精品解析：上海松江区2024-2025学年八年级上学期数学期末测试卷

2024学年第一学期期末八年级数学试卷 （满分：100分，完成时间：90分钟） 2025.01 一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分） 1. 计算：______． 2. 一元二次方程的根是______． 3. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 4. 在实数范围内分解因式：______． 5. 函数的定义域为______． 6. 已知函数，那么______． 7. 已知正比例函数（是常数，），如果的值随的值增大而减小，那么该正比例函数的图像经过第______象限． 8. 已知点和点在反比例函数图象上，如果，那么______．（填“”、“”、“”） 9. 命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是______． 10. 已知两个定点、距离为5厘米，那么到点、距离之和为5厘米的点的轨迹是______． 11. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有______个球队参赛． 12. 如图，在中，，的角平分线交于点，于点，如果与的周长分别为13和3．那么的长为______． 13. 如图，在中，，是的垂直平分线，，，那么的长为______． 14. 定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是______． 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填在括号内】 15. 在下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B. C. D. 16. 已知正比例函数（是常数，）的图像经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图像上的是（ ） A B. C. D. 17. 布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（ ） A. B. C. D. 18. 如图，在中，，是斜边的中线，是斜边的高，如果恰好是边上的中线，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 如图，在，，平分，于点，点在边上，． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 22. 学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度． 四、解答题（本大题共4小题，第23、24题，每题8分；第25、26题，每题10分；满分36分） 23. 某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度y与时间的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 24. 已知：在中，，．点、在线段上． （1）如图1，如果，求证：． （2）如图2，如果，求证：． 25. 如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点在函数的图像上，且轴． （1）当点横坐标为4时，求直线的表达式； （2）连接，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标； （3）当点是的中点时，在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 26. 如图，在中，，，，点为边的中点，点是边上的动点（点与点不重合），作，交线段于点，连结、、． （1）若，求的长； （2）若，的面积是，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）当沿翻折，点落在点的位置，当是以点为直角顶点的直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期期末八年级数学试卷 （满分：100分，完成时间：90分钟） 2025.01 一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分） 1. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 2. 一元二次方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得， 故答案为：． 3. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的情况，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根，由此即可求解，掌握一元二次方程根于系数的关系，解不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 4. 在实数范围内分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解；利用十字相乘法求解即可． 【详解】 故答案为：． 5. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数的定义域，二次根式和分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，由此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 6. 已知函数，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数值，分母有理化，直接把代入中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 7. 已知正比例函数（是常数，），如果的值随的值增大而减小，那么该正比例函数的图像经过第______象限． 【答案】二、四 【解析】 【分析】根据正比例函数，值随的值增大而减小，得出，进而判断其经过的象限，即可求解． 【详解】解：正比例函数的值随值的增大而减小， ， 该函数图象经过第二、四象限， 故答案为：二、四 8. 已知点和点在反比例函数的图象上，如果，那么______．（填“”、“”、“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴函数图象的两个分支位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 9. 命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 【解析】 【分析】本题考查了命题与逆命题，正确理解原命题与逆命题的关系是解题关键． 根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题解答即可． 【详解】解：命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 10. 已知两个定点、的距离为5厘米，那么到点、距离之和为5厘米的点的轨迹是______． 【答案】线段 【解析】 【分析】本题考查了点的轨迹和三角形的三边关系，设到定点、的距离之和为厘米的点是点，若点不在线段上，易得，若点在线段上，则，由此可得答案． 【详解】解：设到定点、的距离之和为厘米的点是点， 若点在不在线段上，则点在直线外或线段的延长线或线段的延长线上，则由三角形的三边关系或线段的大小关系可得：，即， 若点在线段上，则， 所以到点、的距离之和为厘米的点的轨迹是线段． 故答案为：线段． 11. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有______个球队参赛． 【答案】6 【解析】 【分析】设x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打场球，第二个球队和其他球队打场，以此类推可以知道共打场球，然后根据共15场比赛即可列出方程求解即可． 【详解】解：设x个球队参加比赛， 由题意可得：， 整理得：， 解得：或（不合题意舍去）． 所以有6个球队参加比赛． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，并根据等量关系准确地列出方程是解答本题的关键． 12. 如图，在中，，的角平分线交于点，于点，如果与的周长分别为13和3．那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，先由角平分线的定义和性质得到，，再由三角形周长计算公式得到；接着证明得到，据此根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵的角平分线交于点，，， ∴，， ∵与的周长分别为13和3， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；． 13. 如图，在中，，是的垂直平分线，，，那么的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先由线段垂直平分线的性质得到，再由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理用表示出，据此根据建立方程求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填在括号内】 15. 在下列二次根式中，最简二次根式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽的因数或因式，且开方数不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次函数，符合题意； C、被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 16. 已知正比例函数（是常数，）的图像经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数图象的性质，利用待定系数法求出函数解析式，进而得到该函数图象上的点的横纵坐标之间的关系，据此可得答案． 【详解】解：∵正比例函数（是常数，）的图像经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数解析式为， ∴在正比例函数图象上的点纵坐标为横坐标的两倍， ∴四个选项中只有A选项中的点在正比例函数的图象上， 故选：A． 17. 布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这个长方形垂直于墙的一边长为米，则这个平行于墙的一边长为米，据此根据长方形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 18. 如图，在中，，是斜边的中线，是斜边的高，如果恰好是边上的中线，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得到，即可判断A选项；然后证明出是等边三角形，得到，即可判断B选项；然后利用含角直角三角形的性质即可判断C选项；然后根据勾股定理即可判断D选项． 【详解】解：∵在中，，是斜边的中线， ∴，故A正确； ∵恰好是边上的中线， ∴ ∵是斜边的高， ∴ ∴垂直平分 ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴，故B正确； ∵ ∴ ∴，故C正确； ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴，故D错误． 故选：D． 【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】解： 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 21. 如图，在，，平分，于点，点在边上，． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的关键． （1）证明即可求解； （2）需要先证明，得到，求得，再证明，然后在中，根据勾股定理即可求解； 【小问1详解】 证明：∵，平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得， ∴， 设，， ∴在中，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴； 22. 学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为13米． 【解析】 【分析】设，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，根据题意得： 在中，， 即：， 解得：． 答：旗杆的高度为13米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键． 四、解答题（本大题共4小题，第23、24题，每题8分；第25、26题，每题10分；满分36分） 23. 某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度y与时间的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 【答案】（1）； （2）； （3）小时． 【解析】 【分析】（）根据图象利用待定系数法即可求出函数解析式； （）由（）得，根据图象即可求出恒定温度； （）根据各时间段的函数解析式算出时的值，相减即可； 此题考查了一次函数、反比例函数和常函数解析式，解答时应注意临界点的应用． 【小问1详解】 设直线的函数解析式为：， 根据图象经过点， ∴，解得：， ∴直线 ∴与时间的函数关系式为； 【小问2详解】 由（）得与时间的函数关系式为；， 则当时，， ∴恒定温度为：； 【小问3详解】 设小时内函数解析式为：， 根据图象经过点 ∴，解得：， ∴函数解析式为：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴不低于时间共小时， 即相对有利于水果生长的时间共17.5小时． 24. 已知：在中，，．点、在线段上． （1）如图1，如果，求证：． （2）如图2，如果，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得． 【小问1详解】 证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 25. 如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点在函数的图像上，且轴． （1）当点横坐标为4时，求直线的表达式； （2）连接，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标； （3）当点是的中点时，在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，等角对等边，勾股定理，等腰三角形的定义等等： （1）先求出点P的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）设点G为x轴坐标轴上一点，先求出点B的纵坐标，进而求出点B的坐标，则可求出的长，再证明，得到，据此可得答案； （3）设出点C坐标，利用勾股定理求出，再分， 三种情况，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时， ， ∴， 设直线的表达式为， 把代入中得，解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解；设点G为x轴坐标轴上一点， ∵轴，点的坐标为， ∴点B的纵坐标为4，， 在中，当时，， ∴， ∵； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点A的横坐标为， ∴点A的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点是的中点，点的坐标为， ∴点P的纵坐标为2， 在中，当时，， ∴； 设， ∴，， 当时，则， ∴， ∴点的坐标为或； 当时，则 解得， ∴点C的坐标为； 当时，则， 解得（舍去）或， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或或． 26. 如图，在中，，，，点为边的中点，点是边上的动点（点与点不重合），作，交线段于点，连结、、． （1）若，求的长； （2）若，的面积是，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）当沿翻折，点落在点的位置，当是以点为直角顶点的直角三角形时，求的长． 【答案】（1） （2）关于的函数关系式为，定义域为； （3） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据题意，由勾股定理得出的长，再证明，再根据相似三角形的性质，对应边成比例，即，从而得到等式，求解即可得出答案； （2）作交于点，从而得到的面积，再分别求出其他几个三角形的面积，再进行计算即可得到关于的函数关系式，然后根据题意即可得到函数的定义域； （3）根据沿翻折，从而得到，再根据是以点为直角顶点的直角三角形，得到点的位置，经过运算即可得到，从而证明，最后得到的长． 【小问1详解】 在中， ，，， ， 令， 点是边上的动点，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 的长为； 小问2详解】 由（1）可得，， ，即， ， ，，， ， 如图，作交于点H， ， ， ， ，即， ， 点D是边的中点， ， 即， ， 整理得：， 点E是边上的动点，点与点不重复， ， 关于的函数关系式为，定义域为； 【小问3详解】 ，沿翻折，点B落在点G的位置， 点G在直线上，， ，， 是以点G为直角顶点的直角三角形， ， 若点G落在边的延长线上， 则如图 此时，不满足条件， 点G只能落在线段上， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形，， 点是边的中点， ， ， ，，， ， ， ， ， 的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$