精品解析：辽宁省铁岭市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024—2025学年度第一学期期末考试试卷九年数学 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内） 1. 下列函数图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：A． 2. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程中的， 则这个方程的根的判别式为， 所以这个方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数顶点式是解题的关键． 根据抛物线的顶点式的顶点坐标为即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点式的顶点坐标为， ∴抛物线中，， ∴抛物线的顶点坐标为； 故选：B． 4. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 任意画一个四边形，其内角和是 B. 购买一张彩票，中奖 C. 口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球 D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】A、任意画一个四边形，其内角和是，是不可能事件，不符合题意； B、购买一张彩票，中奖，随机事件，不符合题意； C、口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球，是必然事件，符合题意； D、随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，不符合题意； 故选C． 5. 如图，在中，弦于点C，，，则的长为（ ） A. 17 B. 15 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理．利用垂径定理得到，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：弦于点C，， ， 又， ． 故选C． 6. 反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求； 当时，，图象一定经过，故B符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：B． 7. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，成绩就是当高度时x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：当时，， 解之得（不合题意，舍去）， 所以推铅球的距离是10米． 故选：D． 8. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【详解】解：连接，，，由图可知， ， ∴， ∴点在，，三边的垂直平分线上， ∴点是外心， 故选：C． 9. 如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积、旋转的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．如图（见解析），设旋转后，点的对应点分别为点，则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积，连接，先利用勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，然后根据线段在旋转过程中扫过的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，设旋转后，点的对应点分别为点， 则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积， 连接， ∵矩形中，，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴线段在旋转过程中扫过的面积为 ， 故选：A． 10. 如图，是的直径，，点是圆上不与，重合的点，平分，交于，平分，交于．有以下说法：①点是定点；②的最大值为；③为的外心；④的最大值为．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟记圆周角定理是解题的关键．①在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等可作判断；②先根据勾股定理得：，由完全平方公式：，展开可作判断；③证明，可作判断；④根据完全平方公式，代入可得：，开方可判断． 【详解】解：①平分， ， ， 是的直径， 是半圆的中点，即点是定点；故①正确； ②是的直径， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为，故②正确； ③， ， 平分， 平分， ，， ，， ， ， 为的外心，故③正确； ④， ， 即的最大值为，故④正确； 综上，正确的结论有4个． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若的半径为，则它的外切正三角形与外切正方形的边长比为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正三角形内切圆、外切正方形的知识，首先根据正三角形内切圆的性质得到，从而得到圆外切正三角形边长；再根据正方形与圆的性质计算，即可得到答案． 【详解】的外切正三角形如图，和相切于点D， ∵的半径为， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, 的外切正方形如图，和、分别相切于点E，G， ∵的半径为， ∴， ∴的外切正方形变成为, ∴的外切正三角形与外切正方形的边长比， 故答案为：． 12. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高统计如下： 组别 人数 5 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】考查了求概率，解题关键是直接利用了简单概率求解公式． 由表可得身高不低于为，共抽取了名九年级男生，再根据概率公式求解． 【详解】解：∵抽取了名九年级男生中有名男生身高不低于， ∴抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是； 故答案是：； 13. 如图，为的直径，弦．若，则_____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边对等角、平行线的性质，三角形外角的性质，掌握平行线的性质是解题关键．由等边对等角的性质得，再由平行线的性质得，最后由三角形外角的性质即可求值． 【详解】解：为的直径， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，， ， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 反比例函数的图象过点， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，全等三角形的判定与性质，涉及到正方形的性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标． 15. 如图，的圆心为，半径为1，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定、一次函数的应用，正确找出当时，的值最小，则取得最小值是解题关键．设直线分别与轴，轴交于点，连接，先求出，再根据圆的切线的性质可得，根据勾股定理可得，从而可得当时，的值最小，则取得最小值，然后根据等腰三角形的判定和勾股定理可求出，由此即可得． 【详解】解：如图，设直线分别与轴，轴交于点，连接， 当时，，解得，即， 当时，，即， ∴， ∵轴轴， ∴， ∵的圆心为，半径为1， ∴，， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∴当的值最小时，取得最小值， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴此时， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的知识，理解并掌握以上知识，是解题的关键； （1）本题根据公式法进行计算，即可求解； （2）本题根据因式分解法中的提取公因式进行计算，即可求解； 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ，， 解得：，； 17. 安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和莹莹都想第一个出场，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上A（生命）、B（至上）、C（安全）、D（第一），将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，莹莹再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”，则晶晶第一个出场；否则，莹莹第一个出场． （1）晶晶抽到的卡片正面上的文字是A（安全）的概率为________； （2）请用列表法或画树状图的方法，判断这种安排对晶晶和莹莹是否公平． 【答案】（1） （2）不公平，见解析 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）晶晶从中随机抽取一张共有4种等可能的结果，利用概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，从而可得两人所抽取的卡片的所有等可能的结果，再找出两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”的结果，由此分别求出晶晶第一个出场的概率、莹莹第一个出场的概率，由此即可得． 【小问1详解】 解：因为晶晶从中随机抽取一张共有4种等可能的结果， 所以晶晶抽到的卡片正面上的文字是（安全）的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，两人所抽取的卡片共有12种等可能的结果，其中，两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”的结果有4种， 则晶晶第一个出场的概率为， 所以莹莹第一个出场的概率为， 因为， 所以这种安排对晶晶和莹莹不公平． 18. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m．已测得水面距桥洞最高处有8m （即中点到CD的距离） （1）求半径OA； （2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 【答案】（1）OA=13 （2）10小时 【解析】 【分析】（1）过O作OF⊥CD于E，交于F，连结OC，利用垂径定理与勾股定理即可求出；（2）求得OE=5m，即可求出时间. 【详解】（1）过O作OF⊥CD于E，交于F，连结OC，则 CE=DE=12cm，EF=8cm 设OA=r 在Rt△COE中， 即： ∴ r =13 即OA=13 （2）OE=13-8=5m ∴ 5 ÷0.5="10" （小时） 答：经过10小时才可将水排干 19. 某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第天（为整数）的生产成本为（元/台），与的关系如图所示． （1）若第天可以生产这种设备台，则与的函数解析式为______，的取值范围为______； （2）求第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）y＝2x+20；1≤x≤12；（2）第6天时，该企业利润最大，为12800元． 【解析】 【分析】（1）根据题意确定一次函数解析式，实际问题中x的取值范围要使实际问题有意义； （2）求出当天利润与天数的函数解析式，确定其最大值即可． 【详解】解：（1）根据题意，得y与x的解析式为：y＝22+2（x﹣1）＝2x+20（1≤x≤12）， 故答案为：y＝2x+20，1≤x≤12； （2）设当天的销售利润为w元， 则当1≤x≤6时， w＝（1200﹣800）（2x+20）＝800x+8000， ∵800＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝6时，w最大值＝800×6+8000＝12800． 当6＜x≤12时， 设m＝kx+b，将（6，800）和（10，1000）代入得： ， 解得：， ∴m与x的关系式为：m＝50x+500， ∴w＝[1200﹣（50x+500）]×（2x+20） ＝﹣100x2+400x+14000 ＝﹣100（x﹣2）2+14400． ∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，天数x为整数， ∴当x＝7时，w有最大值，为11900元， ∵12800＞11900， ∴当x＝6时，w最大，且w最大值＝12800元， 答：该厂第6天获得的利润最大，最大利润是12800元． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与二次函数的应用，解题的关键在于理解题意，利用待定系数法确定函数的解析式，并根据函数的性质确定结果． 20. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． （1）的值为________，的值为________； （2）点在轴正半轴上，，求点的坐标； （3）点在轴上，为锐角，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、勾股定理、两点之间的距离公式、一元二次方程的应用等知识，较难的是题（3），正确找出两个临界位置是解题关键． （1）将点代入反比例函数的解析式即可求出的值，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入正比例函数的解析式即可求出的值； （2）先求出点的坐标，再设点的坐标为，从而可得的值，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得； （3）先求出的值，再找出两个临界：点在轴正半轴和负半轴上，且，利用勾股定理建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数得：， ∴， 将点代入正比例函数得：，解得， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由题意，设点的坐标为， 联立，解得或， ∴， 由（1）已得：， ∴，，， ∵， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，，， 如图，有两个临界位置：点在轴正半轴和负半轴上，且， ∴，即， 解得或， ∴要使为锐角，则或． 21. 如图，在中，，对角线，经过点，，与交于点，连接并延长与交于点，与的延长线交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长（结果保留）． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定、弧长、平行四边形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的切线的判定和弧长公式是解题关键． （1）连接，先证出，根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，再根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，先求出，再根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质可得，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，最后利用弧长公式求解即可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， 由（1）已得：，， ∴在中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为． 22. 从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习．在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，取中点，直线与直线交于点，连接． 【感知特殊】 （1）如图1，当时，小组探究得出：线段与的数量关系为________，与的位置关系为________； 【探究一般】 （2）如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； 【应用迁移】 （3）已知，在线段的旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1），；（2），见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，再根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一可得，则，由此即可得； （2）过点作的垂线，交延长线于点，先同（1）的方法证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后利用勾股定理和等量代换即可得出结论； （3）分两种情况：和，先利用勾股定理求出的长，以及，再根据线段和差求出的长，由此即可得． 【详解】解：（1）当时，则， ∵， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴垂直平分（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴， 故答案为：，． （2），证明如下： 如图，过点作的垂线，交延长线于点， 由旋转的性质得：， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴，垂直平分（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （3）①当时， 如图，过点作的垂线，交延长线于点， 由（2）已得：，， ∴， 由（2）已得：， ∵点为的中点， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 由（2）已证：， ∴， 解得； ②当时， 如图，过点作的垂线，交直线于点， 同理可证：， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴垂直平分（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴，即， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 解得， 综上，线段长为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、二次根式的应用等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键． 23. 阅读以下材料，并解决相应问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为． （1）的“友好对称二次函数”为________，的“友好对称二次函数”为________； （2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为； ④任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． （3）如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）①②③ （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，正确理解“友好对称二次函数”的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据“友好对称二次函数”的定义分别求出二次项系数、常数项和对称轴，再根据二次函数的对称轴公式求出一次项系数，由此即可得； （2）根据“友好对称二次函数”的定义即可判断①②③正确；举例二次函数，根据一元二次方程根的判别式可得其函数图象与轴没有交点，由此即可判断④错误； （3）先根据“友好对称二次函数”的定义可求出二次函数的解析式，再分别求出点的坐标，从而可得的长，然后根据四边形的邻边之比为建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为0，对称轴也为直线， 所以的“友好对称二次函数”为； 二次函数的对称轴为直线， 则二次函数的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴也为直线， 设二次函数的“友好对称二次函数”的一次项系数为， 所以，解得， 所以的“友好对称二次函数”为， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵， ∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，则结论①正确； ∵，互为“友好对称二次函数”的两个二次函数的常数项相同，对称轴也相同， ∴此时这两个二次函数的一次项系数也相同， ∴二次项系数为二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，则结论②正确； 的对称轴为直线， 则的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴为直线， 设的“友好对称二次函数”的一次项系数为， 则，解得， ∴的“友好对称二次函数”为，则结论③正确； 若二次函数为，则其“友好对称二次函数”为， ∵方程的根的判别式为没有实数根， ∴二次函数的图象与轴没有交点，则结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． 【小问3详解】 解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴其“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为1，对称轴为直线， 设二次函数的一次项系数为， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， 将代入二次函数得：， 将代入二次函数得：， ∴，， ∵点关于直线的对称点分别为，， ∴，，即，， ∴，， ∵四边形的邻边之比为， ∴或， ∴或， 解得或或或， 所以的值为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末考试试卷九年数学 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内） 1. 下列函数图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 任意画一个四边形，其内角和是 B 购买一张彩票，中奖 C. 口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球 D. 随意翻到一本书某页，这页的页码是偶数 5. 如图，在中，弦于点C，，，则的长为（ ） A 17 B. 15 C. D. 3 6. 反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 9. 如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，，点是圆上不与，重合的点，平分，交于，平分，交于．有以下说法：①点是定点；②的最大值为；③为的外心；④的最大值为．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若的半径为，则它的外切正三角形与外切正方形的边长比为________． 12. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高统计如下： 组别 人数 5 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是________． 13. 如图，为的直径，弦．若，则_____°． 14. 如图，正方形边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上，若反比例函数的图象过点C，则k的值为_______． 15. 如图，的圆心为，半径为1，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和莹莹都想第一个出场，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上A（生命）、B（至上）、C（安全）、D（第一），将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，莹莹再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”，则晶晶第一个出场；否则，莹莹第一个出场． （1）晶晶抽到的卡片正面上的文字是A（安全）的概率为________； （2）请用列表法或画树状图的方法，判断这种安排对晶晶和莹莹是否公平． 18. 如图一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m．已测得水面距桥洞最高处有8m （即中点到CD的距离） （1）求半径OA； （2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 19. 某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第天（为整数）的生产成本为（元/台），与的关系如图所示． （1）若第天可以生产这种设备台，则与的函数解析式为______，的取值范围为______； （2）求第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？ 20. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． （1）的值为________，的值为________； （2）点在轴正半轴上，，求点的坐标； （3）点在轴上，为锐角，直接写出的取值范围． 21. 如图，在中，，对角线，经过点，，与交于点，连接并延长与交于点，与的延长线交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长（结果保留）． 22. 从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习．在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，取中点，直线与直线交于点，连接． 【感知特殊】 （1）如图1，当时，小组探究得出：线段与的数量关系为________，与的位置关系为________； 【探究一般】 （2）如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； 【应用迁移】 （3）已知，在线段的旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 23. 阅读以下材料，并解决相应问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为． （1）的“友好对称二次函数”为________，的“友好对称二次函数”为________； （2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为； ④任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． （3）如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$