精品解析：广西柳州市柳州市2025年九年级中考第一次模拟联考一模数学试题

2025年九年级第一次教学质量检测 数学 （考试时间120分钟 满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将班别，学号，考号，姓名填写在试卷和答题卡上，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共12小题，每题3分，共36分） 1. 下列字母中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟知中心对称图形的概念是关键；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心；根据定义逐一判断即可. 【详解】解：A、本选项中的字母不是中心对称图形，不符合题意； B、本选项中的字母不是中心对称图形，不符合题意； C、本选项中的字母不是中心对称图形，不符合题意； D、本选项中的字母是中心对称图形，符合题意； 故选：D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B. 投掷飞镖一次，命中靶心 C. 从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D. 玩“石头， 剪刀， 布”， 对方出“剪刀” 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、属于随机事件，故本选项不符合题意； B、属于随机事件，故本选项不符合题意； C、属于必然事件，故本选项符合题意； D、属于随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C 3. 如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接利用圆周角定理求解． 【详解】解：∵为所对的圆周角，为所对的圆心角， ∴． 故选：C． 4. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由反比例函数的性质得，解得，即可做出判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， 的取值可以是3， 故选：D 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数经过的象限是解题的关键． 5. 已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　） A. 9π B. 6π C. 3π D. 2π 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为：； 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形面积计算，解题关键是熟记扇形面积公式：． 6. 如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是相似三角形的性质根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似变换、平行线的判定．结合位似图形的定义、相似三角形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，且相似比为， ∴． 故A，B选项正确，不符合题意； 与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ，， ， 故C选项正确，不符合题意； 与是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ， ． 故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 8. 关于的方程有两个不相等的实数根，则可以是（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，熟练记忆当时，方程有两个不相等的实数根． 根据方程有两个不相等的实数根，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故选：D． 9. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴． 故选：B． 10. 如图，在中，，，．将绕点C旋转至，使，交边于点D，则的长是（　　） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据旋转的性质可证，根据直角三角形两锐角互余可证，由此可得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点旋转至， ， ， ， ， ， ， 而， ， ， ， 故选：C． 11. 某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，设圆心，过点O作于N，交于点M，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 12. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小．其中结论正确为（ ） A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①④⑤ D. ②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点， ， ，故①不符合题意； ②由图象可知：，， ， ， ，故②正确，符合题意； ③当时，， ∴，故③符合题意； ④当时，，故④不符合题意； ⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案直接写在答题卡的横线上） 13. 在平面直角坐标系中，点B与点关于原点对称，则点B的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标的特征．根据关于原点对称的点的坐标与原来的点的横纵坐标都互为相反数可得答案． 【详解】解：点B与点关于原点对称 点的坐标是． 故答案为：． 14. 如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是__________米． 【答案】8 【解析】 【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到代入数值求解即可． 【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP=∠CDP=90°， ∵∠APB=∠CPD， ∴△ABP∽△CDP ∴， 即 解得：CD=8米． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决． 15. 如图所示，A为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数k的几何意义，如果点在反比例函数图象上与坐标轴构成直角三角形或者矩形，一般是利用反比例函数的值与矩形面积相等，或者是三角形面积两倍的关系． 设，则，再利用反比例函数的性质可得答案． 【详解】解：设， 则， ∴， ∵函数图象位于一、三象限， ∴， ∴取． 故答案为：12． 16. 如图，在中，，，为边的高，点A在轴上，点在轴上，点在第一象限，若A从原点出发，沿轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点随之沿轴下滑，并带动在平面内滑动，设运动时间为秒，当到达原点时停止运动．连接，线段的长随的变化而变化，当最大时，_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形顶点在坐标轴上滑动．熟练掌握等腰三角形性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键．， 根据，得到当O，D，C，三点共线时，最大，得到此时，求出的长，进行求解即可． 【详解】解：∵，为边的高， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最大， 此时：， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分． 17. 已知二次函数． （1）求当函数值时，自变量的值； （2）请判断此函数有最大值还是最小值，并求出最大值或最小值． 【答案】（1）， （2）函数有最小值，函数最小值为 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的值，二次函数的性质． （1）把代入，然后解关于x的一元二次方程即可； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时， 或 ， 【小问2详解】 解：因为，开口向上，所以函数有最小值． 此函数最小值为． 18. 如图，直线（，为常数，）与双曲线（为常数且）相交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）连接、，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求一次函数和反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据函数图象得出不等式的解集即可； （3）先求出点，然后用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与y轴的交点坐标，再求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：由题意，将点代入双曲线解析式， ， ． 双曲线为． 【小问2详解】 解：根据函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴关于的不等式的解集为或． 【小问3详解】 解：在双曲线为， ， ∴， 将，代入， 得：， 解得：， ， 设与轴交于点，则坐标， ， 答：的面积为． 19. 如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜． （1）转出的数字为3的概率是 ． （2）转出的数字不大于3 的概率是 ． （3）你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 【答案】（1） （2） （3） 解：这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由如下： ∵一共有5个数字，其中奇数有3个，偶数有2个，且每个数字被转出的概率相同， ∴任意转动转盘一次，转出奇数的概率为，转出偶数的概率为， ∴， ∴乙获胜的概率大， ∴这样的游戏规则对甲、乙两人不公平． 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算： （1）根据概率公式计算即可； （2）用不大于3的数字个数除以数字总数即可得到答案； （3）分别求出甲、乙获胜的概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵一共有5个数字，每个数字被转出的概率相同， ∴转出的数字为3的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵一共有5个数字，数字不大于3 的有3个，， ∴转出的数字不大于3 的概率是， 故答案为：； 【小问3详解】 略 20. 某店销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加． （1）若单价降低2元，则每天的销售量是______千克，若单价降低元，则每天的销售量是______千克；（用含的代数式表示） （2）若该店销售这种产品计划每天获利2160元，单价应降价多少元？ （3）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）应降价2元或8元 （3）当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，列出关系式． （1）根据每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加，列出代数式或算式即可； （2）根据每天获利2160元，列出方程，解方程即可； （3）设利润为w元，单价降低元，根据总利润单个的利润销售量，列出二次函数解析式，然后求最大值即可． 【小问1详解】 解：若单价降低2元，则每天的销售量是（千克）， 若单价降低元，则每天的销售量是千克； 【小问2详解】 解：设单价应降价元，依题意得： ， 整理得：， 解得，， 答：单价应降价2元或8元； 【小问3详解】 解：设利润为w元，单价降低元， ， ， w有最大值， 当时，w的最大值是2250， 答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元． 21. 如图，是的直径，四边形内接于，连接，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， ，是半径， ， 是的直径， ，即， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由，是半径，可得，由是的直径，可得，则，，进而结论得证； （2）由勾股定理得，，由是的直径，可得，证明，则，代入数据计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知，， 由勾股定理得，； 是的直径， ； ， ， ， ，即， 解得，； 的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明切线与相似是解题的关键． 22. ［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 【答案】（1），顶点的坐标为；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）把原点代入解析式，求得值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）先求出点的坐标为，再求出的解析式为：．然后求出点的坐标为，最后求出结果即可； （3）作抛物线的对称轴于点，则，设点的横坐标为，得出，根据点在抛物线上，列出方程，得出点的坐标为，最后求出即可． 【详解】解：（1）抛物线经过原点， ． 解得：． 抛物线的解析式为：． 顶点的坐标为； （2）取，， 解得：，， 点的坐标为， 心形叶片的对称轴是直线，点，是叶片上的一对对称点， 设的解析式为：． 经过点， ． 解得：． 的解析式为：． ， 解得： 点的坐标为． ． ． （3）作抛物线的对称轴于点，则， 直线与水平线的夹角为， ． 设点的横坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ． 顶点的坐标为， 点的纵坐标为． 点在抛物线上， ． 解得：． 点的坐标为． ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点，对称思想，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 23. 问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明． （1）尝试证明：请参照小慧的思路，利用图2证明； （2）基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的E点处．若，，求的长； （3）拓展升华：如图4，中，，，，的中垂线交延长线于点，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） （3）6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先根据折叠的性质可得，，再根据（1）的结论可得，从而可得，然后利用勾股定理求出，由此即可得； （3）先根据（1）的结论可得，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处， ∴，， 由（1）可知，， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，即是的角平分线， ∴由（1）可得：， ∵，，， ∴， ∴， ∵的中垂线交延长线于， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级第一次教学质量检测 数学 （考试时间120分钟 满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将班别，学号，考号，姓名填写在试卷和答题卡上，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共12小题，每题3分，共36分） 1. 下列字母中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B. 投掷飞镖一次，命中靶心 C. 从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D. 玩“石头， 剪刀， 布”， 对方出“剪刀” 3. 如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　） A. 9π B. 6π C. 3π D. 2π 6. 如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ） A. B. 8 C. D. 7. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的方程有两个不相等的实数根，则可以是（　　）． A. B. C. D. 9. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，．将绕点C旋转至，使，交边于点D，则的长是（　　） A. 4 B. C. 5 D. 6 11. 某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（ ） A. B. C. D. 12. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小．其中结论正确为（ ） A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①④⑤ D. ②③⑤ 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案直接写在答题卡的横线上） 13. 在平面直角坐标系中，点B与点关于原点对称，则点B的坐标是________． 14. 如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是__________米． 15. 如图所示，A为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为______． 16. 如图，在中，，，为边的高，点A在轴上，点在轴上，点在第一象限，若A从原点出发，沿轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点随之沿轴下滑，并带动在平面内滑动，设运动时间为秒，当到达原点时停止运动．连接，线段的长随的变化而变化，当最大时，_____． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分． 17. 已知二次函数． （1）求当函数值时，自变量的值； （2）请判断此函数有最大值还是最小值，并求出最大值或最小值． 18. 如图，直线（，为常数，）与双曲线（为常数且）相交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）连接、，求的面积． 19. 如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜． （1）转出的数字为3的概率是 ． （2）转出的数字不大于3 的概率是 ． （3）你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 20. 某店销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加． （1）若单价降低2元，则每天的销售量是______千克，若单价降低元，则每天的销售量是______千克；（用含的代数式表示） （2）若该店销售这种产品计划每天获利2160元，单价应降价多少元？ （3）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？ 21. 如图，是的直径，四边形内接于，连接，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 22. ［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 23. 问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明． （1）尝试证明：请参照小慧的思路，利用图2证明； （2）基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的E点处．若，，求的长； （3）拓展升华：如图4，中，，，，的中垂线交延长线于点，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $