6.3.2特殊的平行四边形练习题（2题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（青岛版）

6.3.2特殊的平行四边形 题型一 证明四边形是矩形 1．如图，□的四个内角的平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是 ． 【答案】矩形 【分析】本题考查平行四边形的性质和矩形的判定．利用平行四边形的性质得出即可证明四边形是矩形． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴ ∴． ∵分别平分， ∴，即． 同理可证， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． 形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在，，，上，连接而成的四边形是矩形，且，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，解题的关键是掌握矩形的性质和判定定理． 首先根据矩形的性质得到，然后证明出，证明出四边形是平行四边形，然后由得到平行四边形是矩形． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 3．如图，在中，，，延长至点E，使，连接，交于点F，连接，，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，等角对等边等等，先证四边形是平行四边形，得，，再证，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 4．如图，在四边形中，，为的中点，，求证：四边形为矩形． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查全等三角形的判定方法中的以及矩形的判定方法．解答此题先根据全等三角形的判定方法判定，得到，根据得到，证明出四边形为平行四边形，最后利用矩形的判定方法一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定． 【详解】证明：为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为矩形． 题型二 利用矩形的判定进行计算 1．如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： 2．如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数为． 【分析】（1）由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，证明 可得结合平行四边形的判定可得结论． （2）由题意可得四边形为矩形，则进而可得则 则． 本题考查作图-基本作图、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，D为中点，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得到，，然后利用平行四边形证明四边形是平行四边形，即可证明矩形； （2）由矩形得到，而，则，那么得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 即， ∵，D为中点 ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，直角三角 1．如图，四边形中，，则四边形的面积为（） A．32 B．34 C．40 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质及三角形面积的知识，充分运用了全等三角形及矩形的判定与性质在解题中的作用，先证明，再证明四边形是矩形，可得，继而利用求出四边形的面积． 【详解】解：过点作，且使．过点作于． ，即 又，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ． 故选：C． 2．已知：如图，点是直线上一点，平分，平分，交于点． (1)求证：； (2)若点为的中点，判断四边形的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，见解析 【分析】（1）由角平分线的定义和平行线的性质可得，，再由等角对等边得出，，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形．再由角平分线的定义结合三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】（1）证明：平分，平分， ，． ， ， ，， ，， ； （2）解：四边形是矩形，理由如下： 点为的中点， ． 又， 四边形是平行四边形． 平分，平分， ，， ， 即， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、等边对等角、矩形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 3．如图，已知为等边三角形，，点为线段上任意一点（点不与、重合），过点作，分别交、于、． (1)求证：； (2)试探索：当为的中点时，四边形是什么样的特殊四边形？并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)当为的中点时，四边形是矩形，理由见解析． 【分析】此题考查矩形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和平行四边形的判定，解题关键在于根据已知条件两组对边相互平行证明平行四边形． （1）证出，再加上条件，可得，可得到； （2）首先证明四边形是平行四边形，再证明，即可以证出四边形是矩形． 【详解】（1）证明：如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵（即），， ∴四边形是平行四边形； ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当为的中点时，四边形是矩形， 理由：∵为的中点， ∴， 又由（）证得：， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形 又∵是等边三角形，为的中点， ∴（三线合一）， ∴， ∴四边形是矩形． 4．如图，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质， （1）先证得，再根据可得四边形为平行四边形，然后由得，进而得，再由得，据此可得出结论； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，证明四边形为矩形得，然后表示，，可得，，的等量关系． 【详解】（1）证明：∵，，且， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，如下图所示： 证明四边形为矩形得， ∵平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴四边形为矩形 ∴， ∵，，， ∴， 即． 1．如图，P，Q分别为平行四边形边，的中点，O为与的交点，在对角线上作点M，N，使以M，Q，N，P为顶点的四边形是矩形，下面是两位同学的作图． 嘉嘉： 以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M，N． 淇淇： 分别过点P，Q作于点M，于点N． 下列说法正确的是（   ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定定理，由平行四边形的性质可得，，证明得出，由作图可得，即可判断嘉嘉的作法；证明得出，即可判断淇淇的作法，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图可得：， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形，故嘉嘉正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故淇淇错误； 故选：A． 2．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 作于M，交于N．则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，从而得出，即可求解． 【详解】解：作于M，交于N．    则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．阅读下列材料，完成后面的任务： 如图，在和中，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，若，则有．这道题表明，同底等高的两个三角形的面积相等，我们把这个结论称为等面积．它是一种重要的解题方法．在数学解题中，有着重要的应用． 下面是它的部分证明过程： 证明：如图，过点A作于点E，过点D作于点F， 则． ∵， ∴， ……    任务： (1)请将上述证明过程补充完整 (2)如图，在矩形ABCD中，E是CD延长线上一点，连接AE，BE．若，求．    【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件可证四边线是矩形，进而得到，然后根据三角形面积公式表示出，，最后对比即可证明结论； （2）如图，连接AC，由矩形的性质可得、，再运用（1）的结论即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过点A作于点E，过点D作于点F， 则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边线是矩形， ∴. ∵，， ∴． （2）解：如图，连接AC，    ∵四边形是矩形， ∴，， 由（1）可得． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用矩形的性质和等面积法是解答本题的关键． 4．在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解： 已知：如图，四边形中，，对角线、相交于点O，． 小壮说：若，则四边形为矩形； 小刚说：若，则四边形为矩形． 小强说：若，则四边形为矩形． 请对三人的说法任选其一进行判断并证明． 【答案】小壮的说法是正确的（三人的观点都正确，可任选其一判断），理由见解析 【分析】选择小壮：先证明，再证明四边形为平行四边形，可得到，即可证明； 选择小刚：同上可证证明四边形为平行四边形，再证明即可证明； 选择小强：同上可证证明四边形为平行四边形，再证明即可证明． 【详解】解：小壮的说法是正确的（三人的观点都正确，可任选其一判断），理由如下： 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 若选择小刚： 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； 若选择小强： 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定，三角形的外角，熟练掌握知识点是解题的关键． 1．下列说法中，正确的是（    ） A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角线平分每一组对角 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的判定等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．根据平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的判定逐个判断即可． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，则原说法不正确，故该选项不符合题意； B、菱形的对角线平分每一组对角，则原说法不正确，故该选项不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则原说法不正确，故该选项不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． 2．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（    ） A．测量其中三个角是否都为直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相平分 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定方法，掌握矩形的判定是解决问题的关键．利用矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解∶A．测量四边形其中的三个角是直角，能判定为矩形，此选项正确； B．对角线相等的四边形可能是等腰梯形也可能是矩形，还有可能是其它形式的四边形，此选项错误； C．测量两组对边是否分别相等，只能判定是否为平行四边形，不能断定是否为矩形，此选项错误； D．测量对角线是否互相平分，只能判定是否为平行四边形，不能判定是否是矩形，此选项错误， 故选：A． 3．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形、菱形、矩形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是解题的关键． 根据四边形是平行四边形，结合题意可证四边形是平行四边形，根据菱形的判定，矩形的判定方法证明即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵延长到，使， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当添加时，则有，设交于点，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，故A选项不能使四边形成为矩形，符合题意； 当添加时，则， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故B选项能使四边形成为矩形，不符合题意； 当添加时，则有， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故C选项能使四边形成为矩形，不符合题意； 当添加时， ∵， ∴点是中点， ∴，则， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故D选项能使四边形成为矩形，不符合题意； 故选：A ． 4．如图，四边形的对角线交于点O．根据图中所标示的数据，再添加下列一个条件，其中能使四边形为矩形的条件有（   ）个 ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质和矩形的判定，添加或，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可判断． 【详解】解：由题意，得，， ∴， 添加， 则， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形； 添加， 则， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形； 故选：C． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.2特殊的平行四边形 题型一 证明四边形是矩形 1．如图，□的四个内角的平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是 ． 3．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在，，，上，连接而成的四边形是矩形，且，求证：四边形是矩形． 3．如图，在中，，，延长至点E，使，连接，交于点F，连接，，．求证：四边形是矩形． 4．如图，在四边形中，，为的中点，，求证：四边形为矩形． 题型二 利用矩形的判定进行计算 1．如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 2．如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 3．如图，在中，，D为中点，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的度数． 1．如图，四边形中，，则四边形的面积为（） A．32 B．34 C．40 D．50 2．已知：如图，点是直线上一点，平分，平分，交于点． (1)求证：； (2)若点为的中点，判断四边形的形状并说明理由． 3．如图，已知为等边三角形，，点为线段上任意一点（点不与、重合），过点作，分别交、于、． (1)求证：； (2)试探索：当为的中点时，四边形是什么样的特殊四边形？并说明理由． 4．如图，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 1．如图，P，Q分别为平行四边形边，的中点，O为与的交点，在对角线上作点M，N，使以M，Q，N，P为顶点的四边形是矩形，下面是两位同学的作图． 嘉嘉： 以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M，N． 淇淇： 分别过点P，Q作于点M，于点N． 下列说法正确的是（   ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 2．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．10 B．12 C．16 D．18 3．阅读下列材料，完成后面的任务： 如图，在和中，点A，D在直线m上，点B，C在直线n上，若，则有．这道题表明，同底等高的两个三角形的面积相等，我们把这个结论称为等面积．它是一种重要的解题方法．在数学解题中，有着重要的应用． 下面是它的部分证明过程： 证明：如图，过点A作于点E，过点D作于点F， 则． ∵， ∴， ……    任务： (1)请将上述证明过程补充完整 (2)如图，在矩形ABCD中，E是CD延长线上一点，连接AE，BE．若，求．    4．在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解： 已知：如图，四边形中，，对角线、相交于点O，． 小壮说：若，则四边形为矩形； 小刚说：若，则四边形为矩形． 小强说：若，则四边形为矩形． 请对三人的说法任选其一进行判断并证明． 1．下列说法中，正确的是（    ） A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角线平分每一组对角 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 2．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（    ） A．测量其中三个角是否都为直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相平分 3．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形的对角线交于点O．根据图中所标示的数据，再添加下列一个条件，其中能使四边形为矩形的条件有（   ）个 ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$