6.3.3特殊的平行四边形练习题（2题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（青岛版）

6.3.3特殊的平行四边形 题型一 菱形的性质定理的应用 1．如图，在菱形中，．已知的周长是12，则菱形的周长是（　　） A．20 B．16 C．15 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质；根据菱形的对角线平分一组对角和菱形的四边相等可证是等边三角形，即可求出菱形的边长，即可求出周长． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， 的周长是12， ， 菱形的周长是， 故选：． 2．如图，四边形是菱形，对角线、相交于点于点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质．首先根据菱形的一组邻角互补可以求出，再根据菱形的对角线互相平分且每组对角线平分一组对角可得、，所以可得，根据直角三角形的斜边等于斜边的一半可得，根据等边对等角可得． 【详解】解：如下图所示， 四边形是菱形， ， ， ， 是菱形的对角线， ， ， ， 在中，， ， 点是的中点， ， ． 故选：C． 3．菱形的两条对角线长为6和8，那么这个菱形的面积为（   ） A．48 B．32 C．12 D．24 【答案】D 【分析】本题考查菱形面积的计算．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长为6和8， ∴菱形的面积为：． 故选：D． 4．如图，是菱形的对角线，． (1)请用尺规作图法，在上找点；使(不要求写作法，保留作图痕迹)； (2)在（1）条件下，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)30° 【分析】本题考查垂直平分线的画法和判定，菱形的性质等性质，掌握菱形的性质和垂直平分线的画法是解题的关键． （1）只需做的垂直平分线交于点F即可； （2）根据菱形的性质求出，继而求出，最后运用等边对等角即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∴，， ∴，     ∵， ∴． 5．如图，已知为菱形对角线的交点，过点作，过点作，且、相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】此题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． （1）首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是菱形，根据菱形的性质，易得，即可判定四边形是矩形； （2）在矩形中，，，结合菱形的性质即可求解． 【详解】（1）证明∶，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：∵，， 则在矩形中，，， 又∵边形是菱形， ∴，， ∴菱形的面积为．  题型二 菱形的判定定理的应用 1．如图，在矩形中，点O是对角线的中点．过点O作，分别交于点E，F，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 先证明，继而可得，而，可先证明平行四边形，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ． ，． 点是的中点， ． ． ． 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 2．如图，延长平行四边形的边．作交的延长线于点E，作交的延长线于点F，若．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的性质和判定， 根据平行四边形的性质得，进而得出，然后说明，即可得出最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴四边形是菱形． 3．如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的判定、等腰三角形的判定，先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，从而推出，即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 4．已知：如图，在中，，为中线． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点E，在射线上截取，连接，； (2)试判断（1）中所得四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查基本作图，菱形的判定，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据要求作图即可； （2）先证出是平行四边形，再根据即可求得结果． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）四边形是菱形． 证明：∵在中，为中线， ∴． 又∵平分， ∴，． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 1．如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，作点关于的对称点，则，，连接交于点，得到，可知当在一条直线上时，的值最小， 此时，再证明四边形是平行四边形即可求解，根据轴对称找到点的位置是解题的关键． 【详解】解：作点关于的对称点，则，，连接交于点， ∴， 由两点之间线段最短可知，当在一条直线上时，的值最小， 此时， ∵四边形为菱形，周长为， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 2．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（   ） A．24 B．36 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是是解决本题的关键． 由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得，由菱形对角线的性质可得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积． 3．如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：①；②是等边三角形； ③；④；其中正确的结论有 （填序号） 【答案】①②④ 【分析】由两组对边平行证明四边形是平行四边形，由得出四边形是菱形，得出，则，由角平分线定义得出，则，证出，则，，即可判断结论①；由得出，由得出，则是等边三角形，即可判断结论②；由菱形的性质得出，，结合，则，即可判断结论③；由，，则，即可判断结论④． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，，结论①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，结论②正确； ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，故结论③错误； ∵，， ∴，结论④正确． 综上所述，正确的结论有：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、角平分线定义、等边三角形的判定、含角直角三角形的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握菱形的性质与含角直角三角形的性质是解题关键． 4．如图，矩形中，对角线、交于点，点、分别在边和上，在线段上，连接、，交于点． (1)求证：； (2)若是的中点，且，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（）利用矩形的性质可证，得到，进而证明即可求证； （）由得，即可得四边形是平行四边形，再证明为等边三角形，得到，即得，再根据三线合一可得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由（）得，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握矩形的性质和菱形的判定是解题的关键． 5．如图，在中，，点E在线段上，连结． (1)用尺规完成以下基本作图，过点E作的垂线交于点F、交于点G．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，若点F为线段的中点，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行四边形的性质，菱形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键. （1）利用基本作图作于； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到四边形是菱形，根据菱形的性质即可得到结论. 【详解】（1）如图, 为所作； （2）证明：连接, ，点为线段的中点， ∴垂直平分, ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴, ， ， ∴, ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形, ， ． 1．综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 【答案】[操作判断]见解析；[类比探究]1；[问题解决]2 【分析】[操作判断]根据折叠的性质得，结合平行四边形的性质可得四边形是菱形，即有； [类比探究]根据平行四边形的性质得和，则，有折叠得，，由结合等腰三角形的性质有，则有，即可得； [问题解决]延长交的延长线于点，由（2）得，设，由平行四边形，，则有和，进一步证明，有和，根据列方程求解即可． 【详解】解： [操作判断]∵将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴． [类比探究]∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵沿着折叠点A的对称点恰好落在对角线上， ∴，， ∴， ∴， ∵点与点C，E共线， ∴， 即， [问题解决]延长交的延长线于点， 由（2）得， ∵沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处， 设， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵恰好落在的中点处， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质和特殊四边形的性质． 2．综合与实践                  图1 某校八年级数学课外活动小组用一张矩形纸片(如图1， 矩形中，且足够长)进行探究活动． 【动手操作】 如图2，第一步，将矩形折叠，使点A与点D重合，点B与点C重合，折痕为，把纸片展平．                      图2 第二步，沿点 A 所在直线折叠，使点 D落在上的点G 处，折痕分别交，于点H，P，再把纸片展平． 第三步，连接． 【探索发现】 根据以上信息，甲、乙两同学分别写出了一个结论． 甲同学的结论: 乙同学的结论：四边形是菱形． （1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由． 【继续探究】 在上面操作基础上，丙同学又进行了操作．                    图3 如图3，第四步，继续沿点A 所在直线折叠，使点 D落在上的点 Q处，折痕分别交，于点 M， N． 第五步，连接，仍把纸片展平 根据以上信息， 丁同学提出一个问题: 图中有，，吗? （2）请解答丁同学的问题(若有，直接写出一个的角、一个的角、一个的角；若没有，请说明理由)． 【答案】（1）甲、乙两同学的结论都正确，理由见详解； （2）图中有，，，（答案不唯一） 【分析】（1）根据折叠可知甲同学的结论正确， 由，，得，证明四边形是平行四边形，由，得，进而证明是菱形，从而得出乙的结论也正确； （2）根据折叠及三角形的内角和定理，外角性质即可得出各度数的角． 【详解】解：（1）甲同学和乙同学的结论都正确，证明如下， ∵四边形是矩形， 由折叠可得，，，，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 是菱形，故乙同学的结论正确； 是菱形， ，由折叠可得，， ， ， ， ， 即； 故甲同学的结论正确． （2） 由折叠可得，， 由（1）可知，，， ，， ，． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、正方形的判定和性质、菱形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1．下列命题正确的是（   ） A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项错误，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 2．下列说法：（1）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．（2）对角线相等的四边形是矩形．（3）有两条互相垂直的对称轴的四边形是菱形．（4）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．错误的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查特殊四边形的判定方法．掌握判定特殊四边形的条件是解答本题的关键．利用平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定条件逐项分析即可． 【详解】解：（1）根据一组对边平行，一组对角相等，结合平行线的性质，可得另一组对角也相等，即一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，正确； （2）对角线相等的平行四边形是矩形，故错误； （3）有两条互相垂直的对称轴的四边形也可以是矩形，故错误； （4）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，正确． 综上可知（2）（3）错误，有2个． 故选B． 3．在中，如果只添加一个条件即可证明是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意可作出图形： 当时，则为矩形，故A错误； 当时，则为矩形，故B错误； 当时，不能判定出是菱形，故C错误； 当平分时，则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为菱形，故D正确； 故选：D． 4．在菱形中，点O为对角线 的中点，点E、F分别为线段、上的点，的延长线交线段于点H，的延长线交线段于点 G，连接、、、，以下结论：①；②若，则；③存在无数个点E，使得四边形为菱形；④若四边形为矩形，则．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】证明四边形是平行四边形，得出，可判定①正确；证明得到从而可得，可判定②正确；当时，可得四边形是菱形，则存在无数个点E，使得四边形为菱形；可判定③正确；若四边形为矩形，可得，从而证明，得到，继而得到，可判定④正确． 【详解】解：∵菱形，点O为对角线 的中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故①正确； 设与相交于M，如图， 若，则， ∵菱形， ∴，， 又∵， ∴ ∴ ∴， 即，故②正确； ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴存在无数个点E，使得四边形为菱形；故③正确； 若四边形为矩形， ∴， 由①可知， ∴ ∴ ∵ ∴故④正确． 综上，正确的有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题菱形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.3特殊的平行四边形 题型一 菱形的性质定理的应用 1．如图，在菱形中，．已知的周长是12，则菱形的周长是（　　） A．20 B．16 C．15 D．12 2．如图，四边形是菱形，对角线、相交于点于点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．菱形的两条对角线长为6和8，那么这个菱形的面积为（   ） A．48 B．32 C．12 D．24 4．如图，是菱形的对角线，． (1)请用尺规作图法，在上找点；使(不要求写作法，保留作图痕迹)； (2)在（1）条件下，连接，求的度数． 5．如图，已知为菱形对角线的交点，过点作，过点作，且、相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积．  题型二 菱形的判定定理的应用 1．如图，在矩形中，点O是对角线的中点．过点O作，分别交于点E，F，连接．求证：四边形是菱形． 2．如图，延长平行四边形的边．作交的延长线于点E，作交的延长线于点F，若．求证：四边形是菱形． 3．如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，．求证：四边形是菱形． 4．已知：如图，在中，，为中线． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点E，在射线上截取，连接，； (2)试判断（1）中所得四边形的形状，并说明理由． 1．如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（   ） A．24 B．36 C．12 D．6 3．如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：①；②是等边三角形； ③；④；其中正确的结论有 （填序号） 4．如图，矩形中，对角线、交于点，点、分别在边和上，在线段上，连接、，交于点． (1)求证：； (2)若是的中点，且，判断四边形的形状，并说明理由． 5．如图，在中，，点E在线段上，连结． (1)用尺规完成以下基本作图，过点E作的垂线交于点F、交于点G．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，若点F为线段的中点，证明：． 1．综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 2．综合与实践                  图1 某校八年级数学课外活动小组用一张矩形纸片(如图1， 矩形中，且足够长)进行探究活动． 【动手操作】 如图2，第一步，将矩形折叠，使点A与点D重合，点B与点C重合，折痕为，把纸片展平．                      图2 第二步，沿点 A 所在直线折叠，使点 D落在上的点G 处，折痕分别交，于点H，P，再把纸片展平． 第三步，连接． 【探索发现】 根据以上信息，甲、乙两同学分别写出了一个结论． 甲同学的结论: 乙同学的结论：四边形是菱形． （1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由． 【继续探究】 在上面操作基础上，丙同学又进行了操作．                    图3 如图3，第四步，继续沿点A 所在直线折叠，使点 D落在上的点 Q处，折痕分别交，于点 M， N． 第五步，连接，仍把纸片展平 根据以上信息， 丁同学提出一个问题: 图中有，，吗? （2）请解答丁同学的问题(若有，直接写出一个的角、一个的角、一个的角；若没有，请说明理由)． 1．下列命题正确的是（   ） A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 2．下列说法：（1）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．（2）对角线相等的四边形是矩形．（3）有两条互相垂直的对称轴的四边形是菱形．（4）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．错误的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在中，如果只添加一个条件即可证明是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D．平分 4．在菱形中，点O为对角线 的中点，点E、F分别为线段、上的点，的延长线交线段于点H，的延长线交线段于点 G，连接、、、，以下结论：①；②若，则；③存在无数个点E，使得四边形为菱形；④若四边形为矩形，则．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$