9.2.2向量的数乘（第二课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

9.2.2向量的数乘 ——第2课时 复习导入 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： (1) (2)当时，方向相同；当时，方向相反. 结合律 第一分配律 第二分配律 特别地，有 新知探究 思考1：向量数乘运算后，实数与向量的积与原向量之间有怎样的位置关系？ 实数与向量的积与原向量共线. 思考2：反之，若两个非零向量，共线，是否存在，使得呢？ 若向量与共线，且，那么 当，同向，有； 当，向，有 思考3：这样的实数有几个? 有且只有一个 新知探究 向量共线定理： 设为非零向量，如果有一个实数，使，那么与是共线向量；反之，如果是共线向量，那么有且只有一个实数，使。 位于同一直线上的向量均可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 根据这一定理，设非零向量位于直线l上，那对于直线l上的任意一个向量都存在唯一的一个实数λ，使 新知探究 问题：你能证明向量共线定理吗？ 证明：根据向量数乘的定义可知，对于向量（ ≠ ）和，如果证明有一个实数，使= ，那么与是共线向量. 反过来，如果向量与( ≠ )是共线向量，那么当与同方向时，令=。当与反方向时，令=-;当时，令=0. 从而有一个实数，使=. 假设有两个实数，，使=， =，则 (-) 所以因为| ，所以-=0，即=. 故有且仅有一个实数，使= . 新知探究 思考：为什么要是非零向量？ 若，，与共线，但此时，不存在实数，使得。 思考：可以是零向量吗？ 可以 练习1：，是两个不共线的非零向量，判断是否共线。 【答案】：(1)，共线； (2)，共线. 练习巩固 变式1-2：，是两个不共线的非零向量，是否共线？ 解：∵ ∴共线 变式1-1：已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有( ) .①② B.①③ C.②③ D.①②③ ① ② ③ 【答案】： 实际上，我们由与也能得到三点共线。 练习巩固 练习2：如图，已知任意两个非零向量，试作，，猜想三点之间的位置关系，并证明你的猜想. 解：分别作向量，，，过点，作直线(如图).观察发现，不论向量怎样变化，点始终在直线上，猜想三点共线. 事实上，因为， ， 所以. 因此，，三点共线. 新知探究 设是平面内的四个点，，若，则三点共线，反之亦然。 你可以试着证明它吗？ 、、三点共线 练习巩固 变式2：设是不共线的两个向量. (1)若，，，求证：三点共线； 解：(1)证明：∵ ∴与共线，且有公共点， ∴三点共线. 练习巩固 变式2：设是不共线的两个向量. (2)若与共线，求实数的值. 解：(2)∵与共线， ∴存在实数，使得 即 ∵与不共线，∴解得 练习巩固 练习3：已知是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值. 解：由于不共线，易知向量为非零向量.由向量，共线，可知存在实数，使得，即. 由不共线，必有.否则，不妨设，则. 由两个向量共线的充要条件知，共线，与已知矛盾. 由解得 因此，当向量，共线时，. 练习巩固 变式3-1：设若向量不共线，且，，，则共线的三点是（ ）. 、 B、 C、 D、,S 【答案】：. 解：由，得， 则 即 ∵与有公共点， ∴三点共线. 练习巩固 变式3-2：如图所示，在中，，. ①用表示，； ②若，证明：三点共线. 解：∵， ∴， ∴. 又∵， ∴， ∴ 练习巩固 变式3-2：如图所示，在中，，. ①用表示，； ②若，证明：三点共线. 解：∵， ∴ 因为 ∴即与共线. ∵与有公共点， ∴三点共线. 小结 向量共线定理 定理内容 三点共线 应用 求相关参数的值 向量共线的充要条件是： 存在唯一一个实数，使. $$