2025年中考数学专题复习：平行线的有关证明

2025年中考数学专题复习：平行线的有关证明 一、单选题 1．已知下列命题：①若a＞b，则a2＞b2；②若a＞1，则(a－1)0＝1；③两个全等的三角形的面积相等．其中原命题与逆命题均为真命题的有(   ) A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列说法中，正确的个数是（    ） ①三角形的三条高都在三角形内，且都交于一点 ②任意三角形的外角和都是 ③三角形的一个外角大于任何一个内角 ④在中，当时，这个三角形是直角三角形 A．个 B．个 C．个 D．个 3．如下图所示，能利用图中作法：过点作的平行线，证明三角形内角和是的原理是（    ）    A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 4．如图，将一张长方形纸对折两次，则这两条折痕的位置关系是(    ) A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 5．如图，当∠1＝_________时，AB∥EF；当∠2＝________时，DE∥BC；当∠1＝_________时，DF∥AC．（    ） A．∠BDF，∠EDF，∠CEF B．∠BDF，∠EDF，∠CEF C．∠BDF，∠EDF，∠CEF D．∠BDF，∠EDF，∠CEF 6．定理：三角形的内角和等于． 已知：的三个内角为，，． 求证：． 证法1 证法2 如图1，延长到点，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 如图2，过点作，∵， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， 又∵（平角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理 B．证法1用合理的推理证明了该定理 C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整 D．证法2用严谨的推理证明了该定理 二、填空题 7．将“互为相反数的两个数之和等于0”写成如果 那么 的形式． 8．如图，某工件要求，质检员小李量得，，，则此工件 ．（填“合格”或“不合格”）    9．如图，为边延长线上一点，过点作．若，，则 °． 10．在中，平分．，，，则 ． 11．如图，若∠1=∠2，则 ∥ ，理由是 ；若∠2=∠3，则 ∥ ，理由是 . 12．对于下列假命题，各举一个反例写在横线上． (1)“如果，那么”是一个假命题． 反例： ； (2)“如果，则”是一个假命题． 反例： ． 三、解答题 13．如图，在中，，外角．求和的度数． 14．如图，在中，于点，点在上，且，点在直线上，交直线于点． (1)当点在线段的延长线上时，判断与的大小关系，并说明理由． (2)当点在射线上，且时，请直接写出的度数． 15．如图，已知，，，求的度数．    16．如图，试说明：①∠BDC＞∠A； ②∠BDC=∠B+∠C+∠A． 17．如图，已知AB∥CD，∠B=50°，CM是∠BCD的平分线，CM⊥CN，求∠ECN的度数． 18．你写出两个判断，让其他同学判断一下是否正确.并且试着说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B B A C D 1．A 【分析】交换原命题的题设和结论得到四个命题的逆命题，然后利用反例、零指数幂的意义、全等三角形的判定与性质判断各命题的真假． 【详解】：①当a=0,b=−1时, a2< b2,所以命题“若a>b,则a2＞b2”为假命题,其逆命题为“若 a2＞b2，则a>b“，此逆命题也是假命题，如a=−2，b=−1； ②若a>1,则(a－1)0＝1,此命题为真命题,它的逆命题为：若(a－1)0＝1,则a>1,此逆命题为假命题,因为(a－1)0＝1，则a≠1； ③两个全等的三角形的面积相等，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等，此逆命题为假命题； 故选A. 【点睛】本题考查命题与定理-原命题、逆命题、互逆命题. 2．B 【分析】根据三角形高线的性质可判断①，根据三角形外角的性质可判断②③，结合三角形内角和定理可判断④，进而可求解． 【详解】解：①锐角三角形的三条高都在三角形内，且都交于一点；钝角三角形的两条高在三角形的外部，故①的说法错误； ②任意三角形的外角和都是，故②的说法正确； ③三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故③的说法错误； ④在中，当时，，，，则这个三角形是直角三角形，故④的说法正确． 故正确的个数有个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高线．掌握三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高线的特点是解题的关键． 3．B 【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得两直线平行，内错角相等，进而即可求解． 【详解】解：∵ ∴（两直线平行，内错角相等） ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4．A 【分析】根据平行公理和垂直的定义解答． 【详解】∵长方形对边平行， ∴第一次折叠的折痕与长方形的宽平行， 又∵第二次折叠的折痕与长方形的宽平行， ∴两次折痕也互相平行(如果两条直线都与第三边直线平行，那么这两条直线也互相平行). 故选A. 【点睛】考查翻折的性质，主要利用平行公理和垂直定义求解，需要熟练掌握． 5．C 【分析】由内错角相等，两直线平行可进行判定． 【详解】由内错角相等，两直线平行可知，当∠1＝∠BDF时，AB∥EF； 由内错角相等，两直线平行可知，当∠2＝∠EDF时，DE∥BC； 由内错角相等，两直线平行可知，当∠1＝∠CEF时，DF∥AC. 故选C 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解答此题的关键． 6．D 【分析】根据三角形内角和定理证明的常见思路去判断即可． 【详解】三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明， 故A、B都不符合题意； 证法2用严谨的推理证明了该定理，故不需要分三角形的形状， 故C不符合题意；D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握严谨的定理证明是解题的关键． 7． 两个数互为相反数 这两个数之和等于0 【分析】本题考查了命题，分清题设和结论即可写成如果…，那么…的形式． 【详解】解：互为相反数的两个数之和等于0”的题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的和为0， 改写成如果…，那么…的形式为：如果两个数互为相反数，那么这两个数之和等于0， 故答案为：两个数互为相反数，这两个数之和等于0． 8．合格 【分析】本题考查了平行线的性质与判定；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．作，由平行线的性质得出，求出，得出，由，得出，证出，即可得出结论． 【详解】解：作，如图所示：    则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此工件合格． 故答案为：合格． 9．60 【分析】利用平行线的性质，即可得到∠CED=∠C=50°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数． 【详解】解：∵ED∥BC， ∴∠CED=∠C=50°， 又∵∠BAC=70°， ∴△ABC中，∠B=180°-50°-70°=60°， 故答案为60． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意运用两直线平行，内错角相等． 10．10 【分析】由题意，先求出∠BAE的度数，然后求出∠1，再由角平分线的定义，即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：10． 【点睛】本题考查了余角的性质，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，解题的关键是熟练掌握图形，正确的求出角的度数． 11． AB CD    同位角相等，两直线平行     AE    CF 同位角相等，两直线平行 【详解】∵ ∠1与∠2是同位角，∠1=∠2， ∴ AB∥CD. ∵ ∠2=∠3， ∴ AE∥CF. 故答案为AB，CD，同位角相等，两直线平行；AE，CF，同位角相等，两直线平行. 点睛：本题主要考查了平行线的判定定理.平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行. 12． 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）当时，总成立； （2）平方相等，则它们相等或互为相反数． 【详解】解：（1）反例： （2）反例： 故答案为：； 13．， 【分析】根据三角形外角的性质求得的度数，再根据平角的性质，即可求解． 【详解】解：由三角形外角的性质可得： 又∵， ∴ ∵ ∴ 故答案为：， 【点睛】此题考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 14．(1) (2)或． 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，得，推出；根据，得，推出，等量代换，即可； （2）分类讨论点在线段上和点在射线上，根据平行线的性质，邻补角互补，即可求出的角度． 【详解】（1）解： 理由如下： ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． （2）当点在线段上，如图 由（1）得，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； 当点在射线上，如图 ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴或． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，分类讨论的位置． 15． 【分析】由同旁内角互补，证出，得出内错角相等，由已知条件得出，证出，再根据两直线平行同旁内角互补即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定和性质，证明是解决问题的关键． 16．①见解析；②见解析 【详解】试题分析：（1）延长BD交AC于E，根据三角形内角与外角的关系即可解答； （2）根据∠BDC是△CDE的外角，∠DEC是△ABE的外角即可求解． 证明：（1）延长BD交AC于E， 则∠BDC＞∠DEC，而∠DEC＞∠A， 所以∠BDC＞∠A； （2）由∠BDC=∠C+∠DEC，而∠DEC=∠A+∠B， 所以∠BDC=∠A+∠B+∠C． 考点：三角形的外角性质． 17．65° 【分析】根据平行线的性质得出∠BCD=50°，根据角平分线的性质得出∠MCD=25°，根据垂直得出∠MCN=90°，最后根据∠ECN=180°－∠MCN－∠MCD得出答案. 【详解】∵AB∥CD，∠B=50°（已知） ∴∠BCD=∠B=50°（两直线平行，内错角相等） ∵CM平分∠BCD（已知） ∴∠MCD=∠BCD=25°(角平分线的定义) ∵CM⊥CN（已知） ∴∠MCN =90°（垂直的定义） ∵点E、C、D在同一直线上 ∴∠ECD=180°（平角的定义） ∴∠ECN=∠ECD -∠MCN -∠MCD=180°﹣90°﹣25°=65° 【点睛】本题考查平行线的性质；角平分线的性质；角度的计算.熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 18．略 【分析】此题答案不唯一, 具有一定的灵活性. 【详解】解: 答案不唯一,如:（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； 画出图形后根据HL证出Rt△ABM≌Rt△DEN，推出∠B=∠E，证△ABC≌△DEF即可； 如图： ∵AM⊥BC，DN⊥EF， ∴∠AMB=∠DNE=90°， 在Rt△ABM和Rt△DEN中 AB=DE，AM=DN， ∴Rt△ABM≌Rt△DEN， ∴∠B=∠E， ∵AB=DE，BC=EF， ∴△ABC≌△DEF， ∴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等正确． （2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等； 证Rt△BMC≌Rt△ENF推出∠C=∠F；根据SAS证出即可； 有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等正确； 如图： ∵BM⊥AC，EN⊥DF， ∴∠BMC=∠ENF=90°， 在Rt△BMC和Rt△ENF中 BC=EF，BM=EN， ∴Rt△BMC≌Rt△ENF ∴∠F=∠C， 同理∠A=∠D， ∵AB=DE， ∴△ABC≌△DEF， ∴有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等正确． 【点睛】本题主要考查对判断的理解,并能根据已知知识进行分析． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$