9.1向量概念（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

9.1向量概念—题型专练 题型一 概念辨析 1. 有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 下列说法正确的是（    ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 3. 给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4. 下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 5. （多选）下列说法正确的是（    ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 6. 在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型二 向量的几何表示 1. 数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度是（    ） A．﹣1 B．2 C．1 D．3 2. 已知点O固定，且||=2，则A点构成的图形是(　　) A．一个点 B．一条直线 C．一个圆 D．不能确定 3. 如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 4. 图中，一个小方格的边长为1个单位长度，所有向量的起点和终点都在格点上，求图中向量的模. ； ； ； ； . 5. 在平面直角坐标系xOy中有三点，，．请用有向线段分别表示由A到B，由B到C，由C到A的位移． 6. 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： （1），使||＝4，点A在点O北偏东45°； （2），使＝4，点B在点A正东； （3），使＝6，点C在点B北偏东30°. 7. 如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量. 题型三 零向量与单位向量 1. 下列关于零向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 2. 下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动 3. 下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. 其中，正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4. 下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 题型四 相等向量与相反向量 1. 如图，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（    ） A． B． C． D． 2. 如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是 ． 3. 如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问： (1)与相等的向量有哪些？ (2)的相反向量有哪些？ (3)与的模相等的向量有哪些？ 4. 如图，分别是各边的中点，分别写出图中与、、相等的向量. 题型五 平行向量（共线向量） 1. 判断下列命题： ①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同； ②若，则； ③若，则与的方向相同； ④若且，则. 其中正确的命题个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2. 下列命题中正确的个数是（    ） ①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上； ②若向量与向量平行，则，方向相同或相反； ③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°； ④若，则，是相等向量或相反向量. A．0 B．1 C．2 D．3 3. “”是“A，B，C，D四点共线”的 条件． 4. 已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出： （1）与相等的向量； （2）与长度相等的向量； （3）与共线的向量. 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度为零，方向是任意的 D．就是所在的直线平行于所在的直线 2．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 3．下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 4．下列结论正确的是：（    ） A．若与都是单位向量，则． B．若与是平行向量，则． C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合 D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 5．如图，在正方形中，与的夹角为（    ） A．30° B．90° C．120° D．180° 6．如图，在圆中，向量，，是（    ） A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 7．下面命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．下列量中是向量的为（    ） A．长度 B．宽度 C．频数 D．摩擦力 9．下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 10．若，为两个向量，给出以下4个条件：①与方向相反；②；③或；④与都是单位向量其中可以得到与共线的（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 11．设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 12．（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量向量长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动 C．零向量都相等 D．向量可以比较大小 13．（多选）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．长度相等的向量是相等向量 C．零向量的方向是任意的 D．方向相反的向量是相反向量 14．已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 15．（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．若与同向，且，则 B．若，则与的长度相等且方向相同或相反 C．对于任意，且与的方向相同，则 D．所有的零向量都相等 16．（多选）如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 17．如图，在菱形中，，则以下说法正确的是（    ） A．与相等的向量只有1个（不含） B．与的模相等的向量有9个（不含） C．的模恰为的模的倍 D．与不相等 三、填空题 18．一辆汽车从点出发向西行驶了100km到达点，然后又改变方向向西偏北方向行驶了200km到达点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达点，则 km， km． 四、解答题 19．如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 20．如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 22．中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.1向量概念—题型专练 题型一 概念辨析 1. 有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它们是向量； 而质量、路程和功只有大小，没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3.故选：C 2. 下列说法正确的是（    ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 【答案】D 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可. 【详解】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错； B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错； C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错； D：有向线段和有向线段的长度相等，故D对. 故选：D 3. 给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解析】①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量.故选：C 4. 下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【分析】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 5. （多选）下列说法正确的是（    ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【分析】根据向量的有关定义即可判断选项正误. 【详解】A．由向量的定义知，加速度是向量，故正确； B．两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误； C．由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故正确； D．向量可以用有向线段表示，但两者不同，故错误． 故选：AC. 6. 在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，结合平面向量的概念即可求解. 【详解】因为为等腰直角三角形，，所以， 故向量与的夹角为． 故选：D 题型二 向量的几何表示 1. 数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度是（    ） A．﹣1 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【知识点】向量的模 【分析】根据数轴上的点的位置，直接计算长度，即可得解. 【详解】数轴上点A，B分别对应﹣1、2， 则向量的长度即||＝3， 故选：D． 2. 已知点O固定，且||=2，则A点构成的图形是(　　) A．一个点 B．一条直线 C．一个圆 D．不能确定 【答案】C 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【详解】因为||=2， 所以点A在以点O为圆心、2为半径的圆上， 故A点构成的图形是一个圆．选C． 3. 如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 【答案】答案见解析 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】根据向量定义找出向量，再求模长即可. 【详解】所有的边可以构成以下向量：、、、、、、、. 它们的模分别为： ， 4. 图中，一个小方格的边长为1个单位长度，所有向量的起点和终点都在格点上，求图中向量的模.    ； ； ； ； . 【答案】 4 4 【知识点】向量的模 【分析】根据向量模长的定义计算可得答案. 【详解】；；；；. 故答案为：①；②；③4；④4；⑤. 5. 在平面直角坐标系xOy中有三点，，．请用有向线段分别表示由A到B，由B到C，由C到A的位移． 【答案】答案见详解 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】求A到B的位移即向量，同理求出向量，即可. 【详解】    如图，有向线段表示A到B的位移，有向线段表示B到C的位移，有向线段表示C到A的位移. 6. 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： （1），使||＝4，点A在点O北偏东45°； （2），使＝4，点B在点A正东； （3），使＝6，点C在点B北偏东30°. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示． （2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示． （3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示． 7. 如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量. 【答案】见解析 【解析】∵，∴C点落在以A为圆心，以为半径的圆上，又∵点C为小正方形的顶点， 根据该条件不难找出满足条件的点C，解析所有的向量，如图所示： 题型三 零向量与单位向量 1. 下列关于零向量的说法正确的是（    ） A．零向量没有大小 B．零向量没有方向 C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线 【答案】D 【解析】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误； 两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误； 零向量与任意向量共线，D正确．故选：D. 2. 下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【解析】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确； 单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误；根据零向量的概念，易知C选项正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；故选：B. 3. 下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. 其中，正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确；故选：C 4. 下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【知识点】向量的模、零向量与单位向量 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 题型四 相等向量与相反向量 1. 如图，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相等向量 【分析】根据相等向量的定义直接判断即可. 【详解】与方向不同，与均不相等； 与方向相同，长度相等，. 故选：D. 2. 如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是 ． 【答案】, 【知识点】相等向量 【分析】根据相等向量的定义确定即可. 【详解】因为P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，所以，, 因为方向相同，大小相等的向量为相等向量，所以与相等的向量为，. 故答案为：，. 3. 如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问： (1)与相等的向量有哪些？ (2)的相反向量有哪些？ (3)与的模相等的向量有哪些？ 【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)由相等向量定义知：与相等的向量有. (2)由相反向量定义知：的相反向量有. (3)由向量模长定义知：与的模相等的向量有. 4. 如图，分别是各边的中点，分别写出图中与、、相等的向量. 【答案】，，. 【知识点】相等向量 【分析】根据几何性质得到向量之间的关系，结合相等向量的概念即可直接得到答案. 【详解】∵分别是各边的中点， ∴，，，，， ∴；；. 题型五 平行向量（共线向量） 1. 判断下列命题： ①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同； ②若，则； ③若，则与的方向相同； ④若且，则. 其中正确的命题个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】平面向量的概念与表示、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量、相等向量和共线向量的定义判断． 【详解】相等向量的长度和方向相同，因此起点相同时，终点也相同，①正确； 两个向量可以相等，但不可能比较大小，②错误； 零向量与任选向量平行，但零向量方向不确定，③错误； 若，虽然有且，但与的方向不确定，④错． 故选：B． 2. 下列命题中正确的个数是（    ） ①若向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上； ②若向量与向量平行，则，方向相同或相反； ③若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°； ④若，则，是相等向量或相反向量. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①错误，平行向量又叫共线向量，向量与是共线向量，则与平行或共线； ②错误，与至少有一个为零向量时，结论不成立；由向量的夹角可知③正确； ④错误，由，只能说明，的长度相等，确定不了方向.故选：B. 3. “”是“A，B，C，D四点共线”的 条件． 【答案】必要不充分 【知识点】判断命题的必要不充分条件、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量平行的定义结合充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】当时，直线AB与CD的位置关系有可能是平行或共线， 当二者平行时A，B，C，D四个点分别位于两条平行线上而不是四点共线， 则“”无法推出“A，B，C，D四点共线”； 当A，B，C，D四点共线时，直线AB与CD的位置关系为重合，此时，， 则“A，B，C，D四点共线”可以推出“”， 因此“”是“A，B，C，D四点共线”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分. 4. 已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出： （1）与相等的向量； （2）与长度相等的向量； （3）与共线的向量. 【答案】（1）；（2），，，，，，；（3） 【解析】画出图形，如图所示． （1）易知BCAD，BC＝AD，所以与相等的向量为. （2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC， 所以与长度相等的向量为，，，，，，. （3）与共线的向量为，，. 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度为零，方向是任意的 D．就是所在的直线平行于所在的直线 【答案】C 【分析】AB根据相等向量和共线向量的定义作出判断；C选项，根据零向量的定义得到C正确；D选项，举出反例. 【详解】A选项，长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确； B选项，方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确； C选项，零向量的长度为零，方向是任意的，C正确； D选项，当时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确． 故选：C． 2．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【分析】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 3．下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】C 【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 故选：C 4．下列结论正确的是：（    ） A．若与都是单位向量，则． B．若与是平行向量，则． C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合 D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 【答案】C 【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A、B，只有当与的方向相同且模长相等时才有，故A、B均错误； 对于C，若向量，又因为A是公共点，所以M与N重合，故正确； 对于D，因为轴与轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故D错误； 故选：C. 5．如图，在正方形中，与的夹角为（    ）    A．30° B．90° C．120° D．180° 【答案】B 【分析】根据向量夹角定义结合图形特征判断. 【详解】是正方形，所以向量夹角是. 故选：B. 6．如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 【答案】C 【分析】根据向量的几何表示，可判断出选项A和C的正误，再利用相反向量及相等向量的概念，结合图形，即可判断选项B和D的正误. 【详解】对于选项A，因为向量，的起点为，而向量的起点为，所以选项A错误， 对于选项B，因为相反向量是方向相反，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项B错误， 对于选项C，向量，，的模长均为圆的半径，所以选项C正确， 对于选项D，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项D错误，    故选：C. 7．下面命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量的概念逐一判断 【详解】对于，若，但两向量方向不确定，则不成立，故选项错误； 对于，向量无法比较大小，故选项错误； 对于，若，则两向量反向，因此，故选项正确； 对于，若，则，故选项错误. 故选：C 8．下列量中是向量的为（    ） A．长度 B．宽度 C．频数 D．摩擦力 【答案】D 【分析】利用向量的定义判断即可． 【详解】向量是既有大小，又有方向的量， 因为长度，宽度，频数只有大小，没有方向，摩擦力既有大小，又有方向， 所以摩擦力是向量. 故选：D 9．下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】B 【分析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD. 【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 10．若，为两个向量，给出以下4个条件：①与方向相反；②；③或；④与都是单位向量其中可以得到与共线的（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】结合共线向量的定义，分别判断条件①②③④下与是否共线，由此可得结论. 【详解】对于①，若与方向相反，则与共线， 对于②，由，只能确定两向量的大小相等，不能确定它们的方向是否相同或相反， 故与不一定共线， 对于③，由或，可得或，由零向量与任意向量共线可得与共线， 对于④，由与都是单位向量，只能确定两向量的大小都为，不能确定它们的方向是否相同或相反， 故与不一定共线. 故选：B. 11．设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 二、多选题 12．（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量向量长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动 C．零向量都相等 D．向量可以比较大小 【答案】ABC 【分析】根据向量有关概念判断即可. 【详解】选项A：向量与向量为相反向量，方向相反，长度相等，A正确； 选项B：因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，B正确； 选项C：零向量都相等，C正确； 选项D：向量不可以比较大小，D错误． 故选：ABC 13．（多选）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．长度相等的向量是相等向量 C．零向量的方向是任意的 D．方向相反的向量是相反向量 【答案】ABD 【分析】根据向量的相关定义逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，若，则不一定有， 比如，让这两个向量共起点，则它们的终点分步在以这个起点为圆心的一个圆周上， 所以这两个向量不一定共线，故A错误； 对于B，长度相等且方向相同的向量是相等向量，故B错误； 对于C，零向量的方向是任意的，故C正确； 对于D，方向相反且长度一样的向量是相反向量，故D错误. 故选：ABD. 14．已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 【答案】ABC 【分析】根据相等向量，共线向量的定义进行判断. 【详解】A选项，与为两个单位向量，它们模长相等，但方向不一定相同，A选项错误； B选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线， 当它们反向共线时，与不相等，B选项错误； C选项，两个单位向量的夹角为或，它们才共线，但这是不一定的，C选项错误； D选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线， 即或，D选项正确. 故选：ABC. 15．（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．若与同向，且，则 B．若，则与的长度相等且方向相同或相反 C．对于任意，且与的方向相同，则 D．所有的零向量都相等 【答案】CD 【分析】根据向量的概念判断A；根据向量模的概念判断B；根据向量相等的概念判断C；根据向量相等的概念判断D. 【详解】A不正确，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小； B不正确，由只能判断两向量长度相等，并不能判断方向； C正确，，且与同向，由两向量相等的条件可得； D正确，符合相等向量的定义. 故选：CD. 16．（多选）如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用菱形的性质及向量的定义逐一判断即可. 【详解】四边形，，是全等的菱形， ，即三点共线， ，， 即，，与共线，且，ABD正确； 对于C：若与共线，则必有，即，该条件不一定成立， 如时，，故与共线不一定成立， 故选：C. 17．如图，在菱形中，，则以下说法正确的是（    ）    A．与相等的向量只有1个（不含） B．与的模相等的向量有9个（不含） C．的模恰为的模的倍 D．与不相等 【答案】ABC 【分析】根据相等向量以及模长定义，结合结合图形求解ABD，根据菱形的性质即可求解C. 【详解】由于，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正确； 而在中，，，故，故C正确； 由于，因此与是相等的，故D错误． 故选：ABC 三、填空题 18．一辆汽车从点出发向西行驶了100km到达点，然后又改变方向向西偏北方向行驶了200km到达点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达点，则 km， km． 【答案】 100 200 【分析】根据判定四边形为平行四边形，即可求解. 【详解】如图所示，汽车从点出发，经过点，到达点，最后停在点， 易知，， 又在四边形中，， 所以四边形为平行四边形，所以． 故答案为：100，200    四、解答题 19．如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【答案】(1)与相反的向量有，，；与相反的向量有， (2)相等的向量为，，相等的向量为 【分析】运用相等向量，相反向量概念可解. 【详解】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 20．如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【答案】(1)， (2)， (3)，，，，，， 【分析】（1）根据相等向量的定义直接求解即可； （2）根据相反向量的定义直接求解即可； （3）根据模相等向量的定义求解即可. 【详解】（1）由题意，． （2）由题意，与的相反向量为：，． （3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，． 21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解. 【详解】（1）； （2）； （3）. 22．中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    【答案】，，，这三个向量不相等，马在点走一步的向量为：． 【分析】根据相等向量的定义即可判断，，这三个向量是否相等，根据马走日的走法即可找出马在点走一步的向量． 【详解】解：，，，这三个向量的方向不同，不相等， 如图，马在点走一步的向量为：．    试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$