专题05 二次函数（8类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（陕西专用）

专题05 二次函数 课标要求 考点 考向 1.会用描点法画出画出二次函数的图象，会利用些特殊点画出二次函数的草图； 2.通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系。 3.会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标； 4.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x - h)2 +k(a≠0)的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题； 5.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解； 二次函数的图象与性质 考向一 二次函数图象上点的坐标特征 考向二 二次函数的平移与顶点坐标 考向三 二次函数的最值 考向四 判断二次函数的图象特征 二次函数的应用 待定系数法确定二次函数表达式 求一个二次函数关于坐标轴对称的函数表达式 二次函数与图形综合 考向一 二次函数的图象与全等三角形 考向二 二次函数的图象与相似三角形 考点一 二次函数的图象与性质 知识提要： 1.二次函数一般式y= ax2+bx+c的系数与图象的关系 y= ax2+bx+c a>0，开口向上 a<0，开口向下 对称轴是x=，顶点坐标是（，），与y轴的交点（0，c） 增减性 当x<时，y随x的增大而减小； 当x>时，y随x的增大而增大； 简记左减右增； 当x<时，y随x的增大而增大； 当x>时，y随x的增大而减小； 简记左增右减； 2.二次函数y=a(x - h)2 +k的图象与性质 y=a(x - h)2 +k a>0 a<0 图象 k>0,h>0 k>0,h<0 k<0,h>0 k<0,h<0 k>0,h<0 k>0,h>0 k<0,h>0 k<0,h<0 对称轴：x=h 顶点坐标：（h，k） 增减性 x>h，y随x的增大而增大; x<h，y随x的增大而减小 x>h，y随x的增大而减小; x<h，y随x的增大而增大 开口方向 开口向上 （图象在直线y=k的上方） 开口向下 （图象在直线y=k的下方） 开口大小 /a/的越大，抛物线开口越小，图象越靠近直线x=h ►考向一 二次函数图象上点的坐标特征 技巧方法 （1）二次函数图象上点的坐标满足其解析式 （2）根据解析式，代数求值，利用对称轴、或特殊点，画出二次函数的草图 1．（2022陕西）已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解． 【详解】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4， ∴对称轴为直线x=1， 令y=0，则(x-1)2-4=0， 解得x=-1或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)， 二次函数y=x2−2x−3的图象如图： 由图象知． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键． ►考向二 二次函数的平移与顶点坐标 解题技巧 1.利用配方法或公式法把二次函数一般式y= ax2+bx+c化为顶点式y=a(x - h)2 +k ： 其中h =，k= 2. 二次函数的平移： y=a(x - h)2+k与y=ax2图象之间的关系 抛物线的形状不变，顶点位置由（0，0）平移到（h，k） 2．（2020陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可． 【详解】解：， 该抛物线顶点坐标是，， 将其沿轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，， ， ， ， ， 点，在第四象限； 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键． ►考向三 二次函数的最值 解题技巧 1.根据一般式y= ax2+bx+c求最值：①化为顶点式；②直接利用公式 y= ax2+bx+c a>0，开口向上 a<0，开口向下 最值 x=时，有最小值： x=时，有最大值： 2.根据顶点式y=a(x - h)2 +k 求最值： y=a(x - h)2 +k a>0 a<0 最值 x=h时，取得最小值k x=h时，取得最大值k 3．（2023陕西）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】D 【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值． 【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，， ∵二次函数，对称轴在轴左侧，即， ∴， ∴， ∴， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键． ►考向四 判断二次函数的图象特征 技巧方法 （1）根据表格或图象确定二次函数的表达式（待定系数法） （2）根据图象或表达式，分析函数的开口、对称轴、增减性、最值、与坐标轴的交点情况。 4．（2024陕西）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 5．（2021陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： … -2 0 1 3 … … 6 -4 -6 -4 … 下列各选项中，正确的是 A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点 C．这个函数的最小值小于-6 D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【分析】利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 依题意得：，解得：， ∴二次函数的解析式为=， ∵， ∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意； ∵， ∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意； ∵，∴当时，这个函数有最小值，故C选项符合题意； ∵这个函数的图象的顶点坐标为(，)， ∴当时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键． 考点二 二次函数的应用 ►考向一 待定系数法确定二次函数表达式 二次函数的应用——生活中的二次函数模型 常见模型：拱桥、隧道等拱形建筑，投球、喷水等拱形路线 技巧方法： ①根据实际模型（示意图）建立平面直角坐标系，转化为数学问题； ②表示出相关点的坐标； ③建立二次函数模型：求二次函数关系式 ④运用二次函数的图象与性质进行决策（求最值、截线长等） 6．（2023陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用待定系数法则，求出抛物线的解析式即可； （2）在中，令得：，求出或，得出，求出，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴； ∴方案一中抛物线的函数表达式为； （2）解：在中，令得：， 解得或， ∴， ∴； ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法则，求出函数解析式． 7．（2022陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可； （2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题． 【详解】（1）依题意，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得．解之，得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）令，得． 解之，得． ∴． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． ►考向二 求一个二次函数关于坐标轴对称的函数表达式 易错易混提醒：利用二次函数顶点式求其关于坐标轴对称的函数表达式 1.y=a(x - h)2 +k关于y轴对称的函数表达式为y=a(x + h)2 +k 图象变化：形状不变，开口方向不变顶点坐标由(h，k)变为(-h，k) 2.y=a(x - h)2 +k关于x轴对称的函数表达式为y=-a(x - h)2 -k 图象变化：形状不变，改变开口方向，顶点坐标由(h，k)变为(h，-k) ※3.y=a(x - h)2 +k关于原点对称的函数表达式为y=-a(x + h)2 -k 图象变化：形状不变，改变开口方向，顶点坐标由(h，k)变为(-h，-k) 8．（2024陕西）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 【答案】(1)； (2)的长为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可； （2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 考点三 二次函数与图形综合 知识提要 ·运用方程思想解抛物线与直线的交点坐标问题： （1）表示抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)与直线y=kx+b(k≠0)的交点坐标：先令ax2+bx+c=kx+b，求交点的横坐标；再代入直线，求交点的纵坐标. （2）表示抛物线与直线的截线长：先求抛物线与直线的交点坐标 案例：在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，与直线交于点、． 表示AB的长：设，令y=0，，利用跟与系数的关系得，AB=； 表示BC的长：设，令，得，，∴，BC= 技巧方法 （1）根据图象利用待定系数法确定二次函数表达式 （2）根据条件对问题的结果进行分类讨论 （3）根据二次函数与一元二次方程的关系，利用两点间的距离表示相关线段的长. （4）表示抛物线与直线的截线段之间的等量关系（含参问题中即可转化为绝对值方程进行解题）：题干中出现全等三角形、平行四边形等隐含对应边相等或对边相等的条件。先求出交点坐标，再利用对边相等建立方程解题 ►考向一 二次函数的图象与全等三角形 9．（2020陕西）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式； （2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）． 【分析】（1）根据待定系数法，将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解； （2）在△AOC中，OA＝OC＝3，由题意：以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等可知PD＝DE＝3，再分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，求解即可． 【详解】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得 ，解得， 故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3； （2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3， 故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3）， 故OA＝OC＝3， ∵∠PDE＝∠AOC＝90°， ∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等， 设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2， 故n＝22+2×2﹣3＝5，故点P（2，5）， 故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）； 当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上， 综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何运用，涉及到三角形全等，掌握数形结合思想是解答关键，其中（2）需要分类求解，避免遗漏． ►考向二 二次函数的图象与相似三角形 10.（2021陕西）已知抛物线与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点B、C的坐标； （2）设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使与相似且与是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，或． 【分析】(1)令y=0,求的根即可；令x=0,求得y值即可确定点C的坐标； （2）确定抛物线的对称轴为x=1,确定的坐标为（2，8），计算C=2，利用直角相等，两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，分类求解即可. 【详解】解：（1）令，则， ∴， ∴． 令，则． ∴． （2）存在．由已知得，该抛物线的对称轴为直线． ∵点与点关于直线对称， ∴，． ∴． ∵点P在y轴上， ∴ ∴当时，． 设， i）当时，则， ∴． ∴ ii）当时，则， ∴ ∴． iii）当时，则，与矛盾． ∴点P不存在 ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对称轴的意义，三角形相似的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用三角形的相似和进行一元二次方程根的求解是解题的关键． 1．（24-25九年级上·陕西安康·期末）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求得抛物线的对称轴和开口方向，再根据所给点离对称轴的远近判断函数值的大小即可． 【详解】解：对于抛物线，由可得抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远的点函数值越大， ∵点，，在抛物线上，且， ∴， 故选：D． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（为常数）的图象经过点，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的值有关 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线，再根据，两点与对称轴的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 二次函数为常数）的对称轴为直线， 因为， 所以，两点关于抛物线的对称轴对称， 所以． 故选：C 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）若点，均在二次函数的图象上（点A在点B的左侧），且当时，，则b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据，得出二次函数的图象开口向上．根据，得出，从而得出线段的中点的横坐标大于1，根据，得出点A到对称轴的距离较近，对称轴在直线的左侧或重合，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：对于二次函数， ， 该二次函数的图象开口向上． 又∵点，均在该二次函数的图象上，且， ，即线段的中点的横坐标大于1， 又∵， 点A到对称轴的距离较近， 对称轴在直线的左侧或重合， ， ． 故选：D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值7 C．最小值 D．最小值7 【答案】B 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，正确得出m的值是解题关键． 依据题意，将代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，得出，再利用二次函数的性质求得最值即可． 【详解】解：∵二次函数（为常数）的图象经过点， ∴， 解得：或， ∵对称轴在轴的左侧， ∴， 解得：， ∴， ∴二次函数， ∴该二次函数图象开口向下，有最大值7， 故选：B． 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线，若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线上的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求解，求解，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上， ∵， ∵， ∴两点位于对称轴左侧，点位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴， 解得：， 故选：． 6．（24-25九年级上·陕西安康·期末）若二次函数的图象开口向下，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质、y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的定义，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 根据二次函数的图象和性质：开口向下时二次项系数小于0，常数项大于0，交y轴正半轴． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， ∴二次函数图象开口向下，与y轴交点的正半轴相交． ∴选项D符合题意． 故选：D． 7．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为直线，与y轴的交点在y轴负半轴上，将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线，则下列关于抛物线的说法中，错误的是（   ） A．与x轴的一个交点为 B．经过坐标原点 C．对称轴为直线 D．当时， 【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质及二次函数的平移，根据二次函数平移直接判断B、C；根据平移后二次函数性质判断A；求出平移后二次函数表达式根据性质判断D即可解决． 【详解】解：抛物线经过点，对称轴为直线，将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线， 抛物线必过点，对称轴为直线，故B、C正确； 抛物线与x轴的一个交点为，故A正确； 设抛物线表达式为， 把代入，， ， ， 抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上， ， 解得：， 抛物线表达式为， 当时，，故D错误； 故选：D． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值 0 1 3 6 2 0 2 下列选项中，正确的有（    ） ①函数图像开口向上；②函数图像不经过第四象限；③当时，；④在函数图像上有两点，则． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查求二次函数解析式以及二次函数的图象和性质，先利用待定系数法求出解析式，再根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：将，，代入， 得：， 解得， ， 由得这个函数的图象开口向上，故①正确； ∵抛物线的对称轴为，对应的函数值为：， ∴顶点坐标为：，位于第四象限，故②错误； 当时，，故③正确； 当时，， 当时，， ∴，故④正确； 综上可得：①③④正确， 故选：C． 9．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，且）y与x的部分对应值如下表： x … 0 3 5 … y … 16 0 0 … 下列结论正确的是（   ） A．抛物线开口向下 B．有最小值 C．若，是抛物线上两点，则 D．当时， 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合和时，此时，则该抛物线的对称轴是直线，则越靠近对称轴的所对应的函数值越小，即抛物线开口向上，在对称轴时，函数值有最小值，且小于，即可作答． 【详解】解：依题意，和时，此时， 则该抛物线的对称轴是直线， ∵时，；时，，且， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小，即抛物线开口向上； 故A选项不符合题意； 则在对称轴时，函数值有最小值，且时所对应的， 即抛物线有最小值，且小于， 故B选项不符合题意； ∵抛物线开口向上，且对称轴是直线，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，且 ∴， 则或， 故C选项不符合题意； ∵抛物线开口向上，且对称轴是直线，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∴当时，， 即D选项符合题意， 故选：D． 10．已知一次函数（、是常数），与的部分对应值如表： … 0 1 2 … … 2 4 6 … 下列说法中，正确的是（    ） A．图象经过第二、三、四象限 B．方程的解是 C．将的函数图象向左平移2个单位可得到该函数图象 D．该函数图象与轴的交点是 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题关键． 先求出一次函数解析式，得出经过的象限，可判断A选项；求出时的值，可判断B、D选项；根据“上加下减、左加右减”的平移规律，可判断C选项． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， ∴图象经过第一、二、三象限，故选项A错误； 令，则，解得：， ∴该函数图象与轴的交点是，故选项B错误，选项D正确； 将的函数图象向左平移2个单位可得到该函数的图象，故选项C错误； 故选：D． 11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线（a、b、c为常数，且）的y与x的部分对应值如下表： x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；④若是抛物线上两点，则．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据图表信息，用待定系数法求得解析式，依据二次函数的性质逐一判断解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设抛物线解析式为，根据题意，得， 解得， 故解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上， 故①正确． 根据纵坐标相同的两个点是对称点， ∴抛物线的对称轴是， 故②正确； ∵抛物线与x轴的两个交点为 ∴两个交点间的距离是4， 故③正确； 根据的性质，得距离对称轴越远，函数值越大， 又是抛物线上两点， 当在对称轴的右侧时，则．当在对称轴的左侧时，则． 故④错误． 故选B． 12．如图，已知抛物线（，，为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的个数是（   ） ①；②；③若方程两根为，（），则；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，从而结合图像得时，即可判断②错误；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断③正确；将c和b用a表示，即可得到，即可判断④错误． 【详解】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， ∴，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线与轴另一个交点， 由图像可知时， ∴，故②正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 由图可得，方程两根为满足，故④正确； ∵，，， ∴，解得，故④错误； ∴正确的个数为2个， 故选：B． 二、解答题 13．杭州亚运会女篮决赛，中国女篮以74比72战胜日本女篮夺得冠军，女篮的夺冠跟队员们平时的刻苦训练是分不开的．如图，这是一位篮球运动员在进行投篮训练，篮球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．以为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知投篮处A到地面的距离，最高点的坐标为，篮筐中心距离地面的竖直高度是． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当该篮球运动员距篮筐中心的水平距离为时，这次投篮训练是否成功？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)这次投篮训练能成功，理由见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数解析等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，然后点代入求得即可解答； （2）令，求y的值，然后与比较即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：抛物线过点，顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入可得：，解得：， 所以抛物线的函数表达式． （2）解：这次投篮训练能成功，理由如下： 令，则， ∵， ∴这次投篮训练能成功． 14．（23-24九年级下·陕西西安·期中）某厂房因用电需求增大，经审批现从米外的输电铁塔上架设一根临时供电电缆到厂房楼顶处，供电电缆可近似看作一条抛物线的一部分．如图，已知铁塔与厂房均垂直于地面，且米，电缆在距离铁塔米的点处最低，到地面的距离为米．以为原点，以，所在直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在实际架设电缆时，电缆与地面的距离低于米时存在高压线辐射，因此需要建立架空电力线路保护区，试问厂房是否在保护区外？ 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)厂房在保护区外，理由见解析 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查是二次函数的应用； （1）由题意可知，点坐标为，顶点的坐标为，设抛物线解析式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入中，解方程，结合题意取舍方程的解，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，点坐标为，顶点的坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入中，得， 解得， 所以，抛物线的解析式为； （2）由题意，将代入中， 解得或， ， 厂房在保护区外． 15．（23-24九年级下·陕西咸阳·期中）窑洞（如图1）是黄土高原的产物，是陕北地方劳动人民的象征，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息，它除了坚固及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点.小明家的窑洞（如图2）的门窗上面部分可以看成一个抛物线，下面部分是矩形，已知矩形的长，宽，门窗最高点D与地面垂直距离为，以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，小明想对家里的窑洞门窗进行装饰，准备在门窗上面的抛物线上悬挂两个灯笼，使它们离地面的高度相等，且均为，请求出两个灯笼的水平距离.（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）由题意知拋物线顶点D坐标，设二次函数解析式为：，把代入求解； （2）当时计算对应的横坐标，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意知拋物线顶点D坐标， 则抛物线的函数表达式为：， 把代入得：， ， ； （2）由题意知：， 解得，  ，             两灯笼的水平距离：米． 16．在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为，双向行驶车道宽度为（路面两侧各预留给非机动车），隧道顶部最高处距路面，矩形的高为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式； (2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？ 【答案】(1) (2)通过隧道的车辆应限制高度为 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据题意建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入解析式，求得的值，根据交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 隧道顶部最高处距路面6m，矩形的高为2m． ∴顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：依题意，当时，， ∵交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有． ∴通过隧道的车辆应限制高度为， 答：通过隧道的车辆应限制高度为 17．（2024·陕西渭南·一模）王老师在一次数学实践课上请同学们设计公园装饰景观灯，提供了两个素材． 素材1：某公园计划修建一个如图所示的景观灯，灯柱高为，抛物线形灯杆的最高点距离地面，且到灯柱的水平距离为，灯泡到地面的距离为．（灯泡大小忽略不计） 素材2：为使景观灯更加美观牢固，灯柱两边对称安装此抛物线形灯杆，灯泡C、D关于对称（C、D分别在这两个抛物线上），并在两个灯泡之间修建一个支架． 小张同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他完成以下两个任务： (1)求该抛物线在第一象限的函数表达式：（不要求写自变量x的取值范围） (2)小张同学设计的支架长为，请你结合已学知识，判断他设计的景观灯支架的长度是否符合要求，并说明理由． 【答案】(1) (2)他设计的景观灯支架的长度符合要求，理由见解析 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）由题意得，该抛物线顶点坐标为，再把抛物线设为顶点式，然后代入进行求解即可； （2）在求出当时，x的值，即可求出点D的坐标，进而求出点C的坐标即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，该抛物线顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴该抛物线在第一象限的函数表达式为； （2）解：他设计的景观灯支架的长度符合要求，理由如下： 在中，当时， 解得或（舍去）， ∴， ∵灯泡C、D关于对称 ∴， ∴， ∴他设计的景观灯支架的长度符合要求． 18．（2024·陕西商洛·二模）根据以下素材，探索解决下列问题． 素材1：图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．以矩形长的中点为原点O，竖直方向为y轴，水平方向为x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，大棚顶部的最高点为P． 素材2：为了让苗木更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好． (1)求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式； (2)若在距离B处水平距离的地方挂补光灯，为了使补光效果最好，求补光灯悬挂部分的长度．（灯的大小忽略不计） 【答案】(1) (2)补光灯悬挂部分的长度应是 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用： （1）根据图象，利用待定系数法即可求解； （2）当时，得，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图中的坐标系以及题意可得，点P的坐标为，点B的坐标为， 抛物线的顶点坐标为点， 可设抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得：． 抛物线的函数表达式为． （2）， 当时，， ， 补光灯悬挂部分的长度应是． 19．小李使用电脑软件通过光点运动模拟弹力球的抛物运动，如图，弹力球从轴上的点处抛出，其经过的路径是抛物线的一部分，并在点处达到最高点，在轴上的点处被弹起，向右继续沿抛物线运动，抛物线与抛物线的形状相同，且其达到的最大高度为1． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)在轴上有一个矩形框，光点只可通过矩形框的边落入框内，已知，，点．请判断光点是否会落入矩形框中，若能，请说明理由；若不能，为使光点落入框内（包括点），可以移动矩形框，请直接写出移动后的点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)不能， 【知识点】公式法解一元二次方程、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题以电脑模拟弹力球运动为背景，考查待定系数法求二次函数的解析式、图象和性质、方程思想、数形结合思想，读懂题意，数形结合，灵活运用推理能力、几何直观求解即可得到答案． （1）利用待定系数法确定函数解析式，再由抛物线的对称性求出点的坐标即可得到答案； （2）利用待定系数法确定函数解析式，当时，求出函数值即可判断；为使光点落入框内（包括点），将矩形框向左移动，设点，得到点，，根据题意，分两种情况：当刚好在抛物线上时；当刚好在抛物线上时；列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线在点处达到最高，设抛物线的函数表达式为，将点代入得，解得， ∴抛物线的函数表达式为， ∵对称轴为直线，点与关于直线对称， ∴点的坐标为； （2）解：∵抛物线与抛物线形状相同且抛物线的最大高度为1， ∴设抛物线的函数表达式为，将点代入得，解得（舍去），， ∴抛物线的函数表达式为； 当时，，则光点打在上，并不能落入矩形框里； 为使光点落入框内（包括点），将矩形框向左移动，设点，则点，， 当刚好在抛物线上时，，解得（舍去），， 当刚好在抛物线上时，，解得（舍去），， 综上所述，点横坐标的取值范围为． 20．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）素材：图1中有一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图．某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 解决问题： (1)若桥拱形状是圆弧，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米，判断它是否能顺利通行并说明理由； (2)若拱桥是抛物线形，为迎佳节，拟在图3所示的桥拱上悬挂长的灯笼．要求灯笼底部距离水面不小于，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为．为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布，则悬挂的灯笼数量是 个． 【答案】(1)能顺利通行，理由见解析 (2)7或8 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了二次函数和圆的综合应用，解题的关键是能把实际问题转化为数学问题，掌握二次函数，圆的相关性质． （1）画出图形，根据题意可知，，T，由勾股定理可得，即可得到答案． （2）先求出二次函数的解析式，然后根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，可知悬挂点的纵坐标的最小值是，即可知悬挂点的横坐标的取值范围是：；方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，根据，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，可知共可挂7盏灯笼；方案二：从距顶点处开始挂灯笼，可知共可挂8盏灯笼． 【详解】（1）解：如图，设圆心为M，设圆的半径为r米，由题意得于点C，于点T，连接， 则米， ∴，解得米， 根据题意可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴能顺利通行，船航行线路是船的中心线沿航行； （2）解：如图，以拱桥的顶点为坐标原点，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系， 则点B的坐标为， 设函数关系式为，代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ∴， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：； 方案一：如图3（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼， ∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼， 方案二：从距顶点处开始挂灯笼，如图4， ∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼， 故答案为：7或8． 21．（2024·贵州·模拟预测）如图①是位于安顺的坝陵河大桥．某兴趣小组受到该桥的启示，设计了一座桥的模型， 它的两桥塔，  之间的悬索 是抛物线型如图②所示，悬索上设置有若干条  垂直于水平线的吊索，图中， ，，悬索上最低点 到的垂直距离． (悬索 与 在同一平面内) (1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)根据设计要求，从抛物线的顶点 开始，每相隔 有一条吊索，当吊索高度 大于或等于时，需加固．求此条抛物线有多少条吊索需要加固； (3)若抛物线经过两点，，抛物线在，之间的部分为图象包括 ，  两点，图象 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，当  时，求 的值． 【答案】(1) (2)有8条吊索需要加固 (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质； （1）设抛物线的函数表达式为，根据题意得出，，待定系数法求解析式，即可求解； （2）当时，解方程，即可求解； （3）根据题意得出，，进而根据的范围，分四种情况讨论，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 依题意，， ∴，， ∴ 解得： ∴抛物线的函数表达式为：； （2）当时， ，解得： ∵，每相隔 有一条吊索，当吊索高度 大于或等于时，需加固． ， ∴有8条吊索需要加固； （3）解：∵抛物线经过两点，， ∴， ∵图象 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，有以下四种情况 ①如图，当时，的值随的值的增大而减小，依题意， 即 解得： ②当时，如图所示， 即 解得：（舍去） ③当时，如图所示， ∴ 即 解得：（舍去） ④当时，如图所示， ∴ ∴ 解得： 综上所述，或 22．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，且的坐标为，与轴交于点，连接，抛物线的对称轴为直线，为第一象限内抛物线上的一个动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为． (1)抛物线的表达式． (2)抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)存在，1或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用相似三角形的性质求解、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质； （1）根据点A的坐标为，抛物线的对称轴为直线得出点的坐标为，根据抛物线的表达式为，即可求解； （2）由（1）知点．则点，则，．于点E，，则，根据相似三角形的性质可得或，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，抛物线的对称轴为直线 点的坐标为， 则抛物线的表达式为， 解得， 故抛物线的表达式为． （2）解：存在． 由（1）知点．则点，则，． 又∵点的坐标为，点． ∴ ∵于点E，，则 若以点，，为顶点的三角形与相似， 则或，即或， 即或， 解得或（舍去）或或（舍去）， 经检验，和均符合题意， 故的值为1或． 23．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与轴交于和，与轴的交于． (1)求抛物线的表达式： (2)以点为位似中心，在轴上方将放大为原来的2倍后得到，且和的位似比是，点，，的对应点分别为，，．若经过，，三点的抛物线记为．在抛物线上是否存在点和点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求位似图形的对应坐标、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为； （2）求出，根据以点为位似中心，在轴上方将放大为原来的2倍后得到，且和的位似比是，可知，，，即可得抛物线记的解析式为，设，，由四边形是平行四边形，知的中点与的中点重合，列得方程组，据此计算即可得到答案． 【详解】（1）解：把和代入得： ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：在抛物线上存在点和点，使得四边形是平行四边形，理由如下： 在中，令得， ， 以点为位似中心，在轴上方将放大为原来的2倍后得到，且和的位似比是， ，，， 设抛物线记的解析式为，把代入得：， ， 抛物线记的解析式为， 设，， 四边形是平行四边形， 的中点与的中点重合， ， 解得：， ∴，． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质，位似变换等知识，解题的关键是掌握待定系数法，用含字母的式子表示相关点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数 课标要求 考点 考向 1.会用描点法画出画出二次函数的图象，会利用些特殊点画出二次函数的草图； 2.通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系。 3.会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标； 4.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x - h)2 +k(a≠0)的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题； 5.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解； 二次函数的图象与性质 考向一 二次函数图象上点的坐标特征 考向二 二次函数的平移与顶点坐标 考向三 二次函数的最值 考向四 判断二次函数的图象特征 二次函数的应用 待定系数法确定二次函数表达式 求一个二次函数关于坐标轴对称的函数表达式 二次函数与图形综合 考向一 二次函数的图象与全等三角形 考向二 二次函数的图象与相似三角形 考点一 二次函数的图象与性质 知识提要： 1.二次函数一般式y= ax2+bx+c的系数与图象的关系 y= ax2+bx+c a>0，开口向上 a<0，开口向下 对称轴是x=，顶点坐标是（，），与y轴的交点（0，c） 增减性 当x<时，y随x的增大而减小； 当x>时，y随x的增大而增大； 简记左减右增； 当x<时，y随x的增大而增大； 当x>时，y随x的增大而减小； 简记左增右减； 2.二次函数y=a(x - h)2 +k的图象与性质 y=a(x - h)2 +k a>0 a<0 图象 k>0,h>0 k>0,h<0 k<0,h>0 k<0,h<0 k>0,h<0 k>0,h>0 k<0,h>0 k<0,h<0 对称轴：x=h 顶点坐标：（h，k） 增减性 x>h，y随x的增大而增大; x<h，y随x的增大而减小 x>h，y随x的增大而减小; x<h，y随x的增大而增大 开口方向 开口向上 （图象在直线y=k的上方） 开口向下 （图象在直线y=k的下方） 开口大小 /a/的越大，抛物线开口越小，图象越靠近直线x=h ►考向一 二次函数图象上点的坐标特征 技巧方法 （1）二次函数图象上点的坐标满足其解析式 （2）根据解析式，代数求值，利用对称轴、或特殊点，画出二次函数的草图 1．（2022陕西）已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当−1<x1<0，1<x2<2，x3>3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． ►考向二 二次函数的平移与顶点坐标 解题技巧 1.利用配方法或公式法把二次函数一般式y= ax2+bx+c化为顶点式y=a(x - h)2 +k ： 其中h =，k= 2.二次函数的平移： y=a(x - h)2+k与y=ax2图象之间的关系 抛物线的形状不变，顶点位置由（0，0）平移到（h，k） 2．（2020陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ►考向三 二次函数的最值 解题技巧 1.根据一般式y= ax2+bx+c求最值：①化为顶点式；②直接利用公式 y= ax2+bx+c a>0，开口向上 a<0，开口向下 最值 x=时，有最小值： x=时，有最大值： 2.根据顶点式y=a(x - h)2 +k 求最值： y=a(x - h)2 +k a>0 a<0 最值 x=h时，取得最小值k x=h时，取得最大值k 3．（2023陕西）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 ►考向四 判断二次函数的图象特征 技巧方法 （1）根据表格或图象确定二次函数的表达式（待定系数法） （2）根据图象或表达式，分析函数的开口、对称轴、增减性、最值、与坐标轴的交点情况。 4．（2024陕西）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 5．（2021陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： … -2 0 1 3 … … 6 -4 -6 -4 … 下列各选项中，正确的是 A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点 C．这个函数的最小值小于-6 D．当时，y的值随x值的增大而增大 考点二 二次函数的应用 ►考向一 待定系数法确定二次函数表达式 二次函数的应用——生活中的二次函数模型 常见模型：拱桥、隧道等拱形建筑，投球、喷水等拱形路线 技巧方法： ①根据实际模型（示意图）建立平面直角坐标系，转化为数学问题； ②表示出相关点的坐标； ③建立二次函数模型：求二次函数关系式 ④运用二次函数的图象与性质进行决策（求最值、截线长等） 6．（2023陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 7．（2022陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． ►考向二 求一个二次函数关于坐标轴对称的函数表达式 易错易混提醒：利用二次函数顶点式求其关于坐标轴对称的函数表达式 1.y=a(x - h)2 +k关于y轴对称的函数表达式为y=a(x + h)2 +k 图象变化：形状不变，开口方向不变顶点坐标由(h，k)变为(-h，k) 2.y=a(x - h)2 +k关于x轴对称的函数表达式为y=-a(x - h)2 -k 图象变化：形状不变，改变开口方向，顶点坐标由(h，k)变为(h，-k) ※3.y=a(x - h)2 +k关于原点对称的函数表达式为y=-a(x + h)2 -k 图象变化：形状不变，改变开口方向，顶点坐标由(h，k)变为(-h，-k) 8．（2024陕西）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 考点三 二次函数与图形综合 知识提要 ·运用方程思想解抛物线与直线的交点坐标问题： （1）表示抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)与直线y=kx+b(k≠0)的交点坐标：先令ax2+bx+c=kx+b，求交点的横坐标；再代入直线，求交点的纵坐标. （2）表示抛物线与直线的截线长：先求抛物线与直线的交点坐标 案例：在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，与直线交于点、． 表示AB的长：设，令y=0，，利用跟与系数的关系得，AB=； 表示BC的长：设，令，得，，∴，BC= 技巧方法 （1）根据图象利用待定系数法确定二次函数表达式 （2）根据条件对问题的结果进行分类讨论 （3）根据二次函数与一元二次方程的关系，利用两点间的距离表示相关线段的长. （4）表示抛物线与直线的截线段之间的等量关系（含参问题中即可转化为绝对值方程进行解题）：题干中出现全等三角形、平行四边形等隐含对应边相等或对边相等的条件。先求出交点坐标，再利用对边相等建立方程解题 ►考向一 二次函数的图象与全等三角形 9．（2020陕西）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式； （2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标． ►考向二 二次函数的图象与相似三角形 10.（2021陕西）已知抛物线与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点B、C的坐标； （2）设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使与相似且与是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25九年级上·陕西安康·期末）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（为常数）的图象经过点，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的值有关 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）若点，均在二次函数的图象上（点A在点B的左侧），且当时，，则b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值7 C．最小值 D．最小值7 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线，若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·陕西安康·期末）若二次函数的图象开口向下，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为直线，与y轴的交点在y轴负半轴上，将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线，则下列关于抛物线的说法中，错误的是（   ） A．与x轴的一个交点为 B．经过坐标原点 C．对称轴为直线 D．当时， 8．（2024·陕西西安·模拟预测）下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值 0 1 3 6 2 0 2 下列选项中，正确的有（    ） ①函数图像开口向上；②函数图像不经过第四象限；③当时，；④在函数图像上有两点，则． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，且）y与x的部分对应值如下表： x … 0 3 5 … y … 16 0 0 … 下列结论正确的是（   ） A．抛物线开口向下 B．有最小值 C．若，是抛物线上两点，则 D．当时， 10．已知一次函数（、是常数），与的部分对应值如表： … 0 1 2 … … 2 4 6 … 下列说法中，正确的是（    ） A．图象经过第二、三、四象限 B．方程的解是 C．将的函数图象向左平移2个单位可得到该函数图象 D．该函数图象与轴的交点是 11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线（a、b、c为常数，且）的y与x的部分对应值如下表： x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；④若是抛物线上两点，则．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．如图，已知抛物线（，，为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的个数是（   ） ①；②；③若方程两根为，（），则；④ A．1 B．2 C．3 D．4 二、解答题 13．杭州亚运会女篮决赛，中国女篮以74比72战胜日本女篮夺得冠军，女篮的夺冠跟队员们平时的刻苦训练是分不开的．如图，这是一位篮球运动员在进行投篮训练，篮球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．以为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知投篮处A到地面的距离，最高点的坐标为，篮筐中心距离地面的竖直高度是． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当该篮球运动员距篮筐中心的水平距离为时，这次投篮训练是否成功？请判断并说明理由． 14．（23-24九年级下·陕西西安·期中）某厂房因用电需求增大，经审批现从米外的输电铁塔上架设一根临时供电电缆到厂房楼顶处，供电电缆可近似看作一条抛物线的一部分．如图，已知铁塔与厂房均垂直于地面，且米，电缆在距离铁塔米的点处最低，到地面的距离为米．以为原点，以，所在直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在实际架设电缆时，电缆与地面的距离低于米时存在高压线辐射，因此需要建立架空电力线路保护区，试问厂房是否在保护区外？ 15．（23-24九年级下·陕西咸阳·期中）窑洞（如图1）是黄土高原的产物，是陕北地方劳动人民的象征，具有十分浓厚的中国民俗风情和乡土气息，它除了坚固及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点.小明家的窑洞（如图2）的门窗上面部分可以看成一个抛物线，下面部分是矩形，已知矩形的长，宽，门窗最高点D与地面垂直距离为，以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，小明想对家里的窑洞门窗进行装饰，准备在门窗上面的抛物线上悬挂两个灯笼，使它们离地面的高度相等，且均为，请求出两个灯笼的水平距离.（结果保留根号） 16．在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为，双向行驶车道宽度为（路面两侧各预留给非机动车），隧道顶部最高处距路面，矩形的高为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式； (2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？ 17．（2024·陕西渭南·一模）王老师在一次数学实践课上请同学们设计公园装饰景观灯，提供了两个素材． 素材1：某公园计划修建一个如图所示的景观灯，灯柱高为，抛物线形灯杆的最高点距离地面，且到灯柱的水平距离为，灯泡到地面的距离为．（灯泡大小忽略不计） 素材2：为使景观灯更加美观牢固，灯柱两边对称安装此抛物线形灯杆，灯泡C、D关于对称（C、D分别在这两个抛物线上），并在两个灯泡之间修建一个支架． 小张同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他完成以下两个任务： (1)求该抛物线在第一象限的函数表达式：（不要求写自变量x的取值范围） (2)小张同学设计的支架长为，请你结合已学知识，判断他设计的景观灯支架的长度是否符合要求，并说明理由． 18．（2024·陕西商洛·二模）根据以下素材，探索解决下列问题． 素材1：图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．以矩形长的中点为原点O，竖直方向为y轴，水平方向为x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，大棚顶部的最高点为P． 素材2：为了让苗木更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好． (1)求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式； (2)若在距离B处水平距离的地方挂补光灯，为了使补光效果最好，求补光灯悬挂部分的长度．（灯的大小忽略不计） 19．小李使用电脑软件通过光点运动模拟弹力球的抛物运动，如图，弹力球从轴上的点处抛出，其经过的路径是抛物线的一部分，并在点处达到最高点，在轴上的点处被弹起，向右继续沿抛物线运动，抛物线与抛物线的形状相同，且其达到的最大高度为1． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)在轴上有一个矩形框，光点只可通过矩形框的边落入框内，已知，，点．请判断光点是否会落入矩形框中，若能，请说明理由；若不能，为使光点落入框内（包括点），可以移动矩形框，请直接写出移动后的点的横坐标的取值范围． 20．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）素材：图1中有一座拱桥，图2是其圆弧形或抛物线形桥拱的示意图．某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 解决问题： (1)若桥拱形状是圆弧，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米，判断它是否能顺利通行并说明理由； (2)若拱桥是抛物线形，为迎佳节，拟在图3所示的桥拱上悬挂长的灯笼．要求灯笼底部距离水面不小于，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为．为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布，则悬挂的灯笼数量是 个． 21．（2024·贵州·模拟预测）如图①是位于安顺的坝陵河大桥．某兴趣小组受到该桥的启示，设计了一座桥的模型， 它的两桥塔，  之间的悬索 是抛物线型如图②所示，悬索上设置有若干条  垂直于水平线的吊索，图中， ，，悬索上最低点 到的垂直距离． (悬索 与 在同一平面内) (1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)根据设计要求，从抛物线的顶点 开始，每相隔 有一条吊索，当吊索高度 大于或等于时，需加固．求此条抛物线有多少条吊索需要加固； (3)若抛物线经过两点，，抛物线在，之间的部分为图象包括 ，  两点，图象 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，当  时，求 的值． 22．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，且的坐标为，与轴交于点，连接，抛物线的对称轴为直线，为第一象限内抛物线上的一个动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为． (1)抛物线的表达式． (2)抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 23．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与轴交于和，与轴的交于． (1)求抛物线的表达式： (2)以点为位似中心，在轴上方将放大为原来的2倍后得到，且和的位似比是，点，，的对应点分别为，，．若经过，，三点的抛物线记为．在抛物线上是否存在点和点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$