6.3.1二项式定理（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.1 二项式定理 第 六 章 计 数 原 理 人教A版2019选择性必修第三册 前情回顾 0 一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 排列的定义 排列数的定义 我们把从个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示. 区别：一个排列就是完成一件事的一种方法，它不是数； 排列数是所有排列的个数，它是一个数. 1.排列数公式： 2.全排列：排列数公式中，即有 规定： 前情回顾 0 一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组， 叫做从个不同元素中取出个 元素的一个组合． 组合的定义 组合数的定义 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示. 1.组合数公式： 规定 规定 规定 组合数性质1： 组合数性质2： 章节导读 0 6.1分类加法、分步乘法 6.2排列与组合 6.3二项式定理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 二项式定理 二项式系数的性质 排列数 组合 组合数 排列 学习目标 1 2 3 利用计数原理与多项式相乘的规律推出二项式定理． 会用二项式定理求解二项展开式的通项公式及其相关概念． 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 0 新课引入 0 (1)今天是星期一，那么7天后的这一天是星期几呢? (2)如果是20天后的这一天呢？ (3)如果再过天后是星期几？ (3) 我们学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在 数学上有着广泛应用的 读教材 0 阅读课本P29-P31，3分钟后完成下列问题： 1.二项式定理是什么？如何确定二项式展开式的项数？ 我们一起来探究“二项式定理”吧！ 2.二项式定理的通项及其系数有什么特点？ 01 03 02 目录 1 二项式定理 学习过程 2 题型训练 1 问题1：归纳猜想二项式展开式有什么规律？ 新知探究 =+ = +++ = ++++ =？ =++ 观察以上展开式，分析其运算过程， 你能发现什么规律？ 展开式共有 项． 1 各项的次数和都等于二项式的次数； 2 字母按降幂排列，次数由递减到0； 字母按升幂排列，次数由0递增到． 3 … 新知探究 1 展开式有几项？分几类？ 展开项 如何从组合的角度分析展开式？ = = + + 与相同， 与顺序无关， 所以是组合问题. 从选 的角度看 新知探究 1 展开式有几项？分几类？ 系数 如何从组合的角度分析展开式？ 与相同，与顺序无关， 所以是组合问题. 从选 的角度看 新知探究 1 思考： 请同学们大胆的猜想展开式并证明？ 0 从选 的角度看 展开项 1 新知1－－二项式定理 二项式定理 . 叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数：叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项， 用表示，即通项为展开式的第项： 对于，，，，等代数式， 数学上统称为二项式， 其一般形式为（*） 1 新知1－－二项式定理 二项展开式的特点： . (1)项数特征：展开式共有项； (2)次数特征：中的指数和均为 (3)通项公式： 1 2 3 学以致用 例1 今天是星期一，再过天后是星期几？ 解： 所以再过天后是星期二. 学以致用 例2 判断下列正误： (1)展开式中共有项 ( ) (2)二项式与展开式中第项相同 ( ) (3)是展开式中的第项 ( ) 解：(1)∵，所以错误； (2)； (3)，是第，所以错误。 × × × 学以致用 例3 求 的展开式？ 解：根据二项式定理， 学以致用 例4 求的展开式的第4项的系数与第4项的二项式系数？ 的展开式的第4项是： 第4项的二项式系数是： 思路点拨 系数问题与通项问题： 二项展开式中的通项： 二项展开式中项的系数：将二项式展开，， 得到一个多项式，多项式的系数即二项式展开式中项的系数，与 二项式系数：第，与与无关。 01 03 02 目录 学习过程 2 题型训练 1 二项式定理 2 例1 解：； 当 即二项展开式中的二项式系数的和等于 . 题型1－－二项式定理的应用 2 例2 解：由题可知：通项为 题型1－－二项式定理的应用 例3 解：由题可知：通项为 2 例4 化简. 解：应该从5减小到0，所以 原式 . 题型1－－二项式定理的应用 2 例5 求的展开式？ 解： 题型1－－二项式定理的应用 2 例6 试求2 01910除以8的余数? 题型2－－二项式展开式 解：2 01910＝(8×252＋3)10. ∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数， ∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同. 又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外， 其余的各项均含有8这个因数， ∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1. 2 例7 已知在的展开式中，第6项为常数项． (1)求；(2)求含2的项的系数? 题型2－－二项式展开式 解：(1)的展开式的通项为： 因为第6项为常数项，所以时，，解得=10. (2)令，得所以所求的系数为. 2 例8 (1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为( ) A.10 B.－10 C.2 D.－2 题型3－－求多项式的特定项 故选B. B 解：(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的， 2 例9 已知()(1＋)5的展开式中，含的项的系数为5，则等于（ ） A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 题型3－－求多项式的特定项 所以a＝－1，故选D. D 2 例10 若的展开式中的系数为30，则等于_____. 题型3－－求多项式的特定项 2 解：由题意得： 的展开式的通项公式是， 当的展开式中含项的系数分别为、，因此由题意得，解得. 思路点拨 应用二项式定理的通项公式的注意点： (1)是展开式中的第项，而不是第项； (2)公式中的指数和为，且不能随便颠倒位置； (3)二项式系数和：令() (4)奇/偶数项的二项式系数和： (5)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (6)对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题. 课堂小结 二项式定理 . 对于，，，，等代数式， 数学上统称为二项式， 其一般形式为（*） 叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数：叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项， 用表示，即通项为展开式的第项： 课堂小结 二项展开式的特点： . (1)项数特征：展开式共有项； (2)次数特征：中的指数和均为 (3)通项公式： 1 2 3 即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为:·(2)0··(－)1＋·(2)1··14·(－)0， 其系数为××(－1)＋×2×=－4＋6=2. 解：由二项式定理得(1＋)5的展开式的通项为＝·， 所以(1＋x)(1＋x)5的展开式中含x2的项的系数为＋·a＝5， $$