坐标叫作角的正弦值，把点P的横坐标叫作角的余弦值，于是，在弧度意义下，对于，称为任意角的正弦函数，为任意角的余弦函数． 2、利用角的终边上的一点的坐标定义正弦函数和余弦函数 （1）定义：设角终边上除原点外的一点，则，，其中． （2）要点提醒： ①对任意一个给定的角，它只有唯一的一条终边，从而终边与单位圆只有唯一的交点，所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的． ②角的三角函数值与点在终边上的位置无关． ③根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到. 3、特殊角的正弦函数值、余弦函数值 0 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 【即学即练1】在平面直角坐标系中，已知，，那么角的终边与单位圆的交点坐标为 . 【答案】 【解析】设角的终边与单位圆的交点坐标为， 因为，， 由三角函数的定义，可得，即. 故答案为： 【即学即练2】（24-25高一上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由任意角三角函数定义得，故C正确.故选：C 知识点02 正弦函数、余弦函数的基本性质 1、单位圆与正（余）弦函数的基本性质 函数 性质 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时， 周期性 周期函数，最小正周期为 单调性 在区间上单调递增 在区间上单调递减 在区间上单调递增 在区间上单调递减 2、正弦函数、余弦函数值在各象限的符号 根据正弦函数、余弦函数的定义和各象限内点的横、纵坐标的符号，可以得到正弦函数值、余弦函数值在每个象限的符号，如图所示． 【总结】口诀概括为：一全正、二正弦、三全负、四余弦． 【即学即练3】在内，函数和都是增函数的区间是 . 【答案】 【解析】因为在内单调增区间为：， 在内单调增区间为：， 所以在内，函数和都是增函数的区间是. 【即学即练4】（23-24高一下·北京海淀·期中）若且，则的终边在所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】的终边过点，又且， 则的终边在所在象限为第四象限.故选：D. 知识点03 诱导公式与对称 1、角与的正弦函数、余弦函数关系 终边关系 图示 角与角的终边关于x轴对称 公式 ， 性质 是奇函数，是偶函数 2、角与的正弦函数、余弦函数关系 终边关系 图示 角与角的终边关于原点对称角与角的终边关于原点对称 公式 ， ， 3、角与的正弦函数、余弦函数关系 终边关系 图示 角与角的终边关于y轴对称 公式 ， 【即学即练5】（24-25高一上·广西·月考）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故选：C. 【即学即练6】（24-25高一上·四川成都·月考）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则，则， 所以， ，故选：A. 知识点04 诱导公式与旋转 图示 公式 ， ， 【总结】诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． 【即学即练7】（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知角α的终边上有一点，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知角α的终边上有一点，则， 故，则，故选：A 【即学即练8】（24-25高一上·云南玉溪·月考），那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以.故选：A. 难点1：求终边在已知直线上的角的三角函数值 1、先利用直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦函数、余弦函数的定义求出相应的三角函数值． 2、注意到角的终边为射线，应分两种情况处理，取射线上任意一点，则对应角的正弦值为，余弦值为． 【示例1】已知角的终边在直线上，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【解析】由题知， 设角的终边上一点，则. 当时，，，， 所以； 当时，，，， 所以.故选：C. 【示例2】（23-24高二上·云南大理·开学考试）已知角的终边落在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线上任意一点P的坐标为（）， 则（O为坐标原点）， 根据正弦函数的定义得：， 时，； 时，， 所以选项D正确，选项A，B，C错误，故选：D. 难点2：利用单位圆解三角函数不等式 求三角函数不等式常转化为以下两种类型 1、求解形如，的不等式的具体方法为： （1）如图，画出单位圆； （2）在轴上截取，过点作轴的垂线，交单位圆于，两点，作射线，； （3）写出以射线与为终边的角； （4）图中阴影部分(包括边界)为满足不等式的角的终边的范围，空白部分(包括边界)为满足不等式的角的终边的范围． 2、求解形如，的不等式的具体方法为： （1）如图，画出单位圆； （2）在轴上截取，过点作轴的垂线，交单位圆于，两点，作射线，； （3）写出以射线与为终边的角； （4）图中阴影部分(包括边界)为满足不等式的角的终边的范围，空白部分(包括边界)为满足不等式的角的终边的范围． 【示例3】（1）已知，求：满足条件的角的取值范围； （2）已知，求：满足条件的角的取值范围； 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）由可知，角x对应的正弦线方向朝上，而且长度为， 作示意图，如图所示， 可知角的终边可能是，也可能是， 又因为，所以或， 再由图可知，如果的终边在中，则一定有， 因此，满足条件的角的取值范围. （2）画出单位圆中三角函数线，如图． 由图可知角的范围是： 或. 【示例4】利用单位圆，求适合下列条件的角α的集合． (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1） 如图1，为直线与单位圆的两个交点，可知，. 设的终边落在射线上，的终边落在射线上，， 根据三角函数的定义可知，，，， 所以，，. 又当的终边落在射线或上时，有， 所以，满足条件的的集合为 . （2） 如图2，为直线与单位圆的两个交点，可知，. 设的终边落在射线上，的终边落在射线上，， 根据三角函数的定义可知，，，， 所以，，. 根据图2可知，当，且时，有. 所以，当时，由可得，. 难点3：三角函数中的诱导公式 设是的三个内角，则有，所以，，，． 【注意】已知三角形中两个内角的余弦值或正弦值相等，则这两个内角相等，即在三角形中，若或，则． 【示例5】（24-25高一上·江苏南京·月考）（多选）在中，下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】在中，， 对于A，，A正确； 对于B，，不一定为0，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，不一定为0，D错误． 故选：AC 【示例6】（23-24高一上·新疆伊犁·月考）（多选）在中，下列关系不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】，A选项错误. ，B选项正确. ，C选项错误. ，D选项错误.故选：ACD 【题型1：单位圆法求正（余）弦函数值】 例1．（24-25高一上·广东深圳·月考）已知角的终边与单位圆的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为角的终边与单位圆的交点为，所以，故选：B 变式1-1．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得，则.故选：A 变式1-2．（24-25高一上·天津南开·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知，点在第二象限，设其横坐标为，由，得， 所以.故选：C 变式1-3．（24-25高一上·河北石家庄·月考）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在单位圆上，， 又终边在第三象限，，，， .故选：C. 【方法技巧与总结】 单位圆法求三角函数的值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 【题型2：坐标法求正（余）弦函数值】 例2．（24-25高一上·河北衡水·月考）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点到原点距离，所以.故选：C 变式2-1．（24-25高一上·福建福州·月考）（多选）若角的终边上有一点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为角的终边上有一点，， 当时，， 当时，，故选：AD. 变式2-2．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若角终边上有一点，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】根据题意可知，解得.故选：B. 变式2-3．（24-25高一上·江苏扬州·月考）已知角终边经过点，且，则的值为 . 【答案】 【解析】因为角终边经过点， 所以，所以，解得. 【方法技巧与总结】 已知角终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 1、在角的终边上任选一点，求出点到原点的距离为，则，． 2、当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，注意要根据条件对参数符号进行讨论． 【题型3：正（余）弦函数基本性质的应用】 例3．（24-25高一上·甘肃·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B. 变式3-1．函数的最大值为 . 【答案】0 【解析】因为函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值0. 变式3-2．（23-24高一下·河南驻马店·月考）函数和在下列哪个区间上都是单调递减的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A．当时，单调递减，单调递减，故A正确； B．当时，单调递减，单调递增，故B错误； C．当时，单调递增，单调递增，故C错误； D．当时，单调递增，单调递减，故D错误；故选：A. 变式3-3．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数是定义在上的任意奇函数，则下列函数一定为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，令，， 故，即是奇函数，故A错误， 对于B，令，而， 故是偶函数，故B正确， 对于C，令，， 显然当时，不是偶函数，故C错误， 对于D，令，而, 故，即是奇函数，故D错误.故选：B 【方法技巧与总结】 1、利用正弦函数、余弦函数的周期性求值的方法 正弦函数、余弦函数的最小正周期都是2π，从而2kπ(k∈Z，k≠0)都是它们的周期，即sin(2kπ＋α)＝sinα， cos(2kπ＋α)＝cosα，k∈Z.先借助正弦函数、余弦函数的周期性，把已知角转化为[0，2π)范围内的角，然后求值，熟记特殊角的三角函数值是解题的基础． 2、判断正弦函数、余弦函数在给定具体区间内的单调性时，要在全部单调区间的前提下，对k取特殊值后，与该给定区间求交集，即为所求单调区间，要注意不能遗漏． 【题型4：正（余）弦函数值在各象限的符号】 例4．（23-24高一下·北京·月考）已知角终边上有一点，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【解析】依题意，，则，即， 所以点在第一象限，即为第一象限角.故选：A 变式4-1．（23-24高一上·河北保定·期中）已知角终边上有一点，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】角是第四象限角，是第一象限角，是第三象限角.故选：C. 变式4-2．（24-25高一上·云南玉溪·月考）已知，则角的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 由，可得角的终边位于第三象限.故选：C 变式4-3．（23-24高一上·广东惠州·月考）已知角的终边位于第二象限，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由于的终边位于第二象限，所以， 所以位于第二象限.故选：B 【方法技巧与总结】 判断角的终边所在象限的相关结论 1、若正弦函数值为正，则角的终边在第一或第二象限或y轴的正半轴上；若正弦函数值为负，则角的终边在第三或第四象限或y轴的负半轴上． 2、若余弦函数值为正，则角的终边在第一或第四象限或x轴的正半轴上；若余弦函数值为负，则角的终边在第二或第三象限或x轴的负半轴上． 【题型5：利用诱导公式求值】 例5．（24-25高三上·湖北·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B. 变式5-1．（24-25高一上·江苏盐城·月考）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，故选：A 变式5-2．（23-24高一上·天津·月考）的值为 ． 【答案】0 【解析】 . 变式5-3．（24-25高一上·山东青岛·月考）若是第三象限角，且，求的值 【答案】 【解析】， 若是第三象限角，且，有， 则，，所以. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【题型6：利用诱导公式化简】 例6．求证：. 【答案】证明见解析 【解析】左边右边， 故原式得证. 变式6-1．求证：. 【答案】证明见解析 【解析】左边右边， 故原式成立. 变式6-2．(1)若为第二象限角，且，求的值. (2)化简：. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为为第二象限角，所以，又， 所以， 所以. （2）. 变式6-3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)1；(2) 【解析】（1）原式． （2）原式 【方法技巧与总结】 用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 1．（24-25高一上·四川绵阳·月考）在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，且，解得，所以.故选：D 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）“”是“为第一象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】等价于或， 当时，为第一象限角；当时，为第三象限角； 所以“”是“为第一象限角”的必要不充分条件.故选：B. 3．（24-25高一上·广西百色·期末）当x为第二象限角时， （    ） A．1 B．0 C．2 D．－2 【答案】C 【解析】因为是第二象限角， 所以，故选：C 4．（23-24高一上·陕西西安·期末）使得函数为减函数，且值为负数的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由的图象与性质可知时，函数单调递减，且函数值为负数.故选：C 5．（24-25高一上·北京东城·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为对任意恒成立， 可知可以推出，但不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 6．（23-24高一上·天津南开·期末）已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为角的终边经过点，则， 可得， 所以.故选：C. 7．（23-24高一上·山西太原·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由诱导公式，可得． 由，可得， 因为，所以，所以， 则．故选：C． 8．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，设点的坐标为， 所以由三角函数的定义可得， 因为，即， 对于A，在第一象限，且，不满足题意，故A错误； 对于B、C，、在第三象限，且，则，不满足题意，故B、C错误； 对于D，在第四象限，且，则， 所以，满足题意，故D正确.故选：D. 9．（24-25高一上·江苏盐城·月考）（多选）在中，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以A正确； 因为，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以D正确.故选：ACD 10．（22-23高一上·湖南长沙·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】相遇时间为秒， 故转过的角度为， 故对应坐标为，即.故选：C 11．（24-25高一上·天津·期末）设函数，若[x]表示不超过x的最大整数，则函数 的值域是 . 【答案】 【解析】， 因为，所以， 则，即， 所以，则， 根据取整函数的定义可得函数 的值域是. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$