7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 题型一 角度制与弧度制概念辨析 1. 关于弧度制有下列说法： ①扇形圆心角的弧度数随扇形的弧长的增大而增大． ②大圆中1弧度的角大于小圆中1弧度的角． ③大圆中1弧度的角等于小圆中1弧度的角． 其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列各说法，正确的是（    ） A．半圆所对的圆心角是π rad B．圆周角的大小等于2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度 3.（22-23高一下·江西萍乡·期中）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位 B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C．根据弧度的定义，一定等于弧度 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关 题型二 角度制化为弧度制 1. （23-24高一下·北京房山·期中）化成弧度是（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·广东汕头·高一统考期末）将时钟的分针拨快5分钟，则分针转过的弧度是（    ） A． B． C． D． 3.（2024·高一课时练习）把下列各角从度化为弧度： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 题型三 弧度制化为角度制 1. （23-24高一上·广东汕头·月考）化为角度是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·山东潍坊·月考）（多选）下列转化结果正确的是是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 3．分别把下列各角从弧度化为度： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四 扇形弧长的相关计算 1. （23-24高一上·云南曲靖·月考）半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·福建南平·高一统考期末）半径为2的圆中，的圆心角所对的弧的长度是 ． 3.（24-25高一上·黑龙江·期末）已知扇形的半径为，它的周长为，那么该扇形的圆心角为（    ） A． B．4 C． D．2 4. （23-24高一下·江西乙醇·月考）如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为 ． 题型五 扇形面积的相关计算 1. （23-24高一下·广东韶关·月考）已知扇形的圆心角为2弧度，其弧长为8m，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·福建龙岩·高一福建省武平县第一中学校联考期末）已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2024下·江苏·高一开学考试）数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是（    ）    A． B． C． D． 4．（2024上·福建三明·高一统考期末）中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为50cm，内弧线的长为15cm，连接外弧与内弧的两端的线段的长均为14cm，则该扇环的面积为 ． 题型六 扇形周长、面积的最值 1.（23-24高一下·重庆璧山·月考）已知某扇形的周长是24，则该扇形的面积的最大值是（    ） A．28 B．36 C．42 D．50 2.（2023高二上·湖南岳阳·竞赛）在面积为定值S的扇形中，扇形的周长最小时半径是 . 3．（2024上·重庆·高一重庆南开中学校考期末）南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2米长的紫色丝带围成一个扇形展示框，则该展示框的面积最大值为 ． 4. （23-24高一下·河南南阳·月考）已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为． (1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值； (2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值． 5．（2024下·山东·高一校联考阶段练习）如图，点A，B，C是圆上的点． (1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； (2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 1. （23-24高一下·河南驻马店·月考）如图，在菱形中，，，，，分别是边，，，的中点，以点为圆心，以，为半径作出两段圆弧，与分别交于点，，分别以，，为圆心，用同样方法作出如图阴影部分的扇环，其中.若扇环的周长为，则扇环的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位．1密位等于圆周角的，即弧度密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数．且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成，123密位写成，设圆的半径为1，那么密位的圆心角所对的弧长为（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高一下·辽宁大连·月考）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆的一部分和以为直径的圆的一部分，若是的中点，，南北距离的长大约，则该月牙泉的面积约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 4．【多选】（2024上·江苏南京·高一统考期末）已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（    ） A．该扇形面积的最小值为8 B．当扇形周长最小时，其圆心角为2 C．的最小值为9 D．的最小值为 5．（2024上·陕西西安·高一校考阶段练习）如图1所示的是杭州2024年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，. (1)求； (2)若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？ 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 题型一 角度制与弧度制概念辨析 1. 关于弧度制有下列说法： ①扇形圆心角的弧度数随扇形的弧长的增大而增大． ②大圆中1弧度的角大于小圆中1弧度的角． ③大圆中1弧度的角等于小圆中1弧度的角． 其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据弧度制的知识确定正确答案. 【详解】1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角， 与圆的半径无关，据此可知③正确，①②错误． 故选：B 2.（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列各说法，正确的是（    ） A．半圆所对的圆心角是π rad B．圆周角的大小等于2π C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度 【答案】ABC 【解析】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度， 则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，D的说法错误， 根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知，ABC的说法正确．故选：ABC 3.（22-23高一下·江西萍乡·期中）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位 B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C．根据弧度的定义，一定等于弧度 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关 【答案】ABC 【解析】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A正确； 由圆周角的定义知，1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，所以B正确； 根据弧度的定义知，一定等于弧度，所以C正确； 无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关， 只与弧长与半径的比值有关，故D不正确.故选：ABC. 题型二 角度制化为弧度制 1. （23-24高一下·北京房山·期中）化成弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以.故选：A 2．（2023上·广东汕头·高一统考期末）将时钟的分针拨快5分钟，则分针转过的弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度的定义，可得答案. 【详解】由题意，分针转过的角度为，由转动的方向为顺时针，则弧度为. 故选：B. 3.（2024·高一课时练习）把下列各角从度化为弧度： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】由换算即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 题型三 弧度制化为角度制 1. （23-24高一上·广东汕头·月考）化为角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 2.（23-24高一下·山东潍坊·月考）（多选）下列转化结果正确的是是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 【答案】AB 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C ，，故C错误； 对于D，，故D错误.故选：. 3．分别把下列各角从弧度化为度： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据弧度与度互化公式求得各小题结果. 【详解】（1）； （2）； （3） （4）. 题型四 扇形弧长的相关计算 1. （23-24高一上·云南曲靖·月考）半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆心角化为弧度为，则弧长为.故选：D 2．（2024上·福建南平·高一统考期末）半径为2的圆中，的圆心角所对的弧的长度是 ． 【答案】 【分析】直接根据弧长公式求解. 【详解】由已知的圆心角所对的弧的长度是. 故答案为：. 3.（24-25高一上·黑龙江·期末）已知扇形的半径为，它的周长为，那么该扇形的圆心角为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【解析】设扇形的圆心角为，半径为， 由题意可得，故，故选：B 4. （23-24高一下·江西乙醇·月考）如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为 ． 【答案】 【解析】第一次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过的路径是， 第二次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过的路径是， 第三次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过的路径是， 点三次共走过的路径是， 故答案为：． 题型五 扇形面积的相关计算 1. （23-24高一下·广东韶关·月考）已知扇形的圆心角为2弧度，其弧长为8m，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由扇形的圆心角为2弧度，其弧长为8m，得扇形所在圆半径， 所以该扇形的面积().故选：C 2．（2024上·福建龙岩·高一福建省武平县第一中学校联考期末）已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出扇形的半径，再由面积公式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，因为扇形的圆心角，扇形的周长为， 则，解得， 所以此扇形的面积. 故选：B 3．（2024下·江苏·高一开学考试）数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解. 【详解】由已知得， 则，故扇形的面积为， 由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍， ∴所求面积为． 故选：C. 4．（2024上·福建三明·高一统考期末）中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为50cm，内弧线的长为15cm，连接外弧与内弧的两端的线段的长均为14cm，则该扇环的面积为 ． 【答案】455 【分析】由扇环补形成两个扇形，设出扇形半径和圆心角，通过扇形相关公式列出方程组，求解即得扇环面积. 【详解】 如图，作出包含扇环的两个扇形和,依题意，的长为50cm, 的长为15cm, cm, 不妨设扇形的半径为，则扇形的半径为，设圆心角,则，解得：， 于是扇环的面积为. 故答案为：455. 题型六 扇形周长、面积的最值 1.（23-24高一下·重庆璧山·月考）已知某扇形的周长是24，则该扇形的面积的最大值是（    ） A．28 B．36 C．42 D．50 【答案】B 【解析】设扇形的弧长为，半径为，则， 所以扇形的面积， 当且仅当，即时取等号， 所以该扇形的面积的最大值是36，故选：B 2.（2023高二上·湖南岳阳·竞赛）在面积为定值S的扇形中，扇形的周长最小时半径是 . 【答案】 【解析】设扇形的半径为，扇形圆心角为，则扇形弧长为， 故，故， 所以扇形的周长为， 由基本不等式得， 当且仅当，即，此时，满足要求. 3．（2024上·重庆·高一重庆南开中学校考期末）南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2米长的紫色丝带围成一个扇形展示框，则该展示框的面积最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设该扇形的半径为，弧长为，面积为，由已知可得，，利用扇形面积公式结合二次函数求最值即可. 【详解】设该扇形的半径为，弧长为，面积为， 由已知，则，， 所以， 所以当时，有最大值. 故答案为：. 4. （23-24高一下·河南南阳·月考）已知一扇形的圆心角为，半径为，面积为，周长为． (1)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最小？并求出的最小值； (2)若，则扇形圆心角为多少弧度时，最大？并求出的最大值． 【答案】(1)，最小值为；(2)，最大值为． 【解析】（1）， 则． 由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立，此时． 当时，最小，最小值为． （2），． ． 当，即时，． 当时，最大，最大值为． 5．（2024下·山东·高一校联考阶段练习）如图，点A，B，C是圆上的点． (1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； (2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)面积为，弧AB的长为 (2)， 【分析】（1）根据扇形的弧长公式和面积公式进行计算即可.（2）根据扇形的弧长公式和面积公式结合基本不等式的应用进行求解. 【详解】（1）由题意知，设，所以 根据扇形弧长； 扇形面积； （2）由，即， 扇形的周长为当且仅当等号成立， 所以由知：． 1. （23-24高一下·河南驻马店·月考）如图，在菱形中，，，，，分别是边，，，的中点，以点为圆心，以，为半径作出两段圆弧，与分别交于点，，分别以，，为圆心，用同样方法作出如图阴影部分的扇环，其中.若扇环的周长为，则扇环的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，因为扇环的周长为， 所以：. 所以扇环的面积为：.故选：B 2．（2024下·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位．1密位等于圆周角的，即弧度密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数．且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成，123密位写成，设圆的半径为1，那么密位的圆心角所对的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用密位制与弧度制公式及弧长公式计算即可. 【详解】由题意知，密位的圆心角为，所以弧长为. 故选：C. 3.（23-24高一下·辽宁大连·月考）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆的一部分和以为直径的圆的一部分，若是的中点，，南北距离的长大约，则该月牙泉的面积约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的外接圆的半径为，圆心为，如图： 因为，所以是等边三角形，， 因为月牙内弧所对的圆心角为，所以内弧的弧长， 所以弓形的面积为， 以为直径的半圆的面积为， 所以该月牙泉的面积为，故选：D 4．【多选】（2024上·江苏南京·高一统考期末）已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（    ） A．该扇形面积的最小值为8 B．当扇形周长最小时，其圆心角为2 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】由题意，知，则，对于选项ABC利用基本不等式可判断，对于选项D利用二次函数可解. 【详解】由题意，知，则， 所以扇形面积 ， 当且仅当，即时，等号成立，选项A错误； 扇形周长为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，圆心角为，选项B正确； ， 当且仅当，即时，等号成立，选项C正确； , 当时，上式取得最小值为，选项D正确. 故选：BCD. 5．（2024上·陕西西安·高一校考阶段练习）如图1所示的是杭州2024年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，. (1)求； (2)若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？ 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）通过弧长比可以得到与的比，再利用扇形面积公式即可求解； （2）由题意得，，然后利用基本不等式求最值即得. 【详解】（1）由，则，， 所以，即，， . （2）由（1）知，， 几何图形的周长为， ，当且仅当，即时，最大值为1. 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$