精品解析：上海市普陀区2024-2025学年高三上学期12月质量调研数学试卷

普陀区2024学年第一学期高三数学质量调研 数学试卷 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟. 2.本考试分试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1. 设全集，若集合，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】因为，集合， 所以. 故答案为：. 2. 已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为________ . 【答案】 【解析】 【分析】设出抛物线的标准方程后，根据准线方程可解得结果. 【详解】依题意可设抛物线的标准方程为：， 由，解得， 所以该抛物线的标准方程为：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了根据准线方程求抛物线的标准方程，属于基础题. 3. 设为虚数单位，若复数满足，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】设复数，，计算出，利用复数相等求出，即得. 【详解】设复数，，则， 所以， 因为， 所以， 则，所以. 故答案为：. 4. 若，则的值为________. 【答案】10 【解析】 【分析】化简结合二项式定理求项的系数. 【详解】因为， 所以， 所以的展开式的第项的表达式，， 所以. 故答案为：. 5. 设，，、，等差数列的首项，公差，若，则的值为________. 【答案】56 【解析】 【分析】由等差数列通项公式及求和公式列出等式即可求解. 【详解】由，， 可得，又， 解得：. 故答案为：56. 6. 设的内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得的大小，再根据的面积公式得的值，从而由余弦定理可得的值. 【详解】，， 又，所以，故， 则的面积，所以， 由余弦定理得， 故. 故答案为：. 7. 设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意写出焦点与左顶点的坐标，表示出线段长，利用离心率写出等量关系，可得答案. 【详解】由题意可得，则，， 由椭圆离心率为，可得，则， 所以. 故答案为：. 8. 若圆锥的体积为，它的母线与底面所成的角的余弦值为，则圆锥的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意作图，根据线面角的定义，可得圆锥的母线与底面半径的等量关系，利用扇形面积公式以及圆的面积公式，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 在圆锥中，易知，且为母线与底面所成的角， 由母线与底面所成的角的余弦值为，则， 在中，，可得，则， 圆锥的体积，解得，则， 圆的周长为，则圆锥侧面展开图的面积， 圆锥底面面积，所以圆锥的表面积. 故答案为：. 9. 设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】以为基底表示，结合题意运用数量积及向量数乘运算即可求解. 【详解】， ， ， 所以， 由，，， 可得， ，解得. 故答案为：. 10. 设平面上四点、、、满足：，，若，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先分析向量关系，建立平面直角坐标系，设点的坐标，根据已知条件得到，消去m得到，借助三角函数的值域得到的取值范围，最后最后求的最小值即可. 【详解】已知，则这两个向量垂直，所以. 则Q再以MN为直径的圆上. 以原点O建立平面直角坐标系，设，，，. 由，可得，对于， 从解出，代入中，经过化简可以得到. 将代入，得到，进一步变形为. 因为，所以. 当时，解方程， 令，则方程变为，可得. 因为，所以（舍去），则； 当时，，，或者， 又因为且存在其他条件限制，所以. 因为，当取最小值时，. 故答案为：. 11. 设，直线与曲线和曲线分别交于、两点，则的最大值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得曲线对应的函数关于直线对称，直线关于直线对称，从而可得关于直线对称，利用直线与直线相交、曲线与直线相交得坐标，结合函数性质可得的最值. 【详解】 曲线和曲线对应的函数互为反函数，则关于直线对称， 又或，即两曲线交点坐标为， 又直线与直线相互垂直，则直线关于直线对称， 所以关于直线对称，设直线与直线相交于，且于， ，则，且，所以， 联立，解得， 因为，所以， 则， 令，则，则， 所以， 因为，所以，所以， 故的最大值为. 故答案为：. 12. 设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有个，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用导数分析函数的单调性，作出函数的图象，结合已知条件分析得出，由绝对值三角不等式分析得出，令，分析其奇偶性，可知，当时，满足不等式的整数解有且只有个，令，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，其中，则恒成立， 所以函数在上单调递增，且， 作出函数的图象如下图所示： 由结合图可知，，由，可得， 对任意的，， 所以，故，即， 由绝对值三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 即，即， 令，其中，则， 则不满足， 则， 所以函数为偶函数， 所以当时，由可得，可得， 令，其中，则函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，，则, 由题意可知，当时，满足不等式的整数解有且只有个，如下图所示： 所以，即， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析函数的单调性以及得出，然后再求解不等式整数解的个数时，利用图象能够清晰地将不等关系利用图形的形式呈现得更为具体、直观. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分. 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦二倍角公式由可得的值，结合充分必要条件判断即可. 【详解】因为，则，所以或， 则“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 14. 某机构对2014年至2023年的中国新能源汽车的年销售量进行了统计，结果如图所示（单位：万辆），则下列结论中正确的是（ ） A. 这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为123 B. 这十年中国新能源汽车年销售量的极差为721 C. 这十年中国新能源汽车年销售量的第70百分位数为136.6 D. 这十年中的前五年的年销售量的方差小于后五年的年销售量的方差 【答案】D 【解析】 【分析】由图表提取数据并按照由小到大排列，根据中位数、极差与百分位数定义，结合方差的性质，可得答案. 【详解】由图可得数据为：， 对于A，这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为，故A错误； 对于B，这十年中国新能源汽车年销售量的极差为，故B错误； 对于C，由，则这十年中国新能源汽车年销售量的第70百分位数为，故C错误； 对于D，由图表易知前五年的数据比后五年的数据稳定，则前五年的方差小于后五年的方差，故D正确. 故选：D. 15. 设且，、、都是正整数，数列的通项公式为，记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（ ） A. 当时，的取值范围是 B. 不存在和的值，使得 C. 当时，的取值范围是 D. 存在和的值，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据不同的取值范围分析分段函数的性质，结合函数单调性，反证法，进而判断关于集合元素个数等命题的正确性，逐个判断真假即可. 【详解】对于A选项,当时，对于，根据分段函数的性质，会得到， 由于在这个区间内，这样的递推会一直进行下去，所以集合有无数个元素. 当时，要满足，通过对分段函数的计算和分析，正好解得， 此时.并且当，两个分段函数都是增函数，中最多只存在两个元素.所以选项正确. 对于B选项，当时，有且. 要想有个元素，根据函数的递推关系，如果，那么根据函数性质会继续产生更多的元素， 所以必有，不然会有无数个元素.但是当时，中元素个数就不是个了， 这就产生了矛盾，所以原命题正确，即选项正确. 对于C选项，当时，，令，通过对分段函数的计算解得. 由于，此时，这与选项中说的情况不符，所以选项错误. 对于D选项，从前面的分析经验来看，要想，根据分段函数的性质，只能令，. 由此得到方程，整理得，解得或， 因为（根据前面的取值范围等条件），所以，选项正确. 故选：C. 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“函数”.对于命题； ①设，若函数为“函数”，则； ②设，若函数为“函数”，则满足条件的的整数值至少有4个. 则下列结论中正确的是（ ） A. ①为真②为真 B. ①为真②为假 C. ①为假②为真 D. ①为假②为假 【答案】B 【解析】 【分析】结合定义将命题①转化为至多有一个解，讨论，求的范围，判断命题①；结合定义将命题②转化为函数是增函数或减函数，结合导数与函数的单调性关系求的范围，判断②，由此确定结论. 【详解】因为为“函数”， 所以函数的图象与的图象至多只能有一个交点， 所以方程组至多只有一个交点， 所以对于任意的至多只有一个解， 当时，函数的图象与的图象至多只有一个交点，满足条件， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 作函数的图象如下： 当时，与有两个交点，不满足要求， 当时，因为函数，都在，上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递减， 其图象如下， 所以对于任意的，直线与函数的图象都有两个交点， 所以不满足要求， 故，命题①正确. 因为函数为“函数”， 所以对任意的关于的方程至多只有一个解， 所以方程至多只有一个解， 所以函数的图象至多只有一个交点， 所以函数是增函数或减函数， 又， 所以或， 由，可得， 当时，， 由，可得， 当时，， 当时，，当时，， 函数的定义域为， 函数的导函数， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递减， 当时，，当时，， 当且时，， 当且时，， 当时，， 当时，， 其图象大致如下， 所以，即， 所以满足条件的整数的值有，有且只有三个. 所以满足条件的整数的值有三个，②错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于结合定义将函数为“函数”.转化为函数的图象与对任意的至多只有一个交点，再结合函数方程知识处理. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 图1所示的平行四边形中，，现将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，记棱的中点为，且.. （1）求证：； （2）记棱的中点为，是否在直线上存在点，使得平面？请说明理由，并求出二面角的大小. 【答案】（1）证明如下： 因为，， ， 所以，所以，即， 图2中，， 则,所以，又， 又为平面内两条相交直线， 所以面，又在面， 所以又， 为平面内两条相交直线， 所以面，又在面内， 所以. （2）存在点，使得平面，理由如下： 以为临边，构造矩形,连接，易知过点， 因为分别为的中点， 所以，又在平面内，在平面外，所以平面, 即点就是点， 由（1）知面，在面内， 所以，又， 是平面内两条相交直线， 所以面，在面内， 所以，又， 所以为二面角的平面角， 因为, 所以， 所以二面角的大小为. 【解析】 【分析】（1）通过条件证明面，进而证明面，即可求解； （2）以为临边，构造矩形,通过中位线可说明点即为点，再通过二面角平面角的概念求得为二面角的平面角，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 设函数的表达式为，其中. （1）设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； （2）若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求的范围，结合条件列不等式求的取值范围； （2）由条件列关系式，确定的值，再由周期公式求周期. 【小问1详解】 当时，， 则， 当时，， 因为有且只有一个使得函数取得最小值， 所以，解得， 所以的取值范围是， 【小问2详解】 因为对任意，成立， 所以的图像关于点对称， 则， 解得，又因为， 所以， 由，，可得， 因为函数在区间上是严格增函数， 令可得，函数在上严格单调递增， 所以，所以， 所以，，， 所以函数的最小正周期. 19. 机器人竞技是继电子竞技之后热门的科技竞技项目.某区为了参加市机器人竞技总决赛，开展了区内选拔赛，其中、、、四人进入区内个人组决赛，按照规则每人与其他三人各进行一场比赛，且这三场比赛互相独立.下表统计的是在近期热身中分别与、、三人比赛的情况. 比赛的次数 12 10 15 获胜的次数 4 5 12 （1）根据表格中的数据，试估计在区内决赛中至少获胜一场的概率； （2）根据表格中的数据，请给、、三人设计一个出场顺序，使得在这三场比赛中连胜两场的概率最大，并说明理由. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据可得与其他三人比赛获胜概率，利用概率的乘法公式以及正难则反的解题思路，可得答案； （2）计算各种安排下比赛获胜的概率，进行比较可得答案. 【小问1详解】 由表格可估计与的比赛中获胜的概率， 与的比赛中获胜的概率，与的比赛中获胜的概率， 则估计在区内决赛中三场全输的概率， 所以估计在区内决赛中至少获胜一场的概率. 【小问2详解】 ①当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ②当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ③当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ④当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ⑤当比赛安排为时，连胜两场的概率为； ⑥当比赛安排为时，连胜两场的概率为； 由，则当比赛安排为或时，连胜两场的概率最大. 20. 设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点. （1）若点是上的一点，，求的值； （2）设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； （3）设的延长线与交于点，若向量与满足：，求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）的面积的取值范围为 【解析】 【分析】（1）由直线过点，可求，判断点的位置，结合双曲线定义求结论； （2）联立方程组，设，利用设而不求法求，由条件证明四边形为平行四边形，列方程求，由此确定的坐标； （3）由条件列不等式求的范围，表示的面积，利用换元法求其最值. 【小问1详解】 双曲线的右焦点的坐标为， 因为过点， 所以，所以， 因为， 所以点在双曲线的左支上， 由双曲线定义知，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则双曲线， 联立 ，消去得， 则， 设，则，， 所以， ， 又，所以， 因为点、、、满足：，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 故与互相平分，点在直线上， 所以，又，所以， 所以点的纵坐标为， 所以点的坐标为. 【小问3详解】 因为， 所以， 所以，又，所以， 由双曲线的对称性可得，， 所以， 所以， 令，，即， 所以， 因为在区间上单调递减，当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以的面积的取值范围为. 21. 设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”. （1）设，，若数列，，，，具有性质“”，求满足条件的的值； （2）设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由； （3）设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小. 【答案】（1）或； （2）； （3）证明如下： 令，则， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以， 所以当时，，故， 所以，且函数的定义域为， 又，， 所以，， 因为， 所以， 令，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，，又， 故 所以， 因为， 所以 令， ， 令， 则， 令，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，， 故， 所以当时，， 又，所以， 所以， 综上，数列具有性质“”， 因为，所以， 所以当，时，， 所以，当时，， 当，时， ， 所以. 综上，数列具有性质“”，且. 【解析】 【分析】（1）根据条件数列，，，，具有性质“”，结合新定义列不等式求的取值； （2）假设存在，满足条件，根据定义列不等式，等价转化不等式可求结论； （3）先证明，再结合作差法和导数方法证明，，由此证明数列具有性质“”，再通过放缩求，比较其与的大小. 【小问1详解】 已知数列具有性质， 则，，，， 由，可得， 由，可得， 综合可得，又因为，所以或； 【小问2详解】 假设存在使得数列具有性质“”， 则，即. 由可得：， 即， 所以， 因为，， 所以， 则，又，所以， 由，可得， 所以， 因为，，所以，且时，， 综上，， 所以存在使得数列具有性质“”，的取值范围是； 【小问3详解】 略 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普陀区2024学年第一学期高三数学质量调研 数学试卷 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟. 2.本考试分试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1. 设全集，若集合，则________. 2. 已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为________ . 3. 设为虚数单位，若复数满足，则________. 4. 若，则的值为________. 5. 设，，、，等差数列的首项，公差，若，则的值为________. 6. 设的内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则的值为________. 7. 设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为________. 8. 若圆锥的体积为，它的母线与底面所成的角的余弦值为，则圆锥的表面积为________. 9. 设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为________. 10. 设平面上四点、、、满足：，，若，则的最小值为________. 11. 设，直线与曲线和曲线分别交于、两点，则的最大值是________. 12. 设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有个，则的取值范围是________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分. 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 某机构对2014年至2023年的中国新能源汽车的年销售量进行了统计，结果如图所示（单位：万辆），则下列结论中正确的是（ ） A. 这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为123 B. 这十年中国新能源汽车年销售量的极差为721 C. 这十年中国新能源汽车年销售量的第70百分位数为136.6 D. 这十年中的前五年的年销售量的方差小于后五年的年销售量的方差 15. 设且，、、都是正整数，数列的通项公式为，记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（ ） A. 当时，的取值范围是 B. 不存在和的值，使得 C. 当时，的取值范围是 D. 存在和的值，使得 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“函数”.对于命题； ①设，若函数为“函数”，则； ②设，若函数为“函数”，则满足条件的的整数值至少有4个. 则下列结论中正确的是（ ） A. ①为真②为真 B. ①为真②为假 C. ①为假②为真 D. ①为假②为假 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 图1所示的平行四边形中，，现将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，记棱的中点为，且.. （1）求证：； （2）记棱的中点为，是否在直线上存在点，使得平面？请说明理由，并求出二面角的大小. 18. 设函数的表达式为，其中. （1）设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； （2）若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期. 19. 机器人竞技是继电子竞技之后热门的科技竞技项目.某区为了参加市机器人竞技总决赛，开展了区内选拔赛，其中、、、四人进入区内个人组决赛，按照规则每人与其他三人各进行一场比赛，且这三场比赛互相独立.下表统计的是在近期热身中分别与、、三人比赛的情况. 比赛的次数 12 10 15 获胜的次数 4 5 12 （1）根据表格中的数据，试估计在区内决赛中至少获胜一场的概率； （2）根据表格中的数据，请给、、三人设计一个出场顺序，使得在这三场比赛中连胜两场的概率最大，并说明理由. 20. 设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点. （1）若点是上的一点，，求的值； （2）设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； （3）设的延长线与交于点，若向量与满足：，求的面积的取值范围. 21. 设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”. （1）设，，若数列，，，，具有性质“”，求满足条件的的值； （2）设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由； （3）设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $