专题05 法拉第电磁感应定律【十五大题型】-【压轴题】2024-2025 学年高中物理同步培优训练（人教版2019 选择性必修第二册）

专题05 法拉第电磁感应定律【十五大题型】 一．法拉第电磁感应定律的内容和表达式（共6小题） 二．导体平动切割磁感线产生的感应电动势（共10小题） 三．导体转动切割磁感线产生的感应电动势（共3小题） 四．根据B-t或者φ-t图像计算感应电动势（共3小题） 五．电磁感应中的其他图像问题（共3小题） 六．线圈进出磁场的动力学问题（共3小题） 七．单杆在导轨上无外力作用下切割磁场的运动问题（共2小题） 八．单杆在导轨上有外力作用下切割磁场的运动问题（共3小题） 九．双杆在等宽导轨上切割磁场的运动问题（共3小题） 十．竖直平面内的导轨滑杆模型（共3小题） 十一．倾斜平面内的导轨滑杆模型（共2小题） 十二．动量定理在电磁感应问题中的应用（共2小题） 十三．电磁感应过程中的动力学类问题（共3小题） 十四．电磁感应过程中的能量类问题（共6小题） 十五．电磁感应过程中的电路类问题（共6小题） 一．法拉第电磁感应定律的内容和表达式（共6小题） 1．如图所示，AB是一根裸导线，单位长度的电阻为R0，一部分弯曲成直径为d的圆圈，圆圈导线相交处导电接触良好。圆圈所在区域有与圆圈平面垂直的均匀磁场，磁感应强度为B0导线一端B点固定，A端在沿BA方向的恒力F作用下向右缓慢移动，从而使圆圈缓慢缩小。设在圆圈缩小过程中始终保持圆的形状，设导体回路是柔软的，此圆圈从初始的直径d到完全消失所需时间t为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设在恒力F的作用下，A端Δt时间内向右移动微小的量Δx，则相应圆半径减小Δr，则有： Δx＝2πΔr 在Δt时间内F做的功等于回路中电功，则有： ΔS可认为由于半径减小微小量Δr而引起的面积的变化，有： ΔS＝2πr•Δr 而回路中的电阻为：R＝R0×2πr 代入得：F•2π•Δr 显然Δt与圆面积变化ΔS成正比，所以由面积π变化为零，所经历的时间t为： t 解得：t 故B正确，ACD错误。 故选：B。 2．（多选）单匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，转轴垂直于磁场．若线圈所围面积里磁通量随时间变化的规律如图所示．则（　　） A．线圈中O时刻感应电动势最小 B．线圈中C时刻感应电动势为零 C．线圈中C时刻感应电动势最大 D．线圈从O至C时间内平均感应电动势为0.4 V 【答案】BD 【解答】解：A、B、C由图知t＝0时刻图象切线斜率最大，则磁通量的变化率为最大，则由法拉第电磁感应定律得知：感应电动势最大，不为零，而在C时刻切线斜率为零，磁通量的变化率为零，则感应电动势为零。故B正确，AC错误； D、根据法拉第电磁感应定律得平均感应电动势，故D正确。 故选：BD。 3．如图所示，固定在匀强磁场中的水平导轨ab、cd的间距为L1＝0.5m，金属棒ad与导轨左端bc的距离为L2＝0.8m，整个闭合回路的电阻为R＝0.2Ω，磁感应强度为B0＝1T的匀强磁场竖直向下穿过整个回路．ad杆通过滑轮和轻绳连接着一个质量为m＝0.04kg的物体，不计一切摩擦，现使磁场以0.2T/s的变化率均匀地增大．取g＝10m/s2．试求： （1）金属棒上电流的方向． （2）感应电动势的大小． （3）物体刚好离开地面的时间． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由楞次定律可以判断，金属棒上的电流由a到d． （2）设感应电动势的大小为E．由法拉第电磁感应定律得：ES …① 代入数据解得：E＝0.08 V （3）设物体刚好离开地面的时间为t．物体刚好离开地面时，其受到的拉力为F，棒所受的安培力为F安．由题意可得： F＝mg…② adz棒受到的安培力 F安＝BIL1…③ F＝F安…④ 其中B＝B0t…⑤ 感应电流 I⑥ 联立①②③④⑤⑥式，代入数据解得：t＝5s 答： （1）金属棒上电流的方向由a到d． （2）感应电动势的大小是0.08V． （3）物体刚好离开地面的时间是5s． 4．n＝100匝的圆形线圈，处在如图所示的磁场内（线圈右边的电路中没有磁场），磁场均匀增大，线圈磁通量的变化率0.004Wb/s，线圈电阻r＝1Ω，R＝3Ω，求： （1）线圈产生的感应电动势大小． （2）R两端的电压和R中的电流方向． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）线圈磁通量的变化率0.004 Wb/s，根据法拉第电磁感应定律，有： E＝n100×0.004 Wb/s＝0.4V （2）磁通量增加，根据楞次定律，增反减同，故感应电流的磁场也向外，故感应电流为逆时针，故R中电流方向向上； 根据闭合电路欧姆定律，电流：I 根据欧姆定律，电阻R的电压为：U＝IR＝0.1×3＝0.3V 答：（1）线圈产生的感应电动势大小为0.4V； （2）R两端的电压为0.3V，R中的电流方向向上． 5．如图，匀强磁场的磁感应强度方向垂直于纸面向里，大小随时间的变化率k，k为正的常量．用电阻率为ρ、横截面积为S的硬导线做成一边长为l的方框．将方框固定于纸面内，其右半部位于磁场区域中．求： （1）导线中感应电流的大小； （2）磁场对方框作用力的大小随时间的变化率． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）感应电动势：ESkl2， 线框电阻：R＝ρ， 电流：I； （2）磁场对方框作用力的大小F＝BIl，B＝B0+kt， 则：F，； 答：（1）导线中感应电流的大小； （2）磁场对方框作用力的大小随时间的变化率为． 6．如图1所示，一个圆形线圈的匝数n＝1000，线圈面积S＝200cm2，线圈的电阻r＝1Ω，线圈外接一个阻值R＝4Ω的电阻，把线圈放入一方向垂直线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度随时间变化规律如图2所示；求： （1）前4s内的感应电动势 （2）前5s内的感应电动势． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据B﹣t图中同一条直线，磁感应强度的变化率是相同的，则磁通量的变化率也是相同的，所以产生的感应电动势为定值，前4s内磁通量的变化为： Δφ＝φ2﹣φ1＝S（B2﹣B1）＝200×10﹣4×（0.4﹣0.2）Wb＝4×10﹣3Wb 由法拉第电磁感应定律得：E＝nS＝1000V＝1V； （2）前5s内磁通量的变化量：Δφ′＝φ′2﹣φ′1＝S（B2′﹣B1）＝200×10﹣4×（0.2﹣0.2）Wb＝0 由法拉第电磁感应定律得：E′＝n0 答：（1）前4s内的感应电动势为1V． （2）前5s内的感应电动势为0． 二．导体平动切割磁感线产生的感应电动势（共10小题） 7．如图，水平面内两导轨间距1m，处于磁感应强度B＝1T的匀强磁场中，导轨的左端接有电阻R＝3Ω、长1m的导体棒PQ垂直导轨，以4m/s的速度向右匀速滑动，导体棒电阻为1Ω，导轨的电阻忽略不计。则下列说法正确的是（　　） A．P点的电势高于Q点，PQ两点电势差的大小为4V B．P点的电势高于Q点，PQ两点电势差的大小为3V C．Q点的电势高于P点，PQ两点电势差的大小为4V D．Q点的电势高于P点，PQ两点电势差的大小为3V 【答案】B 【解答】解：切割磁感线的导体棒相当于电源，导体棒PQ为电源，由右手定则可知PQ棒中感应电流方向Q→P，电源内部电流由低电势流向高电势，故P点电势高于Q点 由E＝BLv得PQ棒产生的感应电动势为E＝BLv＝1×1×4V＝4V P、Q两点的电势差等于路端电压，由闭合电路欧姆定律得P、Q两点的电势差大小为，故B正确，ACD错误。 故选：B。 8．（多选）如图所示，在竖直平面内有一直角坐标系xOy，第一象限内存在方向垂直坐标平面向外的磁场，磁感应强度大小沿y轴方向不变，沿x轴正方向按照B＝kx的规律变化。一质量m＝0.4kg、电阻R＝0.1Ω、边长L＝0.2m的正方形导线框abcd在t＝0时刻ac边正好与y轴重合，a点与坐标原点O的距离y0＝0.8m，此时将导线框以v0＝5m/s的速度沿与x轴正方向成53°抛出，导线框运动一段时间后速度恰好减为0，整个运动过程导线框不转动，空气对导线框的阻力忽略不计，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin53°＝0.8、cos53°＝0.6，下列说法正确的是（　　） A．ad、bc边受到的安培力大小相等，方向相反 B．当导线框速度为0时，a点的纵坐标为1.6m C．在从抛出到速度为0的过程中，导线框产生的焦耳热为1.2J D．t＝0.5s时导线框的速度大小为1m/s 【答案】BD 【解答】解：A、导线框在运动过程中磁通量增加，由楞次定律可知产生顺时针的感应电流，bc边所处的磁场的磁感应强度总是大于ab边所处的磁场的磁感应强度，因两边流过的感应电流大小相等，方向相反，由F＝BIL和左手定则可知，ad边受到向右的安培力小于bc边受到向左的安培力，故A错误； B、因ab、cd边所处的磁场的磁感应强度情况相同，故此两边受到的安培力等大反向，那么导线框受到的安培力水平向左，则导线框在竖直方向只受重力而做竖直上抛运动，水平方向做减速直线运动。 当速度为0时，导线框上升的高度为：h，代入数据解得：h＝0.8m， a点的纵坐标为：y＝h+y0＝0.8m+0.8m＝1.6m，故B正确； C、由功能关系可知，导线框产生的焦耳热等于其克服安培力做的功（设为W安），即：Q＝W安 对导线框由初始到后速度减为0的过程，由动能定理得： ﹣mgh﹣W安＝0 代入数据解得：W安＝1.8J，故此过程中，导线框产生的焦耳热为1.8J，故C错误； D、当速度为0时，导线框已经运动的时间为：，代入数据解得：t0＝0.4s t0时间之后回路中没有感应电流，导线框只受重力作用而做自由落体运动， 则t＝0.5s时速度大小为：v＝g（t﹣t0）， 代入数据解得：v＝1m/s，故D正确。 故选：BD。 9．（多选）如图，光滑平行金属导轨由左右两侧倾斜轨道与中间水平轨道平滑连接而成，导轨间距为L。在左侧倾斜轨道上端连接有阻值为R的定值电阻。水平轨道间有宽均为d的两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，磁感应强度分别为B和2B，方向相反；质量为m、长度为L、电阻为R的金属棒ab由左侧倾斜轨道上h高处静止释放，金属棒第二次从左侧进入磁场Ⅰ区后，最终恰停在两磁场区分界线处。不计金属导轨电阻，金属棒通过倾斜轨道与水平轨道交界处无机械能损失，重力加速度为g（　　） A．金属棒第一次穿过磁场区域Ⅰ、Ⅱ的过程中，定值电阻上产生的焦耳热之比为1：4 B．金属棒第一次穿过磁场区域Ⅰ、Ⅱ的过程中，金属杆动量的变化量之比为1：4 C．金属棒先后两次穿过磁场区域Ⅱ的过程中，金属杆动能的变化量之比为2：1 D．金属棒第二次通过两磁场分界线时的速度为 【答案】BC 【解答】解：B、金属棒ab每次通过区域Ⅰ的过程，通过它的电荷量为： q1•t1 同理，每次通过区域Ⅱ的过程，通过它的电荷量为： q2•t2 根据动量定理可得，金属棒ab每次通过区域Ⅰ的过程动量的变化量的大小为： Δp1＝BL•t1＝BLq1 同理，每次通过区域Ⅱ的过程动量的变化量的大小为： Δp2＝BL•t2＝2BLq2 故金属棒第一次穿过磁场区域Ⅰ、Ⅱ的过程中，金属杆动量的变化量之比： Δp1：Δp2＝1：4，故B正确； A、由Δp＝mΔv可得：金属棒每次穿过区域Ⅰ、Ⅱ的过程，其速度减小量ΔvⅠ、ΔvⅡ之比为： 由A选项的分析，可知金属棒ab每次通过区域Ⅰ或者区域Ⅱ的过程，其动量减小量相等，速度减小量也相等。设金属棒ab第一次达到斜面底端的速度大小为v，由静止释放到最终恰停下来，3次通过区域Ⅰ，2次通过区域Ⅱ，则有： v＝3ΔvⅠ+2ΔvⅡ 联立解得：ΔvⅠ，ΔvⅡ 金属棒第一次穿过磁场区域Ⅰ的过程中，根据能量守恒，可得回路中产生的总焦耳热为： Q1mv2m（v﹣ΔvⅠ）2mv2 同理金属棒第一次穿过磁场区域Ⅱ的过程中，回路中产生的总焦耳热为： Q2m（v﹣ΔvⅠ）2m（v﹣ΔvⅠ﹣ΔvⅡ）2mv2 因金属棒ab的电阻与定值电阻的电阻相等均为R，故金属棒第一次穿过磁场区域Ⅰ、Ⅱ的过程中，定值电阻上产生的焦耳热之比为： Q1：Q2＝21：64，故A错误； C、根据能量守恒可知，金属棒第一次穿过区域Ⅱ的过程中，金属杆动能的减小量ΔEk1等于此过程回路中产生的总焦耳热，即ΔEk1＝Q2mv2 金属棒第二次穿过区域Ⅱ的过程中，金属杆动能的减小量为： ΔEk2m（v﹣ΔvⅠ﹣ΔvⅡ）2m（v﹣ΔvⅠ﹣2ΔvⅡ）2mv2 故金属棒先后两次穿过磁场区域Ⅱ的过程中，金属杆动能的变化量之比为： ΔEk1：ΔEk2＝2：1，故C正确； D、金属棒ab第一次达到斜面底端的过程，由动能定理得： mghmv2 解得：v 金属棒从静止到第二次通过两磁场分界线的过程，1次通过区域Ⅰ，2次通过区域Ⅱ，则第二次通过两磁场分界线时的速度为： v′＝v﹣ΔvⅠ﹣2ΔvⅡ，故D错误。 故选：BC。 10．（多选）如图，直角形金属杆aOb两臂等长，MPN是圆心位于O点的固定半圆环，半圆环由粗细相同的同种金属材料制成，P是半圆环的中间点，金属杆可绕O点在半圆环所在平面内转动，杆与半圆环始终保持接触良好。在半圆环内以OP为直径的圆形虚线区域内存在垂直于半圆环平面的磁场，现使金属杆从MOP位置开始绕O点以不变的角速度顺时针转过90°，下列磁场分布能使转动过程中回路里感应电流的功率保持不变的是（圆形虚线区域内划分的不同小区域内均为磁感应强度大小相等的匀强磁场）（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解答】解：金属杆转动过程中回路的总电阻保持不变，要使回路里感应电流的功率保持不变，由P＝I2R可知，感应电流需要保持不变，再由闭合电路欧姆定律可知，需要保持金属杆转动过程切割磁感应产生的总的电动势保持不变。 直导体棒绕其一端的端点以不变的角速度转动切割磁感线时，产生的感应电动势为：E＝BL，其中L为导体棒切割磁感线的有效长度。 A设金属杆转动的角度为θ，在转动过程中Oa臂的有效切割长度La逐渐增加，而Ob臂的有效切割长度Lb逐渐减小，如图1所示，两臂产生的感应电动势方向相反，总电动势为：E，在θ增大到45°过程，E逐渐减小；θ＝45°时，La＝Lb，则E＝0；θ大于45°之后E又逐渐增加，故A不符题意； B、如图2所示，Oa臂的有效切割长度La＝OPsinθ，Ob臂的有效切割长度Lb＝OPcosθ， 两臂产生的感应电动势方向总是相同的，总电动势为：E，可知E恒定，故B符合题意； C、在θ增大到45°过程，E的变化与A选项相同，只不过感应电流方向相反，故C不符题意； D、在θ＝45°时金属杆aOb两臂恰好与圆形内的磁场边界重合，由B项的分析可知，全过程E恒定，只是在θ＝45°时感应电流方向改变了，故D符合题意。 故选：BD。 11．（多选）如图甲所示，间距为L的光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，轨道左侧连接一定值电阻R．垂直导轨的导体棒ab在水平外力F作用下沿导轨运动，F随t变化的规律如乙图所示。在0～t0时间内，棒从静止开始做匀加速直线运动。t0，F1，F2均为已知量，棒和轨道电阻不计。则（　　） A．在t0以后，导体棒一直做匀加速直线运动 B．在t0以后，导体棒先做加速直线运动，最后做匀速直线运动 C．在0～t0时间内，通过导体棒横截面的电量为 D．在0～t0时间内，导体棒的加速度大小为 【答案】BCD 【解答】解：AB、在0～t0时间内导体棒做匀加速直线运动，在t0时刻F2大于导体棒所受的安培力，所以导体棒继续做加速运动，在t0时刻以后，外力F保持不变，安培力逐渐变大，导体棒的合力逐渐减小，加速度逐渐减小，所以导体棒做加速度逐渐减小的变加速运动，当加速度减为零时，导体棒做匀速直线运动，故A错误，B正确； D、在0～t0时间内，设导体棒的速度为v时加速度为a，导体棒的质量为m，根据牛顿第二定律得 F﹣F安＝ma 而导体棒受到的安培力大小F安＝BIL＝BL• 联立解得F＝ma 当t＝0时，v＝0，则有：F1＝ma 当t＝t0时，有F2＝ma 可得a，故D正确； C、t＝t2时刻，导体棒的速度为v＝at0 通过导体棒横截面的电量为q•ΔtΔt 又磁通量变化量为ΔΦ＝BΔS＝BL•，故C正确。 故选：BCD。 12．如图所示，两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为θ的绝缘斜面上，导轨上端连接一个定值电阻．导体棒a和b放在导轨上，与导轨垂直并良好接触．斜面上水平虚线PQ以下区域内，存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场．现对a棒施以平行导轨斜向上的拉力，使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨下端的b棒恰好静止．当a棒运动到磁场的上边界PQ处时，撤去拉力，a棒将继续沿导轨向上运动一小段距离后再向下滑动，此时b棒已滑离导轨．当a棒再次滑回到磁场边界PQ处时，又恰能沿导轨匀速向下运动．已知a棒、b棒和定值电阻的阻值均为R，b棒的质量为m，重力加速度为g，导轨电阻不计．求 （1）a棒在磁场中沿导轨向上运动的过程中，a棒中的电流强度I，与定值电阻R中的电流强度IR之比； （2）a棒质量ma； （3）a棒在磁场中沿导轨向上运动时所受的拉力F． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）a棒在磁场中沿导轨向上运动的过程中，a棒为电源，a、b棒和电阻R是等值电阻，则有： （2）b棒保持静止，则mbg sinθ＝BIbL Ib① Ia＝2Ib…② a棒脱离磁场后机械能守恒，返回磁场时速度与离开时速度相等，为v，返回进入磁场时匀速下降，则有： mag sinθ 则有：v③ A棒匀速上升时切割磁感线，有： Ia④ 由①﹣﹣﹣④得：mam （3）由上有：Ia＝2Ib Ib 由a棒的平衡条件得：F＝magsinθ+BIaL 解得：Fmgsinθ． 答：（1）a棒在磁场中沿导轨向上运动的过程中，a棒中的电流强度I与定值电阻R中的电流强度IR之比为2：1； （2）a棒质量ma是m； （3）a棒在磁场中沿导轨向上运动时所受的拉力F是mgsinθ． 13．如图所示，光滑的平行水平金属导轨MN、PQ相距L，在M点和P点间连接一个阻值为R的电阻，在两导轨间cdfe矩形区域内有垂直导轨平面竖直向上、宽为d的匀强磁场，磁感应强度为B、一质量为m、电阻为r、长度也刚好为L的导体棒ab垂直置于导轨上，与磁场左边界相距d0．现用一个水平向右的力F拉棒ab，使它由静止开始运动，棒ab离开磁场前已做匀速直线运动，棒ab与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，F随ab与初始位置的距离x变化的情况如图（乙）所示，F0已知．求： （1）棒ab离开磁场右边界时的速度； （2）棒ab通过磁场区域的过程中整个回路所消耗的电能． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设离开右边界时棒ab速度为υ，则有 ε＝BIυ① ② 对棒有：2F0﹣BIl＝0③ 解得：④ （2）在ab棒运动的整个过程中，根据动能定理： ⑤ 由功能关系：E电＝W安⑥ 解得： 答：（1）棒ab离开磁场右边界时的速度为； （2）棒ab通过磁场区域的过程中整个回路所消耗的电能为． 14．相距L＝1.5m的足够长金属导轨竖直放置，质量为m1＝1kg的金属棒ab和质量为m2＝0.27kg的金属棒cd均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图（a）所示，虚线上方磁场方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同．ab棒光滑，cd棒与导轨间动摩擦因数为μ＝0.75，两棒总电阻为1.8Ω，导轨电阻不计．t＝0时刻起，ab棒在方向竖直向上、大小按图（b）所示规律变化的外力F作用下，由静止沿导轨向上匀加速运动，同时也由静止释放cd棒．g取10m/s2 （1）求磁感应强度B的大小和ab棒加速度大小； （2）已知在2s内外力F做功40J，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热； （3）求出cd棒达到最大速度所对应的时刻t1． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）经过时间t，金属棒ab的速率为：v＝at 此时，回路中的感应电流为：I， 对金属棒ab，由牛顿第二定律得：F﹣BIL﹣m1g＝m1a 由以上各式整理得：F＝m1a+m1g，在图线上取两点：t1＝0，F1＝11N；t2＝2s，F2＝14.6N， 代入上式得：a＝1m/s2，B＝1.2T； （2）在2s末金属棒ab的速率为：vt＝at＝2m/s 所发生的位移为：sat2＝2m 由动能定理得：WF﹣m1gs﹣W安m1 又Q＝W安 联立以上方程，解得：Q＝WF﹣mgs（40﹣1×10×21×22）J＝18J； （3）由题意可知：cd棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；然后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动． 当cd棒速度达到最大时，有m2g＝μFN， 又FN＝FA＝BIL， 根据闭合电路的欧姆定律可得电流强度I， 根据运动学公式可得：vm＝at1 整理得t1＝2s． 答：（1）磁感应强度B的大小为1.2T；ab棒加速度大小为1m/s2； （2）已知在2s内外力F做功40J，则这一过程中两金属棒产生的总焦耳热为18J； （3）cd棒达到最大速度所对应的时刻为2s． 15．光滑的水平长直轨道放在匀强磁场B＝0.25T中，轨道宽0.4m，一导体棒长也为0.4m，质量0.1kg，电阻r＝0.05Ω，它与导轨接触良好。当开关与a接通时，电源可提供恒定的1A电流，电流方向可根据需要进行改变，开关与b接通时，电阻R＝0.05Ω，若开关的切换与电流的换向均可在瞬间完成，求： ①当棒中电流由M流向N时，棒的加速度的大小和方向是怎样的； ②当开关始终接a，要想在最短时间内使棒向左移动4m而静止，则棒的最大速度是多少； ③要想棒在最短时间内向左移动7m而静止，则棒中产生的焦耳热是多少？ 【答案】①当棒中电流由M流向N时，棒的加速度的大小为1m/s2，方向水平向右； ②当开关始终接a，要想在最短时间内使棒向左移动4m而静止，则棒的最大速度是2m/s； ③要想棒在最短时间内向左移动7m而静止，则棒中产生的焦耳热是0.4J。 【解答】解：①当棒中电流由M流向N时，根据左手定则可知安培力方向向右，则加速度方向向右； 根据牛顿第二定律可得棒的加速度的大小为： am/s2＝1m/s2； ②当开关始终接a，要想在最短时间内使棒向左移动4m而静止，则棒先向左做匀加速直线运动、再向左做匀减速直线运动，且加速度大小不变、只是方向改变。根据对称性可知加速过程中的位移大小为x＝2m。 根据速度—位移关系可得：v2＝2ax 代入数据解得：v＝2m/s； ③由①的结论可知，当开关接a由电源提供恒定电流时，导体棒的加速度的大小恒为a＝1m/s2。 当导体棒具有一定的速度时，开关接b由导体棒切割磁感线产生感应电动势，进而产生感应电流，导体棒受到与运动方向相反的安培力而做加速度减小的减速运动，设此过程的加速度大小等于a＝1m/s2时，导体棒的速度大小为v2，则有： B••L＝ma 解得：v2＝1m/s 可得在减速阶段当速度大于v2时，开关接到b时，其减速的加速度大于开关接到a时的加速度，可缩短减速的时间。为满足题目要求，开关先接a使导体棒匀加速运动一段时间t1，速度大小达到v1（v1＞v2）后，开关换接到b一段时间t2，使速度减小到v2后，开关再换接到a一段时间t3，使导体棒一直匀减速到零时，开关接到b使导体棒处于静止状态。 在第三段时间t3内，根据速度—时间公式可得： v2＝at3 根据位移—时间公式可得： 解得：t3＝1s，x3＝0.5m 第一段时间t1内，根据速度—时间公式可得： v1＝at1 根据位移—速度公式可得： x1 在第二段时间t2内，选择向右的方向为正方向，则由动量定理可得： 根据法拉第电磁感应定律，及电流的定义式，可得： 整理得：mv1﹣mv2 已知：x1+x2+x3＝7m，可得：x1+x2＝6.5m 联立代入数据得：2v1﹣15＝0 解得：v1＝3m/s（另一解为负值舍去） 进而可得：t1＝3s，x1＝4.5m，x2＝2m 根据焦耳定律和能量守恒可得三个阶段在导体棒中产生的焦耳热分别为： Q1＝I2rt1 Q3＝I2rt3 故Q总＝Q1+Q2+Q3 代入数据联立解得：Q总＝0.4J 答：①当棒中电流由M流向N时，棒的加速度的大小为1m/s2，方向水平向右； ②当开关始终接a，要想在最短时间内使棒向左移动4m而静止，则棒的最大速度是2m/s； ③要想棒在最短时间内向左移动7m而静止，则棒中产生的焦耳热是0.4J。 16．如图所示，两条间距为L、电阻不计的光滑平行金属导轨，固定在水平绝缘平台上。左侧圆弧部分处于竖直面内，右侧平直导轨端点与平台边缘对齐且水平导轨处于竖直向上磁感应强度大小为B的匀强磁场中。将金属棒ab、cd垂直于导轨放置，ab在外力作用下静止于圆弧轨道上距平台高度为h处，cd放在距轨道右端距离为x0的水平轨道上保持静止。将ab由静止释放，一段时间后两棒分别脱离轨道，且从脱离轨道至落地两棒沿水平方向的位移之比为s1：s2＝2：5。两棒未发生碰撞，导体棒ab、cd，质量分别为2m、m，有效电阻均为R，重力加速度为g，忽略空气阻力。求： （1）导体棒ab脱离轨道时速度的大小； （2）导体棒cd在轨道上运动的最小加速度； （3）导体棒cd在导轨上运动的时间。 【答案】（1）导体棒ab脱离轨道时速度的大小为 （2）导体棒cd在轨道上运动的最小加速度为 （3）导体棒cd在导轨上运动的时间为 【解答】解：ab从圆弧上下滑至水平轨道的过程中，对ab由动能定理得：2mgh2mv2，解得：v 脱离轨道至落地两棒沿水平方向的位移之比为s1：s2＝2：5，据此可知两棒在脱离轨道时还没有共速，cd脱离轨道后做平抛运动，然后ab做匀速运动， 直到离开轨道，所以设ab离开轨道速度为v2，cd离开轨道时速度为v1，则 由动量守恒定律得：2mv＝2mv2+mv1，联立解得：v1，v2 （2）cd棒加速，ab棒减速，两棒均切割磁感线产生电动势，回路中的总电动势为两棒产生的感应电动势之差，因此当cd棒将要离开轨道时， 回路中总的感应电动势最小，cd棒的加速度最小，E＝BL（v2﹣v1） I，BIL＝ma，解得a （3）两棒组成的系统动量守恒，选向右为正方向，2mΔv2＝mΔv1，随时间积累，可得2x1＝x2如图所示 x2＝x0，设cd棒在轨道上的运动时间为t，则：Δx＝v0t0﹣（x1+x2）解得：Δx 由q得，q 对cd由动量定理得∑BiLt＝mv1，解得qBL＝mv1 联立解得：t 答：（1）导体棒ab脱离轨道时速度的大小为 （2）导体棒cd在轨道上运动的最小加速度为 （3）导体棒cd在导轨上运动的时间为 三．导体转动切割磁感线产生的感应电动势（共3小题） 17．（多选）如图所示是法拉第做成的世界上第一台发电机模型的原理图．将铜盘放在磁场中，让磁感线垂直穿过铜盘；图中a、b导线与铜盘的中轴线处在同一竖直平面内；转动铜盘，就可以使闭合电路获得电流．若图中铜盘半径为L，匀强磁场的磁感应强度为B，回路总电阻为R，从上往下看逆时针匀速转动铜盘的角速度为ω．则下列说法正确的是（　　） A．回路中有大小和方向周期性变化的电流 B．回路中电流大小恒定，且等于 C．回路中电流方向不变，且从b导线流进灯泡，再从a导线流向旋转的铜盘 D．若将匀强磁场改为仍然垂直穿过铜盘的按正弦规律变化的磁场，不转动铜盘，灯泡中不会有电流流过 【答案】BCD 【解答】解：AC、把铜盘看作若干条由中心指向边缘的铜棒组合而成，当铜盘转动时，每根金属棒都在切割磁感线，相当于电源，由右手定则知，中心为电源正极，盘边缘为负极，若干个相同的电源并联对外供电，电流方向由b经灯泡再从a流向铜盘，方向不变，故A错误，C正确。 B、回路中感应电动势为：E＝BL，所以电流为：I，故B正确。 D、当铜盘不动，磁场按正弦规律变化时，铜盘中形成涡流，该电流仅在铜盘中产生，没有电流通过灯泡，故D正确。 故选：BCD。 18．如图所示，OAC的半径为l、圆心角为120°的扇形金属框，O点为圆心，OA边与OC边电阻不计；圆弧AC单位长度的电阻相等，总阻值为4r．长度也为l、电阻为r的金属杆OD绕O点从OA位置以角速度ω顺时针匀速转动，整个过程中金属杆两端与金属框接触良好。求： （1）金属杆CD转过60°时它两端的电势差UOD； （2）金属杆OD转过120°过程中，金属杆OD中的电流I与转过的角度θ的关系式。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设金属杆OD旋转切割磁感线产生的感应电动势为E， 感应电动势：E＝BlBl2ω…① 金属杆OD转过60°时，该结构的等效电路图如图所示， 由题意可知：RAD＝RDC＝2r…② 由串并联电路的规律可知： 电路外电阻R③ 由电路欧姆定律得：UODE…④， 由①～④式可得：UODBl2ω； （2）设金属杆OD转过θ时，由题意可知：RADr…⑤ RDC＝（4）r…⑥ 由闭合电路欧姆定律得：I⑦ 由①③式及⑤～⑦式可得：I （0≤θ）； 答：（1）金属杆CD转过60°时它两端的电势差为Bl2ω； （2）金属杆OD转过120°过程中，金属杆OD中的电流I与转过的角度θ的关系式为 （0≤θ）。 19．如图甲所示，半径为r的金属圆环水平放置，三条电阻均为R的导体棒Oa、Ob、Oc互成120°角连接在圆心O和圆环上，圆环绕经过圆心O的竖直金属转轴以大小为ω的角速度按图中箭头方向匀速转动。一方向竖直向下的匀强磁场区与圆环所在平面相交，相交区域为如图虚线的菱形（顶角为60°的那个顶点位于O处、其它三个顶点在圆环外）．C为水平放置的平行板电容器，通过固定的电刷P和Q连接在圆环和金属转轴上，电容器极板长为L，两极板的间距为d．现使一细电子束沿两板间的中线以大小为vO（vO）的初速度连续不断地射入电容器C。 （1）设磁感应强度为B，以导体棒Ob开始进入磁场为计时起点。请在乙图坐标系中画出电刷P和Q间电压U与时间t的关系图象（至少画出圆环转动一周的图象） （2）已知电子电荷量为e，质量为m．忽略圆环的电阻、电容器的充放电时间及电子所受重力和阻力。欲使射入的电子全部都能通过电容器C，则匀强磁场的磁感应强度B的大小应满足什么条件？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小为 Eω 通过此棒的电流为 I 棒两端的电压为 U＝I 联立以上三式得 UBωr2 圆环转动的周期为 T 则电刷P和Q间电压U与时间t的关系图象如图所示。 （2）电子在平行板电容器中运动的时间 t 所以，当电子开始进入平行板电容器中时，某一导体棒也开始进入磁场，这个电子在平行板电容器中运动的第一个和第三个时间内竖直方向受到电场力而做匀加速运动；第二个时间内竖直方向不受电场力而做匀速运动，这个电子在竖直方向上的位移最大。用y表示竖直位移 第一个时间内 第二个时间内 y2＝2y1 第三个时间内 y3＝3y1 竖直方向上的最大位移 y＝y1+y2+y3 要使射入的电子全部都能通过电容器C，必须满足y 解得 B 答： （1）电刷P和Q间电压U与时间t的关系图象如图所示。 （2）匀强磁场的磁感应强度B的大小应满足的条件是：B。 四．根据B-t或者φ-t图像计算感应电动势（共3小题） 20．如图甲所示，单匝正方形线框abcd的电阻R＝0.5Ω，边长L＝20cm，匀强磁场垂直于线框平面，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。求： （1）0～2s内通过ab边横截面的电荷量q； （2）3s时ab边所受安培力的大小F； （3）0～4s内线框中产生的焦耳热Q。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由法拉第电磁感应定律得 电动势 感应电流 电量q＝IΔt 解得q＝4.8×10﹣2C； （2）安培力F＝BIL 由图得 3s时的B＝0.3T 代入数值得 F＝1.44×10﹣3N； （3）由焦耳定律得Q＝I2RtJ 代入数值得 Q＝1.152×10﹣3J； 答：（1）0～2s内通过ab边横截面的电荷量4.8×10﹣2C； （2）3s时ab边所受安培力的大小1.44×10﹣3N； （3）0～4s内线框中产生的焦耳热1.152×10﹣3J。 21．在如图甲所示的电路中，螺线管匝数n＝1500匝，横截面积S＝20cm2．螺线管导线电阻r＝1.0Ω，R1＝4.0Ω，R2＝5.0Ω，C＝30μF．在一段时间内，穿过螺线管的磁场的磁感应强度B按如图乙所示的规律变化．求： ①求螺线管中产生的感应电动势； ②闭合S，电路中的电流稳定后，求通过电阻R1的电流的大小； ③闭合S后一段时间又断开，求S断开后通过R2的电量． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据法拉第电磁感应律有： En•s• 解得：E＝1500×20×10﹣4V＝1.2V （2）根据全电路欧姆定律：IA＝0.12A； （3）S断开后，流经R2的电量即为S闭合时C板上所带的电量Q电容器两端的电压为： U＝IR2＝0.12×5＝0.6V 流经R2的电量我：Q＝CU＝1.8×10﹣5C 答：（1）螺线管中产生的感应电动势1.2V； （2）闭合S，电路中的电流稳定后，通过电阻R1的电流的大小0.12A； （3）S断开后，流经R2的电量1.8×10﹣5C． 22．如图（a）所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1连接成闭合回路，线圈的半径为r1，在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图（b）所示，图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0导线的电阻不计，求0至t1时间内 （1）通过电阻R1上的电流大小和方向； （2）通过电阻R1上的电量q及电阻R1上产生的热量。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图象分析可知，0至t1时间内 由法拉第电磁感应定律有E＝nns 而S 由闭合电路欧姆定律有 联立以上各式解得 通过电阻R1上的电流大小为 I1 由楞次定律可判断通过电阻R1上的电流方向为从b到a。 （2）通过电阻R1上的电量q＝I1t1 通过电阻R1上产生的热量为 Q 答：（1）通过电阻R1上的电流大小为，方向为从b到a； （2）通过电阻R1上的电量q，电阻R1上产生的热量为。 五．电磁感应中的其他图像问题（共3小题） 23．如图（a）所示，间距为l、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上。在区域I内有方向垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度恒为B不变；在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度Bt的大小随时间t变化的规律如图（b）所示。t＝0时刻在轨道上端的金属细棒ab从如图位置由静止开始沿导轨下滑，同时下端的另一金属细棒cd在位于区域I内的导轨上也由静止释放。在ab棒运动到区域Ⅱ的下边界EF之前，cd棒始终静止不动，两棒均与导轨接触良好。 已知cd棒的质量为m、电阻为R，ab棒的质量、阻值均未知，区域Ⅱ沿斜面的长度为l，在t＝tx时刻（tx未知）ab棒恰好进入区域Ⅱ，重力加速度为g。求： （1）区域I内磁场的方向； （2）通过cd棒中的电流大小和方向； （3）ab棒开始下滑的位置离区域Ⅱ上边界的距离； （4）ab棒开始下滑至EF的过程中，回路中产生总的热量。（结果用B、l、θ、m、R、g表示） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由楞次定律可知，流过cd的电流方向为从d到c，cd所受安培力沿导轨向上，故由左手定则可知，I内磁场垂直于斜面向上。 故区域I内磁场的方向垂直于斜面向上。 （2）cd棒平衡，所以有：BIl＝mgsinθ 故解得：I，电流方向d→c。 故通过cd棒中的电流大小I，电流方向d→c。 （3）前、后回路感应电动势不变，Blvx，即有：Blvx， 解得：l＝vxtx ab棒进入区域Ⅱ之前不受磁场力的作用，做匀加速直线运动， S1（0+v）tx＝0.5l 故ab棒开始下滑的位置离区域Ⅱ上边界的距离为0.5l。 （4）ab棒进入区域Ⅱ后做匀速直线运动，t2＝tx，总时间： t总＝tx+t2＝2tx 电动势：E＝Blvx不变 总热量：Q＝EIt总＝2mgvxtxsinθ＝2mglsinθ 故回路中产生总的热量为：Q＝2mglsinθ。 24．如图所示，MN、PQ为足够长的光滑平行导轨，间距L＝0.5m。导轨平面与水平面间的夹角θ＝30°．NQ⊥MN，NQ间连接有一个R＝3Ω的电阻。有一匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B0＝1T．将一根质量为m＝0.02kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好，金属棒的电阻r＝2Ω，其余部分电阻不计。现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行。当金属棒滑行至cd处时速度大小开始保持不变，cd距离NQ为s＝0.5m，g＝10m/s2。 （1）求金属棒达到稳定时的速度是多大。 （2）金属棒从静止开始到稳定速度的过程中，电阻R上产生的热量是多少？ （3）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t＝0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，则t＝1s时磁感应强度应为多大？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在达到稳定速度前，金属棒的加速度逐渐减小，速度逐渐增大，达到稳定速度时，有：mgsinθ＝FA， 其中：FA＝BIL，I， 根据切割公式，有：E＝BLv， 由以上四式代入数据解得：v＝2 m/s； （2）根据能量关系有mgs•sinθmv2+Q， 电阻R上产生的热量QRQ， 解得：QR＝0.006 J。 （3）当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流，此时金属棒将沿导轨做匀加速运动，根据牛顿第二定律，有： mgsinθ＝ma， 根据位移时间关系公式，有：x＝vtat2， 设t时刻磁感应强度为B，总磁通量不变，有： BLs＝B'L（s+x）， 当t＝1 s时，代入数据解得，此时磁感应强度： B'＝0.1T； 答：（1）求金属棒达到稳定时的速度是2 m/s； （2）金属棒从静止开始到稳定速度的过程中，电阻R上产生的热量是0.006 J； （3）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t＝0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，则t＝1s时磁感应强度应为0.1T。 25．一个圆形线圈，共有n＝10匝，其总电阻r＝4.0Ω．线圈与阻值R0＝16Ω的外电阻连成闭合回路，如图甲所示．线圈内部存在着一个边长l＝0.20m的正方形区域，其中有分布均匀但强弱随时间变化的磁场，图乙显示了一个周期内磁场的变化情况，周期T＝1.0×10﹣2s，磁场方向以垂直线圈平面向外为正方向．求： （1）t时刻，电阻R0上的电流大小和方向； （2）0～时间内，流过电阻R0的电量； （3）一个周期内电阻R0的发热量． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）0～内，感应电动势大小：，可得E1＝8V； 电流大小：，可得I1＝0.4A； 根据楞次定律可知电流方向b到a； （2）同（1）可得～内，感应电流大小I2＝0.2A， 流过电路的电量：， 代入数据解得q＝1.5×10﹣3C； （3），代入数据得Q＝1.6×10﹣2J； 答：（1）t时刻，电阻R0上的电流大小为0.4A，方向为b到a； （2）0～时间内，流过电阻R0的电量为1.5×10﹣3C； （3）一个周期内电阻R0的发热量为1.6×10﹣2J． 六．线圈进出磁场的动力学问题（共3小题） 26．有一匀强磁场区域，区域的上下边界MM′、NN′与水平面平行，磁场的磁感应强度为B，方向如图所示，磁场上下边界的距离为H．一矩形线圈abcd位于竖直平面内，其质量为m，电阻为R，ab边长L1，bd边长L2，且L2＜H．现令线框从离磁场区域上边界MM′的距离为h处自由下落，当cd边已进入磁场，ab边还未进入磁场的某一时刻，线框的速度已到达其完全进入磁场前的最大值，线框下落过程中cd边始终与磁场边界平行。试求： （1）线框完全进入磁场前速度的最大值； （2）从线框开始下落到cd边刚刚到达磁场区域下边界NN′的过程中，磁场作用于线框的安培力所做的功； （3）线框cd边刚穿出磁场区域下边界NN′时线框的加速度。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设速度大小为v1，此时线框的重力和线框ab边受到的安培力平衡，令此时线框中的电流强度为I1，应有 BI1L1＝mg 故：。 答：线框完全进入磁场前速度的最大值为：。 （2）设线框达到速度v1时，cd边进入磁场的深度为h1，从下落到此时安培力对线框做功为W1．对于线框由动能定理，得： …① 线框从有速度v1到完全进入磁场时，线框做匀速运动，此过程中安培力对线框做功W2，由动能定理有： mg（L2﹣h1）+W2＝0…② 从线框完全进入磁场到cd边刚到磁场区域下边界NN'的过程中，线框中无电流，故此过程中安培力对线框所做的功为零，所以整个过程中磁场作用于线框的安培力所做的总功为 W安＝W1+W2…③ 由①、②、③式 可得，W安④ 答：磁场作用于线框的安培力所做的功为W安。 （3）设线框的cd边刚刚穿出磁场区域下边界NN'时线框的速度v2，则从线框刚下落到cd边穿出磁场的整个过程中，由动能定理，可得： mg（h+H）+W安⑤ 由④、⑤式解得： …⑥ 线框的cd边刚出磁场时只有ab边切割磁感线，使线框中产生感应电流，导致ab边受到向上的安培力，设此时线框的加速度为a，且设向下的方向为正方向，则由电磁感应定律及牛顿第二定律，有：⑦ 由 ⑥、⑦式可解得： 0 所以所求加速度大小，方向竖直向上。 答：线框cd边刚穿出磁场区域下边界NN′时线框的加速度大小为，方向竖直向上。 27．一个质量m＝16g，长d＝0.5m，宽L＝0.1m，电阻R＝0.1Ω的矩形线框从高处自由落下，经过5m高度，下边开始进入一个跟线框平面垂直的匀强磁场．已知磁场区域的高度h2＝1.55m，线框进入磁场时恰好匀速下落．求： （1）磁场的磁感应强度多大？ （2）线框下边将要出磁场时的速率； （3）线框下边刚离开磁场时的加速度大小和方向． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）线框下边刚进入磁场时的速度为： v1m/s＝10m/s 线框所受的安培力大小为： F＝I1LBLB 由于线框进入磁场时恰好匀速运动，重力和安培力平衡，则有： mg＝F 则得，磁场的磁感应强度为： BT＝0.4T （2）线框完全在磁场中下落的高度： h′＝h2﹣d＝1.05m， 线框下边将要出磁场时的速率为： v211m/s （3）线框下边刚离开磁场时所受的安培力大小为： F2＝I2LBLB0.176N＞mg 根据牛顿第二定律解得： ag10＝1m/s2 方向向上． 答：（1）磁场的磁感应强度为0.4T． （2）线框下边将要出磁场时的速率为11m/s； （3）线框下边刚离开磁场时的加速度大小为，方向向上． 28．均匀导线制成的单匝正方形闭合线框abcd，每边长为L，总电阻为R，总质量为m。将其置于磁感应强度为B的水平匀强磁场上方h处，如图所示。线框由静止自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd边始终与水平的磁场边界平行。当cd边刚进入磁场时：求： （1）求线框中产生的感应电动势大小； （2）求cd两点间的电势差大小； （3）若此时线框加速度恰好为零，求线框下落的高度h所应满足的条件。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）线框进入磁场前做自由落体运动，由机械能守恒定律得： mghmv2， cd边刚进入磁场时，产生的感应电动势：E＝BLv， 解得：E＝BL； （2）此时线框中电流为：I， cd两点间的电势差：U＝IBL； （3）安培力：F＝BIL， 根据牛顿第二定律有：mg﹣F＝ma，由a＝0 解得下落高度满足：h； 答：（1）线框中产生的感应电动势大小为BL； （2）cd两点间的电势差大小为BL； （3）若此时线框加速度恰好为零，线框下落的高度h所应满足的条件为。 七．单杆在导轨上无外力作用下切割磁场的运动问题（共2小题） 29．如图所示，足够长的金属导轨MN和PQ与R相连，平行地放在水平桌面上，质量为m的金属杆可以无摩擦地沿导轨运动．导轨与ab杆的电阻不计，导轨宽度为L，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过整个导轨平面．现给金属杆ab一个初速度v0，使ab杆向右滑行． （1）求回路的最大电流． （2）当滑行过程中电阻上产生的热量为Q时，杆ab的加速度多大？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题，ab杆向右切割磁感线时产生感应电流，杆将受到安培力阻碍而做减速运动，速度减小，安培力大小随之减小，则加速度减小．故杆做加速度减小的减速运动直到停止运动．由上分析可知，金属杆在导轨上做减速运动，则刚开始时速度最大，感应电动势也最大，有： Em＝BLv0 所以回路的最大电流为：Im，金属杆上的电流方向从a到b． （2）设此时杆的速度为v，由能量守恒有：Qmv2 …①． 由牛顿第二定律得：FA＝BIL＝ma…② 闭合电路欧姆定律有：I③ 联立①②③得：a 答：（1）回路的最大电流为． （2）当滑行过程中电阻上产生的热量为Q时，杆ab的加速度为． 30．如图所示，两根水平金属导轨MN、PQ平行放置，相距为d，在导轨右端跨接一定值电阻R，导轨电阻不计．一长度为d、质量m、电阻为r的金属棒ef垂直于导轨静止放置，且与导轨保持良好接触．整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B．金属棒在受到水平向右的瞬时冲量作用后沿导轨滑行s后再次静止，测得此过程中电阻R上产生的电热为Q．已知棒与两导轨间的动摩擦因数均为μ，求： （1）金属棒的初速度v0； （2）金属棒在导轨上运动的时间t； （3）若其他条件不变，仅将磁场方向变为斜向上且与水平方向的夹角为α（图中虚线所示）．求金属棒受到水平向右的瞬时冲量作用后获得初速度v0时沿导轨滑行的加速度a． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由焦耳定律得知，金属棒上产生的电热为 根据能量守恒有：μmgs+Q 解得金属棒的初速度：v0 （2）在时间t内通过导体横截面的电量为：qΔt，，， 则得： 根据动量定理得：Bdq+μmgt＝mv0 解得金属棒在导轨上运动的时间：t （3）金属棒的受力如图所示． 感应电动势：E＝Bdv0sinα 感应电流： 根据牛顿第二定律有：BIdsinα+μ（mg﹣BIdcosα）＝ma 解得：，其方向与v0相反． 答： （1）金属棒的初速度v0是． （2）金属棒在导轨上运动的时间t是； （3）金属棒受到水平向右的瞬时冲量作用后获得初速度v0时沿导轨滑行的加速度a为v0+μg． 八．单杆在导轨上有外力作用下切割磁场的运动问题（共3小题） 31．如图所示，阻值为R的金属棒从图示位置ab分别以v1，v2的速度沿光滑导轨（电阻不计）匀速滑到a′b′位置，若v1：v2＝2：3，则在这两次过程中求： （1）回路电流I1：I2＝？ （2）产生的热量Q1：Q2＝？ （3）通过任一截面的电荷量q1：q2＝？ （4）外力的功率P1：P2＝？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）回路中感应电流为：I，可得I∝v， 则得：I1：I2＝v1：v2＝2：3． （2）产生的热量为：Q＝I2Rt＝（）2R•，Q∝v， 则得：Q1：Q2＝v1：v2＝2：3． （3）通过任一截面的电荷量为：q＝Itt，q与v无关， 则得：q1：q2＝1：1． （4）由于棒匀速运动，外力的功率等于回路中的功率，即得：P＝I2R＝（ ）2R，P∝v2， 则得：P1：P2＝4：9． 答：（1）回路电流I1：I2是2：3． （2）产生的热量Q1：Q2是2：3． （3）通过任一截面的电荷量q1：q2是1：1． （4）外力的功率P1：P2是4：9． 32．如图所示，MN与PQ是两条水平放置彼此平行的光滑金属导轨，导轨间距为l＝0.5m．质量m＝1kg，电阻r＝0.5Ω的金属杆ab垂直跨接在导轨上，匀强磁场的磁感线垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B＝2T，导轨左端接阻值R＝2Ω的电阻，导轨电阻不计．t＝0时刻ab杆受水平拉力F的作用后由静止开始向右做匀加速运动，第4s末，ab杆的速度为v＝2m/s，重力加速度g＝10m/s2．求： （1）4s末ab杆受到的安培力FA的大小； （2）若0﹣4s时间内，电阻R上产生的焦耳热为0.4J，求这段时间内水平拉力F做的功； （3）若第4s末以后，拉力不再变化，且知道4s末至ab杆达到最大速度过程中通过杆的电量q＝1.6C，则ab杆克服安培力做功WA为多大？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）第4s末，ab杆的感应电动势为：E＝Blv 感应电流为：I 安培力大小为：FA＝BIl 联立以上三式得： （2）由电阻R上产生的焦耳热表达式知： Q＝I2Rt知， ab杆产生的焦耳热应为： Q′＝I2rt， 故 设外力做功为W，安培力做功为W′A，由动能定理得：W﹣W′Amv2 而W′A＝Q+Q′＝0.5J 故，W＝Q+Qmv2＝0.5 （3）设4s末外力大小为F′，由牛顿第二定律得： F′﹣FA＝ma＝m 所以，F′① ab杆达到最大速度为vm，此时加速度为零，故有： F′＝F′A 所以，② 设4s末至ab杆达到最大速度过程中位移为x，时间为t′，则4s末至ab杆达到最大速度过程中通过杆的电量为： qt′t′ 所以，x③ 对于ab杆运动从静止到达到最大速度的总过程，由动能定理可得： F′x+W④ 由①②③④得，WA＝F′x+W1.32.42J 答：（1）4s末ab杆受到的安培力FA的大小为0.8N； （2）这段时间内水平拉力F做的功2.5J； （3）ab杆克服安培力做功WA为2.42J 33．如图所示，两根正对的平行金属直轨道MN、M′N′位于同一水平面上，两轨道之间的距离l＝0.50m．轨道的MN′端之间接一阻值R＝0.40Ω的定值电阻，NN′端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP、N′P′平滑连接，两半圆轨道的半径均为R0＝0.5m．直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度B＝0.64T的匀强磁场中，磁场区域的宽度d＝0.80m，且其右边界与NN′重合．现有一质量m＝0.20kg、电阻r＝0.10Ω的导体杆ab静止在距磁场的左边界s＝2.0m处．在与杆垂直的水平恒力F＝2.0N的作用下ab杆开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F，结果导体杆ab通过半圆形轨道的最高点PP′后落到距NN′为S’＝1.0m处．已知导体杆ab在运动过程中与轨道接触良好，且始终与轨道垂直，导体杆ab与直轨道之间的动摩擦因数μ＝0.10，轨道的电阻可忽略不计，取g＝10m/s2，求： （1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小和方向； （2）导体杆穿过磁场的过程中整个电路产生的焦耳热． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设导体杆在 F 的作用下运动到磁场的左边界时的速度为v1，根据动能定理则有： （F﹣μmg）s 得：v1m/s＝6m/s 导体杆刚进入磁场时产生的感应电动势为： E＝Blv1＝0.64×0.5×6V＝1.92V 此时通过导体杆的电流大小为：IA＝3.84A 根据右手定则可知，电流方向为b向a． （2）设导体杆离开磁场时的速度大小为v2，运动到圆轨道最高点的速度为v3． 杆ab离开轨道后做平抛运动，则有 s′＝v3t 2R0 解得 v3m/s 对于导体杆从NN′运动至 PP′的过程，根据机械能守恒定律有：mg•2R0 解得：v25.0m/s 导体杆穿过磁场的过程中损失的机械能为：ΔE0.2×（62﹣52）J＝1.1J 此过程中电路中产生的焦耳热为： Q＝ΔE﹣μmgd＝1.1J﹣0.1×0.2×10×0.8J＝0.94J 答： （1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小为3.84A，电流方向为b向a； （2）导体杆穿过磁场的过程中整个电路产生的焦耳热为0.94J． 九．双杆在等宽导轨上切割磁场的运动问题（共3小题） 34．如图所示，两条平行的长直金属细导轨KL、PQ固定于同一水平面内，它们之间的距离为l，电阻可忽略不计；ab和cd是两根质量皆为m的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨良好接触，并可沿导轨无摩擦地滑动．两杆的电阻皆为R．杆cd的中点系一轻绳，绳的另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为M的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆cd之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行．导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B．现两杆及悬物都从静止开始运动，当ab杆及cd杆的速度分别达到v1和v2时，两杆加速度的大小各为多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：ab与cd切割磁感线产生的感应电动势分别为： E1＝Blv1，E2＝Blv2，总电动势E＝E2﹣E1＝Bl（v2﹣v1）， 由闭合电路的欧姆定律可得，电路电流I， 金属细杆受到的安培力大小F＝BIl， 设绳子对cd的拉力为T，由牛顿第二定律得： ab棒：ma1， a1， cd棒与M组成的系统： Mg（M+m）a2， 由①②③解得：a2； 答：当ab杆及cd杆的速度分别达到v1和v2时， 两杆加速度的大小分别为：，． 35．如图，ab和cd是两条竖直放置的长直光滑金属导轨，MN和M′N′是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为m和2m。竖直向上的外力F作用在杆MN上，使两杆水平静止，并刚好与导轨接触；两杆的总电阻为R，导轨间距为l。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直。导轨电阻可忽略，重力加速度为g。在t＝0时刻将细线烧断，保持F不变，金属杆和导轨始终接触良好。求： （1）细线烧断后，任意时刻两杆运动的速度之比； （2）两杆分别达到的最大速度。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）细线烧断前对MN和M'N'受力分析， 由于两杆水平静止，得出竖直向上的外力F＝3mg。 设某时刻MN和M'N'速度分别为v1、v2。 规定竖直向上为正方向，根据MN和M'N'动量守恒得出：mv1﹣2mv2＝0 求出：2 ① （2）细线烧断后，MN向上做加速运动，M'N'向下做加速运动，由于速度增加，感应电动势增加， MN和M'N'所受安培力增加，所以加速度在减小。 当MN和M'N'的加速度减为零时，速度最大。 对M'N'受力平衡：BIl＝2mg ② I ③ E＝Blv1+Blv2④ 由①﹣﹣④得：v1、v2 答：（1）细线少断后，任意时刻两杆运动的速度之比为2； （2）两杆分别达到的最大速度为，。 36．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨cd和ef，水平放置且相距L，在其左端各固定一个半径为r的四分之三金属光滑圆环，两圆环面平行且竖直．在水平导轨和圆环上各有一根与导轨垂直的金属杆，两金属杆与水平导轨、金属圆环形成闭合回路，两金属杆质量均为m，电阻均为R，其余电阻不计．整个装置放在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中．当用水平向右的恒力Fmg拉细杆a，达到匀速运动时，杆b恰好静止在圆环上某处，试求： （1）杆a做匀速运动时，回路中的感应电流； （2）杆a做匀速运动时的速度； （3）杆b静止的位置距圆环最低点的高度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： （1）a棒匀速运动时，拉力与安培力平衡，F＝BIL 得：I （2）金属棒a切割磁感线，产生的电动势E＝BLv 回路电流I 联立得：v （3）b棒平衡时，设棒和圆心的连线与竖直方向的夹角为θ， 则有tan得：θ＝60° 所以h＝r（1﹣cosθ） 答： （1）杆a做匀速运动时，回路中的感应电流I； （2）杆a做匀速运动时的速度v； （3）杆b静止的位置距圆环最低点的高度h． 十．竖直平面内的导轨滑杆模型（共3小题） 37．如图所示，有一磁感应强度为0.1T的水平匀强磁场，垂直匀强磁场放置一很长的金属框架，框架上有一导体ab保持与框架边垂直、由静止开始下滑．已知ab长10cm，质量为0.1kg，电阻为0.1Ω，框架电阻不计，取g＝10m/s2．求： （1）导体ab下落的最大加速度和最大速度； （2）导体ab在最大速度时产生的电功率． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）对ab杆受力分析，受两个力：重力和安培力，根据牛顿第二定律有 mg﹣F安＝ma，要使a最大，而mg都不变，那F安就得最小，而安培力的最小值是0，也就是刚下滑的瞬间，a最大，解得最大速度为：am＝g＝10m/s2． 当最大速度时，那么a＝0，所以有 mg﹣F安＝0， 即 mg＝BIL， 根据欧姆定律得 I 联立以上两式得 mg 则得 vm/s＝103m/s （2）导体ab在最大速度时产生的电功率：P＝I2R， 又 I 解得：PW＝103W 答：（1）导体ab下落的最大加速度为10m/s2，最大速度为103m/s； （2）导体ab在最大速度时产生的电功率为103W． 38．如图所示，竖直平面内有足够长、不计电阻的两组平行光滑金属导轨，宽度均为L＝0.5m，上方连接一个阻值R＝1Ω的定值电阻，虚线下方的区域内存在垂直纸面向里的磁感应强度B＝2T的匀强磁场．完全相同的两根金属杆1和2靠在导轨上，金属杆长与导轨等宽且与导轨接触良好，电阻均为r＝0.5Ω．将金属杆1固定在磁场的上边缘（仍在此磁场内），金属杆2从磁场边界上方h0＝0.8m处由静止释放，进入磁场后恰做匀速运动．（g取10m/s2） 求：（1）金属杆的质量m； （2）若金属杆2从磁场边界上方h1＝0.2m处由静止释放，进入磁场下落一段距离后做匀速运动．在金属杆2加速的过程中整个回路产生了1.4J的电热．求此过程中流过电阻R的电荷量q； （3）若金属杆2仍然从磁场边界上方h1＝0.2m处由静止释放，在金属杆2进入磁场的同时释放金属杆1，试求两根金属杆各自的最大速度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）金属杆2进入磁场前做自由落体运动，进入磁场的速度 vm 金属杆2进入磁场后切割磁感线，回路中产生感应电流，有 感应电动势E＝BLvm，感应电流 金属杆恰做匀速运动，受安培力和重力平衡：mg＝BIL 解出m0.2kg （2）金属杆2自由下落h1，进入磁场，做加速运动，设金属杆2在磁场内下降h2后达到匀速运动，在加速的过程中，部分机械能转化为电能产生电热，有 mg（h1+h2）Q 可得 h21＝1.3m 金属杆2进入磁场到匀速运动的过程中， 解出流过电阻的电量　　qC＝0.65C （3）金属杆2刚进入磁场时的速度vm/s＝2m/s 金属杆2进入磁场同时释放金属杆1后，回路中有感应电流，两杆都受安培力和重力，且受力情况相同，都向下做加速运动，随速度增大，感应电流增大，安培力增大，直到安培力和重力相等时，速度达到最大． 金属杆1和2产生的感应电动势为E1＝BLv1，E2＝BLv2 感应电流为　 达到最大速度时杆的重力等于安培力 mg＝BIL 整理得到：v1+v2 代入数据得v1+v2＝4 m/s…① 因为两个金属杆任何时刻受力情况相同，因此任何时刻两者的加速度也都相同，在相同时间内速度的增量也必相同，即：v1﹣0＝v2﹣v 代入数据得v2＝v1+2…② ①②两式联立求出：v1＝1m/s，v2＝3m/s 答：（1）金属杆2的质量m为0.2kg． （2）流过电阻R的电量q为0.65C． （3）两根金属杆各自的最大速度分别是1m/s和3m/s． 39．如图所示，固定的竖直光滑金属导轨间距为L，上端接有阻值为R的电阻，处在方向水平、垂直导轨平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与下端固定的竖直轻质弹簧相连且始终保持与导轨接触良好，导轨与导体棒的电阻均可忽略，弹簧的劲度系数为k．初始时刻，弹簧恰好处于自然长度，使导体棒以初动能Ek沿导轨竖直向下运动，且导体棒在往复运动过程中，始终与导轨垂直． （1）求初始时刻导体棒所受安培力的大小F； （2）导体棒往复运动一段时间后，最终将静止．设静止时弹簧的弹性势能为Ep，则从初始时刻到最终导体棒静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设导体棒的初速度为v0，由动能的定义式 Ek 得 设初始时刻产生的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律得： E＝BLv 设初始时刻回路中产生的电流为I，由闭合电路的欧姆定律得： I 设初始时刻导体棒受到的安培力为F，由安培力公式得：F＝BIL 联立上式得，F （2）从初始时刻到最终导体棒静止的过程中，导体棒减少的机械能一部分转化为弹簧的弹性势能，另一部分通过克服安培力做功转化为电路中的电能，因在电路中只有电阻，电能最终全部转化为电阻上产生的焦耳热Q． 当导体棒静止时，棒受力平衡，此时导体棒的位置比初始时刻降低了h， 则 mg＝kh，得h 由能的转化和守恒定律得：mgh+Ek＝EP+Q 解得 Q 答： （1）初始时刻导体棒所受安培力的大小F为； （2）从初始时刻到最终导体棒静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为． 十一．倾斜平面内的导轨滑杆模型（共2小题） 40．如图所示，MN、PQ为间距L＝0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN．导轨平面与水平面间的夹角θ＝37°，NQ间连接有一个R＝5Ω的电阻．有一匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B0＝1T．将一根质量为m＝0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻均不计．现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行．已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.5，当金属棒滑行至cd处时已经达到稳定速度，cd距离NQ为s＝2m．试解答以下问题：（g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8） （1）当金属棒滑行至cd处时回路中的电流多大？ （2）金属棒达到的稳定速度是多大？ （3）当金属棒滑行至cd处时回路中产生的焦耳热是多少？ （4）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t＝0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度B应怎样随时间t变化（写出B与t的关系式）？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）达到稳定速度时，有 F安＝B0IL mgsinθ＝F安+μmgcosθ I0.2 A （2）E＝B0Lv I v2m/s （3）根据能量守恒得，重力势能减小转化为动能、摩擦产生的内能和回路中产生的焦耳热． Q＝mgsin37°s﹣μmgcos37°smv2＝0.1J （4）当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流．此时金属棒将沿导轨做匀加速运动． mgsinθ﹣μmgcosθ＝ma a＝gsinθ﹣μgcosθ＝2m/s2 B0Ls＝BL（s+vtat2） B T． 答：（1）当金属棒滑行至cd处时回路中的电流是0.2 A； （2）金属棒达到的稳定速度是2m/s； （3）当金属棒滑行至cd处时回路中产生的焦耳热是0.1J； （4）磁感应强度B随时间t变化关系式为：B T． 41．如图（a）所示，两个完全相同的“人”字型金属轨道面对面正对着固定在竖直平面内，间距为d，它们的上端公共轨道部分保持竖直，下端均通过一小段弯曲轨道与一段直轨道相连，底端置于绝缘水平桌面上．MM′、PP′（图中虚线）之下的直轨道MN、M′N′、PQ、P′Q′长度均为L且不光滑（轨道其余部分光滑），并与水平方向均构成37°斜面，在左边轨道MM′以下的区域有垂直于斜面向下、磁感应强度为B0的匀强磁场，在右边轨道PP′以下的区域有平行于斜面但大小未知的匀强磁场Bx，其它区域无磁场．QQ′间连接有阻值为2R的定值电阻与电压传感器（e、f为传感器的两条接线）．另有长度均为d的两根金属棒甲和乙，它们与MM′、PP′之下的轨道间的动摩擦因数均为μ．甲的质量为m、电阻为R；乙的质量为2m、电阻为2R．金属轨道电阻不计．先后进行以下两种操作： 操作Ⅰ：将金属棒甲紧靠竖直轨道的左侧，从某处由静止释放，运动到底端NN′过程中棒始终保持水平，且与轨道保持良好电接触，计算机屏幕上显示的电压﹣时间关系图象U﹣t图如图（b）所示（图中U已知）； 操作Ⅱ：将金属棒甲紧靠竖直轨道的左侧、金属棒乙（图中未画出）紧靠竖直轨道的右侧，在同一高度将两棒同时由静止释放．多次改变高度重新由静止释放，运动中两棒始终保持水平，发现两棒总是同时到达桌面．（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8） （1）试判断图（a）中的e、f两条接线，哪一条连接电压传感器的正接线柱； （2）试求操作Ⅰ中甲释放时距MM′的高度h； （3）试求操作Ⅰ中定值电阻上产生的热量Q； （4）试问右边轨道PP′以下的区域匀强磁场Bx的方向和大小如何？在图（c）上画出操作Ⅱ中计算机屏幕上可能出现的几种典型的U﹣t关系图象． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）对甲棒，利用左手定则确定感应电流的方向由M′到M，此时MM′相当于电源，f为正极引线． （2）由图象知：棒进入磁场时定值电阻2R的电压为U，通过的电流，I， 有闭合电路欧姆定律可知，此时的电动势，E＝IR总3R， 有电磁感应定律得：E＝B0dv1，解得：v1， 由动能定理得：mgh， 解得：h （3）当甲棒离开磁场时的速度为v2，有（2）中电磁感应知识结合电路特点得， （3）2UB0dv2B0dv2 对甲棒，由动能定理，有 mgLsin37°﹣μmgLcos37°﹣Q总mm， 式中Q总为克服安培力所做的功，转化成了甲、乙棒上产生的热量； Q总mgL 有串并联电路特点：定值电阻上产生的热量，QQ总mgL （4）两棒由静止释放的高度越高，甲棒进入磁场时的安培力越大，加速度越小，而乙棒只有摩擦力越大加速度才越小，故乙棒所受安培力应垂直斜面向下 由右手定则得：Bx沿斜面向下； 从不同高度下落两棒总是同时到达桌面，说明两棒运动的加速度时刻相同． 对甲棒，根据牛顿第二定律，有mgsinθ﹣μmgcosθma 对乙棒，根据牛顿第二定律，有2mgsinθ﹣μ（2mgcosθ+Bx）＝2ma 所以 BxB0＝32B0 操作Ⅱ中计算机屏幕上可能出现的U﹣t关系图象有三种可能，如图（c）所示． 答：（1）f为正极引线； （2）甲释放时距MM′的高度h为； （3）试求操作Ⅰ中定值电阻上产生的热量QmgL； （4）匀强磁场Bx的方向沿斜面向下，大小为32B0，U﹣t关系图象如图： ． 十二．动量定理在电磁感应问题中的应用（共2小题） 42．如图所示，平行光滑金属导轨间距为L，处在竖直向上的匀强磁场中，两导体棒ab、cd垂直导轨平行放置，与导轨始终接触良好，其中棒ab质量为m，棒cd质量为2m，两棒接入电路的电阻均为R0。开始时cd棒锁定在轨道上，对ab棒施加水平向右的恒定拉力F，经时间t其速度达到最大值v，此时解除对cd的锁定。导轨足够长且电阻不计。求： （1）匀强磁场的磁感应强度大小； （2）解除锁定前导体棒ab前进的距离及此过程中回路产生的焦耳热； （3）在经过足够长时间后，两导体棒各做什么性质的运动？此时回路中的电流为多大？（两棒仍然处在匀强磁场中） 【答案】（1）匀强磁场的磁感应强度大小为； （2）解除锁定前导体棒ab前进的距离为，此过程中回路产生的焦耳热为； （3）在经过足够长时间后，两导体棒均做匀加速直线运动。此时回路中的电流为。 【解答】解：（1）设磁感应强度为B，ab棒速度达到最大值时，所受安培力与恒定拉力F相等，则有： F＝BIL 根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律得： 解得： （2）解除对cd的锁定前，设棒ab前进的距离为x，以向右为正方向，对ab棒达到最大速度v的过程，由动量定理得： 联立解得： 根据能量守恒定律可得此过程中回路产生的焦耳热为： 解得： （3）解除对cd的锁定后，cd做加速度减小的加速直线运动，ab做加速度由零增大的加速直线运动，当两者加速度相同后，两者的速度差值恒定，回路中的感应电动势与感应电流恒定，两者所受安培力恒定，两导体棒最终均做加速度相同的匀加速直线运动。 稳定后，根据牛顿第二定律得： 对ab有：F﹣BI′L＝ma 对cd有：BI′L＝2ma 解得回路中的电流为： 答：（1）匀强磁场的磁感应强度大小为； （2）解除锁定前导体棒ab前进的距离为，此过程中回路产生的焦耳热为； （3）在经过足够长时间后，两导体棒均做匀加速直线运动。此时回路中的电流为。 43．如图，相距L＝1m、电阻不计的平行光滑长金属导轨固定在绝缘水平面上，两导轨左端间接有阻值R＝2Ω的电阻，导轨所在足够长区域内加上与导轨所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小B＝1T．现有电阻r＝1Ω，质量m＝1kg的导体棒ab垂直导轨放置且接触良好，当导体棒ab以速度v＝12m/s从边界MN进入磁场后。 （1）求棒ab刚进入磁场时的加速度大小； （2）棒ab进入磁场一段距离后，速度大小变为6m/s，求从进入磁场到此时的过程中电阻R产生的焦耳热为多少； （3）求棒ab最终停的位置。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当导体棒进入磁场切割磁感线时，导体棒受到的安培力： F＝BIL， 由牛顿第二定律得：ma 代入数据解得：a＝4m/s2； （2）对导体棒，由能量守恒定律得： mv2mv′2+Q， 在闭合电路中：， 电路中的总热量；Q＝Qr+QR， 代入数据解得：QR＝36J； （3）在导体棒运动的极短时间Δt内，从t→Δt时间内，多导体棒，由动量定理得： ﹣FΔt＝mΔv， 安培力：F， 则Δt＝mΔv， vΔt＝mΔv， 则Δx＝mΔv， ∑mΔv，m， 求和，解得：x＝mv， 则x36m； 答：（1）棒ab刚进入磁场时的加速度大小为4m/s2； （2）进入磁场到此时的过程中电阻R产生的焦耳热为36J； （3）棒ab最终停的位置距MN36m。 十三．电磁感应过程中的动力学类问题（共3小题） 44．（多选）如图所示，间距为L0的两平行长直金属导轨水平放置，导轨所在空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长度均为L0的金属杆ab、cd垂直导轨放置，初始时两金属杆相距为L0，金属杆ab沿导轨向右运动的速度大小为v0，金属杆cd速度为零且受到平行导轨向右、大小为F的恒力作用。已知金属杆与导轨接触良好且整个过程中始终与导轨垂直，在金属杆ab、cd的整个运动过程中，两金属杆间的最小距离为L1，重力加速度大小为g，两金属杆的质量均为m，电阻均为R，金属杆与导轨间的动摩擦因数均为μ，金属导轨电阻不计，整个运动中金属杆ab没有处于静止的过程，下列说法正确的是（　　） A．金属杆cd运动过程中的最大加速度为 B．从金属杆cd开始运动到两金属杆间距离最小的时间为 C．金属杆ab运动过程中的最小速度为 D．金属杆cd的最终速度为 【答案】AD 【解答】解：对金属杆ab、cd的运动过程分析如下： ①、初始ab向右运动，cd速度为零，两者间距开始减小，回路中磁通量先开始减小，根据楞次定律可知回路中的感应电流方向先是顺时针的，ab受到的安培力与滑动摩擦力均先向左，ab先向右做减速运动，设其速度大小为v1。cd受到的安培力先向右，而滑动摩擦力向左，因动摩擦因数为μ，可知滑动摩擦力小于F，故cd先向右做加速运动，设其速度大小为v2。回路中的感应电动势为：E＝BL0（v1﹣v2），因（v1﹣v2）先减小，故感应电动势、感应电流、两金属杆所受安培力均减小。故ab先向右做加速度减小的减速运动，cd先向右做加速度减小的加速运动。 ②、当v1＝v2时，感应电动势、安培力均为零，由于存在滑动摩擦力，ab继续减速，但cd继续加速（因F＞μmg），导致v2＞v1，两者间距开始增大，回路中磁通量先开始增大，根据楞次定律可知回路中的感应电流方向变为逆时针，ab受到的安培力反向，方向向右，与滑动摩擦力方向相反；cd受到的安培力也反向，方向向左，与滑动摩擦力同向。此后的回路中的感应电动势为：E＝BL0（v2﹣v1），因（v2﹣v1）增大，故感应电动势、感应电流、两金属杆所受安培力均由零逐渐增大，对ab有：μmg﹣BIL0＝ma1，对cd有：F﹣μmg﹣BIL0＝ma2，可见ab、cd的加速度均减小，故ab继续向右做加速度减小的减速运动，cd向右做加速度减小的加速运动。 ③、当安培力增加到等于滑动摩擦力，即：BIL0＝μmg时，ab的加速度a1为零，此时对于cd有：F﹣μmg﹣BIL0＝F﹣2μmg＝0（因μ），即：cd的加速度a2为零，可见两者加速度同时减小到零，此后v1、v2若保持不变，则（v2﹣v1）恒定，感应电动势、感应电流、两金属杆所受安培力均保持不变，两者加速度可保持为零，故两者终极状态为匀速直线运动。终极状态有：v2＞v1；BIL0＝μmg，F＝2μmg。 A、由上述分析，可知金属杆cd运动过程中的加速度一直减小到零，则初始其加速度最大。 初始电动势为：E0＝BL0v0，安培力为：F0＝BL0，根据牛顿第二定律得： ma0＝F+F0﹣μmg，结合：μ，解得：a0，故A正确； B、由上述①②的分析可知当v1＝v2时两者的间距离最小，以水平向右为正方向，根据动量定理得： 对ab有：﹣BL0t﹣μmgt＝mv1﹣mv0 对cd有：Ft+BL0t﹣μmgt＝mv2﹣0……④ 两式相加，再结合μ，可得：v1＝v2v0 又有：，ΔΦ＝BL0（L0﹣L1） 可得： 代入④式可得所求的时间为：t，故B错误； C、由B选项可知v1＝v2时，金属杆ab的速度v1v0，而由②的分析可知此后ab继续做减速运动，故运动过程中金属杆ab的最小速度小于，故C错误； D、设ab、cd的最终速度分别为va、vc，由③的分析有：F﹣μmg﹣BIL0＝0，其中：I 解得：vc﹣va 从两者速度v1＝v2v0时到终极状态的过程，以水平向右为正方向，根据动量定理得： 对ab有：﹣BL0t1﹣μmgt1＝mvamv0 对cd有：Ft1+BL0t1﹣μmgt1＝mvcmv0 两式相加可得：va+vc＝v0 联立解得：vc，故D正确。 故选：AD。 45．如图，两平行轨道固定于水平面内，其中MN、M′N′是两小段绝缘材料，其余部分是金属材料，轨道间距为d，轨道间分布着磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。轨道左侧接入包含电动势为E的直流电源、电容为C的电容器、单刀双掷开关S构成的电路，轨道右侧接入自感系数为L的电感线圈。质量为m、电阻为R的金属棒a垂直放置于轨道左侧某处，质量也为m、电阻不计的金属棒b垂直放置于绝缘材料上。现将S接1，待电容器充电完毕后，再将S接2。之后，a运动达到稳定状态，再与b发生弹性碰撞。不考虑其它电阻，不计一切摩擦，忽略电磁辐射，a、b均始终与轨道接触良好。 （1）S接通2瞬间，求金属棒a的加速度大小； （2）求金属棒a运动达到稳定状态时的速度大小； （3）某同学查阅教材后得知，电感线圈的自感电动势正比于电流的变化率，由此他猜测金属棒b在运动过程中做简谐运动。请证明。 【答案】（1）S接通2瞬间，金属棒a的加速度大小为； （2）金属棒a运动达到稳定状态时的速度大小为； （3）见解析。 【解答】解：（1）电容器充电完毕后电容器上的电压U＝E，开关S接2瞬间，电容器通过金属棒a放电，此时电流为：I 由安培力公式得：F＝BId 由牛顿第二定律得：F＝ma 解得：a （2）金属棒a运动达到稳定状态时的速度大小为v0，当a棒产生的感应电动势等于电容器两端的电压时，即Ua＝UC，a棒做匀速直线运动。 由法拉第电磁感应定律得：Ua＝Bdv0 充电结束时电容器带电量为：q0＝UC＝CE a棒做匀速直线运动时，电容器带电量为：q1＝UaC 设在Δt（Δt→0）时间内a棒的速度变化为Δv，电容器电量减小量为：Δq＝IΔt 以向右为正方向，由动量定理得：BdIΔt＝BdΔq＝mΔv 对上式两边求和得：Bd（q0﹣q1）＝mv0 解得：v0 （3）a 棒与b棒发生弹性碰撞，因两者质量相等，故两者碰撞过程交换速度，碰撞后金属棒a静止在绝缘材料上，b棒以速度v0开始向右直线运动，与电感线圈L构成回路，初始时刻电流变化率最大，电感线圈L产生的自感电动势最大，近似等于金属棒b产生的感应电动势，回路电流接近为零，因金属棒b的电阻不计，故在极短的瞬间金属棒b产生的感应电动势与电感线圈L产生的自感电动势可认为始终大小相等（动态平衡）。 电感线圈的自感电动势正比于电流的变化率，即E自感＝L 以b棒开始向右运动时为t＝0时刻，设在某时刻t金属棒b的速度为v，在t～t+Δt（Δt→0）时间内，电流的变化量的大小为ΔI，则有： Bdv＝L 可得：ΔIΔt 对上式两边求和可得：I，其中x为B棒与初始位置的位移。 b棒所受安培力大小为：F＝BId 由楞次定律以及题意可知，安培力方向与b棒位移x方向始终相反，可知在金属棒b运动过程中安培力满足做简谐运动需要的回复力，故金属棒b在运动过程中做简谐运动，金属棒b返回到初始位置以速度大小v0与金属棒a碰撞后重复之前的简谐运动。 答：（1）S接通2瞬间，金属棒a的加速度大小为； （2）金属棒a运动达到稳定状态时的速度大小为； （3）见解析。 46．如图1所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计．在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，并与导轨接触良好．整个装置处于方向竖直向上磁感应强度为B的匀强磁场中．现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动． （1）当ab杆刚好具有初速度v0时，求此时ab杆两端的电压U，a、b两端哪端电势高； （2）请在图2中定性画出通过电阻R的电流i随时间变化规律的图像； （3）若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图3所示．同样给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动．请分析说明ab杆的运动情况，并推导证明杆稳定后的速度为v． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）ab杆切割磁感线产生感应电动势为：E＝Blv0 根据全电路欧姆定律有：I ab杆两端电压即路端电压为：U＝IR 联立解得：U，根据右手定则可得a端电势高； （2）杆在向右运动过程中速度逐渐减小、感应电动势逐渐减小，根据闭合电路的欧姆定律可得感应电流逐渐减小，通过电阻R的电流i随时间变化规律的图像如图所示： （3）分析：当ab杆以初速度v0开始切割磁感线时，产生感应电动势，电路开始给电容器充电，有电流通过ab杆，杆在安培力的作用下做减速运动，随着速度减小，安培力减小，加速度也减小，杆做加速度减小的减速运动．当电容器两端电压与感应电动势相等时，充电结束，杆以恒定的速度做匀速直线运动． 推导证明：当电容器两端电压与感应电动势相等时有U＝Blv 根据电容器电容C 以ab杆为研究对象，在很短的一段时间Δt内，杆受到的冲量大小为BIlΔt 从ab杆开始运动至速度达到稳定的过程，根据动量定理：∑﹣BIlΔt＝﹣BlQ＝mv﹣mv0 联立可得v． 答：（1）当ab杆刚好具有初速度v0时，此时ab杆两端的电压为U，a端电势高； （2）通过电阻R的电流i随时间变化规律的图像如图所示； （3）ab杆先做加速度减小的减速运动，最后匀速运动，稳定后的速度为v，证明见解析． 十四．电磁感应过程中的能量类问题（共6小题） 47．（多选）如图所示，水平面上固定有形状为“”的足够长光滑金属导轨MON、PO'Q，OO'左右导轨的宽度分别为2L、L，两侧匀强磁场的方向均竖直向下，磁感应强度大小分别为B0和2B0，导体棒a、b垂直于导轨放在OO'两侧，长度分别为2L、L。已知导体棒的材料相同、横截面积相同，导体棒b的质量为m，电阻为R，两导体棒与导轨接触良好，不计导轨电阻。使导体棒a、b同时获得沿导轨的初速度，a的初速度向左、大小为v0，b的初速度方向向右、大小为2v0直到导体棒达到稳定状态的过程中，下列说法正确的是（　　） A．通过导体棒的最大电流为 B．a、b导体棒减速的加速度大小之比为1：2 C．a导体棒产生的热量为 D．导体棒a、b间的距离增加 【答案】BD 【解答】解：A、已知导体棒的材料相同、横截面积相同，导体棒b的质量为m，电阻为R，易知导体棒a的质量是为2m，电阻为2R。 导体棒a所受安培力大小为：Fa＝B0I•2L，方向水平向右；导体棒b所受安培力大小为Fb＝2B0IL，方向水平向左，可见两者所受安培力等大反向，故两者组成的系统合外力为零，满足动量守恒定律。以向右为正方向，初始两者的总动量为：m•2v0﹣2mv0＝0。由此可知两者做减速运动同时速度减为零，即最终稳定状态为导体棒a、b均处于静止状态。 初始两导体棒运动方向相反，根据右手定则判断可得回路中两者产生的感应电流方向均为逆时针（从上往下俯视回路），可得回路中产生的总的感应电动势E等于两者分别产生的感应电动势之和，两者做减速运动，故初始时刻速度均最大，通过导体棒的电流最大电流，则有： 初始回路中的电动势最大为：Em＝B0×2Lv0+2B0L×2v0＝6B0Lv0 则最大电流为：，故A错误； B、由A选项的分析可知两者所受安培力等大反向，均做减速运动，而导体棒a的质量是为2m，导体棒a的质量是为m，根据牛顿第二定律可得a、b导体棒减速的加速度大小之比为1：2，故B正确； C、根据能量守恒定律，系统减少的动能转化为焦耳热，导体棒a、b最终均处于静止状态，系统产生的热量为： Q 导体棒a产生的热量为：，故C错误； D、以向左为正方向，对导体棒a的整个运动过程，根据动量定理得： ﹣B0•2L0﹣2mv0 其中： 导体棒a、b间距离的增加量为：Δx＝xa+xb 联立解得：Δx，故D正确。 故答案为：BD。 48．（多选）如图所示，竖直方向两光滑平行金属导轨间距为L，处于垂直纸面的匀强磁场中，磁感应强度为B，杆的质量为m，定值电阻为R，其余电阻不计，电容器电容为C（未充电），金属杆与导轨接触良好，开关K与触点Ⅰ或Ⅱ接通，现让金属杆沿导轨无初速度下滑，在金属杆下滑距离为h的过程中，对该过程下列说法正确的是（　　） A．若开关K与触点Ⅰ接通，电阻R产生的焦耳热为mgh B．若开关K与触点Ⅰ接通，通过电阻R的电荷量为 C．若开关K与触点Ⅱ接通，杆的重力对杆的冲量为 D．若开关K与触点Ⅱ接通，电容器所充的电能为 【答案】BC 【解答】解：A、若开关K与触点Ⅰ接通，设金属杆下滑距离为h时的速度大小为v1，根据能量守恒定律可得： 则电阻R产生的焦耳热Q＜mgh，故A错误； B、若开关K与触点Ⅰ接通，通过电阻R的电荷量为：，故B正确； C、若开关K与触点Ⅱ接通，金属杆切割磁感线产生电动势，其作为电源给电容器充电，电容器的电压总是等于感应电动势，即U＝E＝BLv。 回路中的电流为： 根据牛顿第二定律得：mg﹣BIL＝ma 联立解得金属杆的加速度大小为： 可知导体棒杆的加速度恒定，其做匀加速直线运动，对下滑距离为h的过程，有： 此过程重力的冲量大小为：IG＝mgt 联立解得：，故C正确； D、若开关K与触点Ⅱ接通，根据功能关系，此过程电容器所充的电能等于金属杆克服安培力做的功，即：ΔE＝W安 金属杆所受合力做功等于重力做功减去克服安培力做功，即：mah＝mgh﹣W安 联立可得：ΔE＝mgh﹣mah，故D错误。 故选：BC。 49．如图，一组平行等间距的足够长导轨由倾角θ＝30°的倾斜导轨与水平导轨相连构成，导轨间距为l，在倾斜导轨的边界EF上方，存在垂直于斜面向上，大小为B的匀强磁场。现将质量为m，电阻为R的导体棒M，放在倾斜导轨顶端，与其相距d处（仍在磁场中）放置完全相同的导体棒N，发现两导体棒恰好不滑动。一质量为m0，可视为质点的小球，从水平轨道平面中轴线上方某点，以初速度v0平抛出，恰好平行于倾斜导轨，在M杆中心处与导体棒M发生弹性碰撞。已知m0，重力加速度为g，接触面间的最大静摩擦与滑动摩擦力相等。 （1）求小球与导体棒M碰后瞬间，N棒的加速度大小a； （2）若要保证M、N在磁场中不发生碰撞，求两导体棒初始距离d的最小值及N棒上产生焦耳热的最大值； （3）若N棒离开EF时的速度为（M仍在磁场中且与N未发生碰撞），为确保之后M棒也能离开磁场，则d应该满足的条件范围。 【答案】（1）小球与导体棒M碰后瞬间，N棒的加速度大小a为； （2）两导体棒初始距离d的最小值为，N棒上产生焦耳热的最大值为； （3）d应该满足的条件范围为d。 【解答】解：以下解答均以沿倾斜导轨向下为正方向。 （1）小球与导体棒M碰前做平抛运动，设碰前瞬间小球速度为v，由平抛运动的规律得： ，解得：v＝2v0 小球与导体棒M发生弹性碰撞，设碰撞后瞬间小球与导体棒M的速度分别为v1、v2，根据动量守恒定律与机械能守恒定律得： m0v＝m0v1+mv2 解得：， 碰后瞬间导体棒M产生的的感应电动势为：E＝Blv2 此时感应电流为：I 对N棒，根据牛顿第二定律得： mgsinθ﹣f+BIl＝ma 由初始两导体棒恰好不滑动，可知：f＝mgsinθ 联立解得：a （2）因两导体棒在磁场中运动时所受安培力等大反向，又有f＝mgsinθ，故两导体棒组成的系统所受合外力为零，可知此系统的动量守恒，两导体棒速度相同后，回路中无感应电流，两导体棒做匀速直线运动，直到导体棒N离开磁场。要保证M、N在磁场中不发生碰撞，初始距离d最小时两导体棒恰好共速时相遇。设两导体棒共速时的速度大小为v3，初始距离d的最小值为dmin，根据动量守恒定律得： mv2＝（m+m）v3 解得： 对导体棒N，根据动量定理得： Blmv3﹣0 其中： 联立解得：dmin 设N棒上产生焦耳热的最大值为QN，则产生的总的焦耳热为2QN。因f＝mgsinθ，故导体棒减少的重力势能等于因摩擦产生的内能，可得产生的焦耳热等于系统减少的动能，则有： 解得： （3）设N棒离开EF时的速度为，此时M棒的速度为v5，由动量守恒定律得： mv2＝mv4+mv5 解得：v5＝v0 设N棒离开磁场后，M棒在磁场中运动的最大距离为x，根据动量定理得： ﹣Bl0﹣mv5 其中： 联立解得：x 设N棒离开磁场时，两者的相对位移大小为Δx，对N棒，根据动量定理得： Blmv4﹣0 其中： 联立解得：Δx 为保证M仍在磁场中且与N未发生碰撞，d需满足：d＞Δx 为确保之后M棒也能离开磁场，d需满足：d＜x+Δx 则d应该满足的条件范围为：d 答：（1）小球与导体棒M碰后瞬间，N棒的加速度大小a为； （2）两导体棒初始距离d的最小值为，N棒上产生焦耳热的最大值为； （3）d应该满足的条件范围为d。 50．如图，水平固定一半径r＝0.4m的金属圆环，电阻R1＝6Ω的金属杆OP一端在圆环圆心O处，另一端与圆环接触良好，并以角速度ω＝50rad/s顺时针匀速转动。圆环内分布着垂直圆环平面向上，磁感应强度大小B1＝2T的匀强磁场。圆环边缘、圆心O分别与间距L＝0.5m的水平放置的足够长平行轨道相连，轨道连接段CE、DF为绝缘粗糙材料，XCE＝0.12m，轨道右边接有电容C＝0.04F的电容器。轨道内分布着垂直导轨平面向上，磁感应强度大小B2＝4T的匀强磁场。电阻R2＝2Ω，长度L＝0.5m，质量m＝0.02kg的金属棒MN垂直导轨静止放置。除已给电阻外其他电阻不计，除CE、DF段轨道均光滑，棒MN与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直。闭合K，当棒MN到达AB时，使OP停止转动并保持静止，已知棒MN在到达AB前已做匀速运动，AB与CD相距XAC＝0.12m。求： （1）闭合K瞬间棒MN所受安培力大小； （2）棒MN在到达AB前匀速运动时的速度大小； （3）棒MN从AB到CD过程产生的焦耳热； （4）当棒MN到EF，对棒MN施加水平向右F＝0.36N的恒力，经过2s后棒MN的速度大小。 【答案】（1）闭合K瞬间棒MN所受安培力大小为2N； （2）棒MN在到达AB前匀速运动时的速度大小为4m/s； （3）棒MN从AB到CD过程产生的焦耳热为0.0375J； （4）当棒MN到EF，对棒MN施加水平向右F＝0.36N的恒力，经过2s后棒MN的速度大小为4m/s。 【解答】解：（1）根据法拉第电磁感应定律，金属杆OP以角速度ω＝50rad/s匀速转动切割磁感线产生的感应电动势为： 解得：E＝8V 闭合电键K瞬间，回路中的电流大小为： 解得：I＝1A 棒MN所受安培力大小为：F＝B2IL 解得：F＝2N （2）设棒MN在到达AB前匀速运动时的速度大小为v1，当金属棒MN切割磁感线产生的电动势等于金属杆OP产生的电动势时棒MN做匀速运动，则有： E＝B2Lv1 解得：v1＝4m/s （3）OP停止转动棒MN切割磁感线产生感应电动势与感应电流，MN受到安培力做减速运动，以向右为正方向，对棒MN从AB到CD过程，根据动量定理得： ﹣∑B2LiΔt＝mv2﹣mv1 其中：∑iΔt 联立解得：v2＝1m/s 根据能量守恒可得回路产生的总热量为： 解得：Q总＝0.15J 根据焦耳定律可得棒MN产生热量为： 解得：QMN＝0.0375J （4）棒MN从CD到EF的过程，根据动能定理得： 解得棒MN运动到EF时的速度大小为：v3＝0 设恒力F作用t＝2s时棒MN的速度大小为v4，此时电容器的电压等于棒MN切割磁感线产生的电动势，则有： UC＝E＝B2Lv4 此时电容器带电量为： q＝CUC＝CB2Lv4 以向右为正方向，此过程对棒MN由动量定理得： Ft﹣B2Lmv4﹣0，其中： 联立解得：v4＝4m/s 答：（1）闭合K瞬间棒MN所受安培力大小为2N； （2）棒MN在到达AB前匀速运动时的速度大小为4m/s； （3）棒MN从AB到CD过程产生的焦耳热为0.0375J； （4）当棒MN到EF，对棒MN施加水平向右F＝0.36N的恒力，经过2s后棒MN的速度大小为4m/s。 51．某同学设计了一个电磁击发装置，其结构如图所示。间距为d＝1m的平行长直导轨置于水平桌面上，导轨中NO和N'O'段为绝缘材料，其余部分均为导电金属材料，两种材料平滑连接。导轨左侧与圆形线圈相连，线圈匝数为500匝、半径为5cm，线圈内存在垂直线圈平面竖直向上的匀强磁场。电容器通过单刀双掷开关与导轨相连，其电容为C＝1F。在MM'与NN'区域及OO'右侧宽度L＝0.8m范围内存在着匀强磁场，磁感应强度大小均为B＝0.5T，方向如图所示。初始时金属棒a处于NN'左侧某处（紧靠NN'），ma＝0.1kg，金属棒b静止于磁场右侧某处，mb＝0.3kg，Rb＝1Ω。当开关与1连接时，圆形线圈中磁场随时间均匀变化，变化率为。稳定后将开关拨向2，金属棒a以v0＝4m/s的速度向右弹出，穿过磁场区域后与金属棒b发生弹性碰撞，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，除金属棒b外其余电阻均不计，不计金属棒与导轨间摩擦。求： （1）当开关与1连接时，电容器所带电荷量q； （2）金属棒a第一次穿过右侧磁场区域的过程中，金属棒b上产生的焦耳热Q； （3）金属棒a最终停在距OO'多远处。 【答案】（1）当开关与1连接时，电容器所带电荷量q为5C； （2）金属棒a第一次穿过右侧磁场区域的过程中，金属棒b上产生的焦耳热Q为0.6J； （3）金属棒a最终停在距OO'的距离为0.4m处。 【解答】解：（1）根据法拉第电磁感应定律得圆形线圈产生的电动势为： 其中：N＝500匝，r＝5cm＝0.05m 解得：E＝5V 电容器所带的电荷量为：q＝CE＝1×5C＝5C （2）设金属棒a第一次穿过磁场区域瞬间时的速度大小为v，金属棒a穿越磁场的过程，取向右为正方向，根据动量定理得： 其中： 联立解得：v＝2m/s 由能量守恒定律得金属棒b上产生的焦耳热为： 解得：Q＝0.6J （3）金属棒a穿过磁场区域后与金属棒b发生弹性碰撞，设碰撞后a、b的速度分别为va、vb，取向右为正方向，根据动量守恒定律与机械能守恒定律得： mav＝mava+mbvb 解得：va＝﹣1m/s 可知碰撞后a向左运动，b向右运动。根据（2）问的分析可知金属棒a向右穿越磁场过程速度减小了2m/s，因va的大小小于2m/s，故a向左不能完全通过磁场区 域。设金属棒a最终停在距OO'的距离为x处，取向右为正方向，根据动量定理得： 其中： 联立解得：x＝0.4m 答：（1）当开关与1连接时，电容器所带电荷量q为5C； （2）金属棒a第一次穿过右侧磁场区域的过程中，金属棒b上产生的焦耳热Q为0.6J； （3）金属棒a最终停在距OO'的距离为0.4m处。 52．如图甲所示，材质均匀的正方形金属框abcd放在足够长的绝缘光滑水平桌面上，金属框的质量M＝0.2kg，边长L＝0.4m，阻值R＝0.4Ω。一质量为m＝0.6kg的重物通过足够长的轻质细线绕过光滑定滑轮连接到cd边上，滑轮与金属框间的轻绳水平。建立如图甲所示的水平向右的坐标轴x，在0.2m≤x≤0.8m区间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.5T。初始时线框ab边位于x＝0处，在沿x轴正方向的拉力F作用下，金属框由静止开始向右做匀加速直线运动，当ab边进入磁场后，金属框速度v随位置x变化的图像如图乙所示。已知重力加速度g取10m/s2，求金属框： （1）ab边刚进入磁场时，ab间的电压U； （2）ab边进入磁场前，细线的张力大小T； （3）从开始进入到完全穿出磁场过程中，F所做的功WF； （4）从开始进入到完全穿出磁场过程中，F随位置x变化的关系式。 【答案】（1）ab边刚进入磁场时，ab间的电压U为0.15V； （2）ab边进入磁场前，细线的张力大小T为7.5N； （3）从开始进入到完全穿出磁场过程中，F所做的功WF为20.28J； （4）从开始进入到完全穿出磁场过程中，F随位置x变化的关系式为：F＝20.5x+6（N），（0.2 m≤x≤0.6 m，0.8 m≤x≤1.2m ）；F＝20x+6（N），（0.6 m＜x＜0.8 m）。 【解答】（1）由图乙可知，当ab边刚进入磁场时，位移x1＝0.2m，速度v1＝1m/s。 根据法拉第电磁感应定律得：E1＝BLv1 根据闭合电路欧姆定律得：， 解得：U＝0.15V （2）ab边进入磁场前，对重物，根据牛顿第二定律得：T﹣mg＝ma1 由运动学公式得： 解得：T＝7.5N （3）由图乙可知：v＝5x（m/s），则有： 当cd边刚好进入磁场时，x2＝0.2m+0.4m＝0.6m，可得此时速度为：v2＝3m/s； 当ab边刚好离开磁场时，x3＝0.8m，可得此时速度为：v3＝4m/s； 当cd边刚好离开磁场时，x4＝0.8m+0.4m＝1.2m，可得此时速度为：v4＝6m/s。 金属框开始进入到完全穿出磁场的过程中，对M和m组成的系统，根据动能定理得： ab边进、出磁场的过程有：E＝BLv，，F安＝BIL 联立可得：，可得安培力F按大小与位置x成正比。 故线框进入磁场的过程中，安培力所做的功为 故线框穿出磁场的过程中，安培力所做的功为 W安＝W安1+W安2 解得：WF＝20.28J （4）由图乙可知：v＝kx，其中：k＝5s﹣1，则有： ab边进、出磁场的过程中，对M和m系统，根据牛顿第二定律得： F﹣F安﹣mg＝（M+m）a 解得：F＝20.5x+6（N），（0.2 m≤x≤0.6 m，0.8 m≤x≤1.2m ） cd边刚好进入磁场到ab边刚好离开磁场的过程中，对M和m系统有 F﹣mg＝（M+m）a 解得：F＝20x+6（N），（0.6 m＜x＜0.8 m） 答：（1）ab边刚进入磁场时，ab间的电压U为0.15V； （2）ab边进入磁场前，细线的张力大小T为7.5N； （3）从开始进入到完全穿出磁场过程中，F所做的功WF为20.28J； （4）从开始进入到完全穿出磁场过程中，F随位置x变化的关系式为：F＝20.5x+6（N），（0.2 m≤x≤0.6 m，0.8 m≤x≤1.2m ）；F＝20x+6（N），（0.6 m＜x＜0.8 m）。 十五．电磁感应过程中的电路类问题（共6小题） 53．（多选）如图所示，两条足够长的光滑导轨MN、PQ平行固定在水面上，导轨间距为L＝1m，电阻不计，两导体棒a、b垂直放置于导轨上，导体棒a的电阻不计，b棒接入电路的阻值为R＝1Ω，单刀双掷开关1接电容为C＝0.5F的电容器上，初始状态，电容器不带电。电容器的右侧有竖直向下的匀强磁场B1＝1T，电容器左侧有竖直向上的匀强磁场B2＝0.5T，导体棒a通过细线跨过光滑定滑轮与竖直悬挂的重物A相连，已知重物A、两导体棒a、b三者的质量均为m＝1kg。现将开关S置于1位置，由静止释放重物A，同时开始计时，t1＝0.25s时断开开关S，t2＝0.45s时将开关S置于2位置，导体棒b开始运动；t3时刻两导体棒的加速度大小相等。已知运动过程中，a、b两棒始终垂直于导轨，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．t1时刻电容器极板上储存的电荷量为0.5C B．0～t2时间内导体棒a的位移大小为0.425m C．t3时刻导体棒a的加速度大小为 D．t3时刻回路的产热功率为25W 【答案】ABD 【解答】解：A、0～t1时间内对导体棒a与重物A整体，根据牛顿第二定律得：mg﹣B1IL＝2ma1 由：，ΔQ＝CΔU，ΔU＝ΔE＝B1LΔv，可得：I＝CB1LCB1La1 联立解得此时间内导体棒a的加速度为：，解得： 可知此时间内导体棒a做匀加速运动，t1时刻导体棒a的速度大小为：v1＝a1t1＝4×0.25m/s＝1m/s t1时刻电容器极板上储存的电荷量为：Q＝CB1Lv1＝0.5×1×1×1C＝0.5C，故A正确； B、断开开关S后，对导体棒a与重物A整体，根据牛顿第二定律得：mg＝2ma2 t2时刻导体棒a的速度大小为：v2＝v1+a2（t2﹣t1），解得：v2＝2m/s 0～t1时间段导体棒a运动的位移大小为：，解得：x1＝0.125m t1～t2时间段导体棒a运动的位移大小为： 0～t2时间内导体棒a的位移大小为：x1+x2＝0.125m+0.3m＝0.425m，故B正确； CD、设t3时刻导体棒a的加速度大小为a3，此时根据牛顿第二定律得： 对导体棒a与重物A整体有：mg﹣B1I1L＝2ma3 对导体棒b有：B2I1L＝ma3 联立解得：，I1＝5A 此时回路的产热功率为：P＝I2R＝52×1W＝25W，故C错误，D正确。 故选：ABD。 54．（多选）如图所示，足够长的U形光滑金属导轨平面与水平面成θ角（0＜θ＜90°），其中MN和PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，如棒接入电路的电阻为R，当流过ab棒某一横截面的电荷量为q时，ab棒速度的大小为v，则金属棒ab在这一过程中（　　） A．运动的平均速度大小为 B．下滑位移的大小为 C．产生的焦耳热为qBLv D．机械能转化为内能 【答案】BD 【解答】解：A、金属棒ab开始做加速度逐渐减小的变加速运动，不是匀变速直线运动，平均速度不等于v，根据速度—时间图象面积表示位移可知，棒的变加速运动的位移大于匀加速运动的位移，则平均速度应大于v；故A错误。 B、设棒下滑位移的大小为x。由电量计算公式qΔt，，，ΔΦ＝BLx联立可得：x，故B正确。 C、根据能量守恒定律得棒产生的焦耳热为：Q＝mgxsinθ 假设棒的速度为v时做匀速运动，则有：mgsinθ 结合x，得：Q＝qBLvqBLv，故C错误。故C错误。 D、棒在下滑过程中，克服安培力做功，其机械能减少转化为内能，故D正确。 故选：BD。 55．（多选）如图所示，两个正方形虚线框之间的四个区域有大小相等的匀强磁场，左侧两个区域垂直纸面向里，右侧两个区域垂直纸面向外．现有一个大小与磁场区域外边缘等大的正方形金属线框abcd正对着磁场区域水平向右匀速运动，在线圈通过磁场区域时有下面四个图象，其中A是电路中电流时间图象，B是线圈中bc部分两端电压时间图象，C是线框受到的安培力时间图象，D是线框中焦耳热功率时间图象，则可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解答】解：A、线框bc边从开始进入磁场到运动到磁场区域中线的过程中： 有效的切割长度L均匀减小，根据公式E＝BLv可知，回路中产生的感应电动势均匀减小，感应电流均匀减小；根据楞次定律判断可知，感应电流方向沿逆时针； bc边从磁场区域中线到磁场右侧的过程中，有效的切割长度L均匀增大，根据公式E＝BLv可知，回路中产生的感应电动势均匀增大，感应电流均匀增大；根据楞次定律判断可知，感应电流方向沿顺时针； 同理，线框ad边通过磁场的整个过程中，感应电流先沿顺时针后沿逆时针，先均匀减小后均匀增大，故A正确。 B、线框bc边通过磁场的过程中，bc部分两端电压是外电压，等于其余三边的电压之和，等于感应电动势的，先均匀减小后均匀增大。Ubc先正后负；线框ad边通过磁场的过程中，bc部分外电压的，等于感应电动势的先均匀增大后均匀减小。Ubc先正后负；但ad与bc经过同一位置时，此过程bc电压较小，所以两个过程中图线不平行，故B错误。 C、根据F＝BIL知，线框bc边通过磁场的过程中安培力应先均匀减小后均匀增大，方向向左；线框ad边通过磁场的过程中安培力应先均匀后均匀减小，方向向左；故C错误。 D、根据公式P＝I2R分析可知，焦耳热功率先非线性减小，后非线性增大，再先非线性减小，后非线性增大，故D正确。 故选：AD。 56．如图甲所示，竖直放置的光滑平行金属导轨MN、PQ相距L，在M点和P点间接有一个阻值为R的电阻，在两导轨间的矩形区域OO1O1′O′内有垂直导轨平面向里、宽为d的匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、电阻为r的导体棒ab垂直地搁在导轨上，与磁场的上边界相距d0。现使ab棒由静止开始释放，棒ab在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持水平，导轨的电阻不计）。 （1）求棒ab离开磁场的下边界时的速度大小； （2）讨论棒ab可能出现的运动情况，并作出对应的v﹣t图像； （3）求金属杆自下落至穿出磁场所用的时间t； （4）如图乙所示，当在导轨的PM端通过导线将电容为C、击穿电压为Ub的平行板电容器连接，在t＝0时在磁场中无初速度地释放金属棒ab、不考虑电磁辐射，且磁场足够大，当金属棒电阻r＝0时，求电容器达到击穿电压所用的时间。 【答案】答：（1）棒ab离开磁场的下边界时的速度大小为； （2）见解析； （3）金属杆自下落至穿出磁场所用的时间为 ； （4）电容器达到击穿电压所用的时间 【解答】解：（1）根据题意，设棒ab离开磁场的边界前做匀速运动的速度为v，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为 E＝BLv 根据闭合电路的欧姆定律，电路中的电流为 对棒ab，由平衡条件得 mg﹣BIL＝0 联立解得 ； （2）根据动能定理 解得ab棒进入磁场区域时的速度为 ①当v0＝v，即 时，棒进入磁场后做匀速直线运动； ②当v0＜v，即 时，棒进入磁场后先做加速度减小的加速运动，后做匀速直线运动； ③当v0＞v，即 时，棒进入磁场后先做加速度减小的减速运动，后做匀速直线运动，离开磁场后都做自由落体运动。三种情况下，对应的v﹣t图分别为 ； （3）根据匀变速直线运动的规律 解得金属棒自由落体的时间为 将金属棒穿越磁场的过程中安培力的冲量为 IA＝BLq 金属棒穿越磁场的过程中通过电路的电量为 设金属棒穿越磁场所用的时间为t2，以竖直向下为正方向，由动量定理得 mgt2﹣IA＝mv﹣mv0。 联立解得 则金属棒自下落至穿出磁场的时间 ； （4）在电容器达到击穿电压前，设任意时刻t，流过金属棒的电流为i，由牛顿第二定律 mg﹣BiL＝ma① 设在t→t+Δt时间内，金属棒的速度由v→v+Δv，电容器两端电压U→U+ΔU，带电量q→q+Δq，则有 代入①得 故金属棒做初速度为0的匀加速直线运动，当电容器达到击穿电压时，金属棒的速度为 所以，电容器达到击穿电压所用的时间为 。 答：（1）棒ab离开磁场的下边界时的速度大小为； （2）见解析； （3）金属杆自下落至穿出磁场所用的时间为 ； （4）电容器达到击穿电压所用的时间 57．如图所示，光滑的平行导轨P、Q相距L＝1m，处在同一水平面中，导轨左端接有如图所示的电路，其中水平放置的平行板电容器C两极板间距离d＝10mm，定值电阻R1＝R3＝8Ω，R2＝2Ω，导轨电阻不计．磁感应强度B＝0.4T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．当金属棒ab（电阻不可忽略）沿导轨向右匀速运动（开关S断开）时，电容器两极板之间质量m＝1×10﹣14kg、带电量q＝1×10﹣15C的负电微粒恰好静止不动；当S闭合时，微粒以加速度a＝7m/s2向下做匀加速运动，取g＝10m/s2，求： （1）金属棒ab运动的速度多大？电阻多大？ （2）S闭合后，使金属棒ab做匀速运动的外力的功率多大？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）带电微粒在电容器两极间静止时，受向上的电场力和向下的重力作用而平衡 mg，由此式可解出电容器两极板间的电压为： U1V＝1V 由于微粒带负电，可知上板的电势高． 由于S断开，R2、R3的电压和等于电容器两端电压U1，R1上无电流通过，可知电路中的感应电流即为通过R2、R3的电流I1， I1A＝0.1A， 从而ab切割磁感线运动产生的感应电动势为： E＝U1+I1r＝1+0.1r…① S闭合时，带电微粒向下做匀加速运动，由牛顿第二定律可得： mgma 得：U2＝0.3V，此时的感应电流为I2A＝0.15A， 由闭合电路欧姆定律可得：E＝I2（R2+r）＝0.15（6+r）…② 解①②两式可得：E＝1.2V，r＝2Ω， 由E＝BLv可得：vm/s＝3m/s，即导体棒ab匀速运动的速度v＝3m/s，电阻 r＝2Ω （2）S闭合时，通过ab的电流I2＝0.15A，ab所受的安培力为 F2＝BI2L＝0.4×0.15×1N＝0.06N ab以速度v＝3m/s做匀速运动，所受外力F必与磁场力F2大小相等、方向相反，即F＝0.06N，方向向右． 可见，外力的功率为：P＝Fv＝0.06×3W＝0.18W 答： （1）金属棒ab运动的速度大小是3m/s，电阻是2Ω． （2）闭合后，使金属棒ab做匀速运动的外力的功率是0.18W． 58．如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L＝1m，导轨平面与水平面夹角α＝30°，导轨电阻不计。磁感应强度为B1＝2T的匀强磁场垂直导轨平面向上，长为L＝1m的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m1＝2kg、电阻为R1＝1Ω．两金属导轨的上端连接右侧电路，电路中通过导线接一对水平放置的平行金属板，两板间的距离和板长均为d＝0.5m，定值电阻为R2＝3Ω，现闭合开关S并将金属棒由静止释放，重力加速度为g＝10m/s2，试求： （1）金属棒下滑的最大速度为多大？ （2）当金属棒下滑达到稳定状态时，R2消耗的电功率P为多少？ （3）当金属棒稳定下滑时，在水平放置的平行金属间加一垂直于纸面向里的匀强磁场B2＝1.5T，在下板的右端且非常靠近下板的位置有一质量为m2＝6×10﹣4kg、带电量为q＝﹣2×10﹣4C的液滴以初速度v水平向左射入两板间，该液滴可视为质点。要使带电粒子能从金属板间射出，初速度v应满足什么条件？（不计空气阻力） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当金属棒匀速下滑时速度最大，设最大速度为vm， 根据共点力的平衡条件可得：m1gsinα＝B1IL， 而I， 所以有：m1gsinα， 解得：vm＝10m/s； （2）整个回路消耗的电功率为P＝m1gsinα•vm＝2×10×0.5×10W＝100W， R2消耗的电功率为：P2； （3）当金属棒稳定下滑时，R2两端的电压为U2，则： ，上极板带正电； 电场力为：， 重力为m2g＝6×10﹣3N，所以带电粒子进入磁场做匀速圆周运动； 当带电粒子从左上方边界射出时速度为v1，半径为r1，轨迹如图所示， 根据几何关系可得r1＝d＝0.5m， 根据洛伦兹力提供向心力可得：qv1B2＝m2， 解得：v1＝0.25m/s； 同理可得，当带电粒子从右上方边界射出时速度为v2，半径为r2， 根据几何关系可得r20.25m， 根据洛伦兹力提供向心力可得：qv2B2＝m2， 解得：v1＝0.125m/s； 所以速度范围为v≥0.25m/s或v≤0.125m/s； 答：（1）金属棒下滑的最大速度为10m/s； （2）当金属棒下滑达到稳定状态时，R2消耗的电功率P为75W； （3）速度范围为v≥0.25m/s或v≤0.125m/s。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 法拉第电磁感应定律【十五大题型】 一．法拉第电磁感应定律的内容和表达式（共6小题） 二．导体平动切割磁感线产生的感应电动势（共10小题） 三．导体转动切割磁感线产生的感应电动势（共3小题） 四．根据B-t或者φ-t图像计算感应电动势（共3小题） 五．电磁感应中的其他图像问题（共3小题） 六．线圈进出磁场的动力学问题（共3小题） 七．单杆在导轨上无外力作用下切割磁场的运动问题（共2小题） 八．单杆在导轨上有外力作用下切割磁场的运动问题（共3小题） 九．双杆在等宽导轨上切割磁场的运动问题（共3小题） 十．竖直平面内的导轨滑杆模型（共3小题） 十一．倾斜平面内的导轨滑杆模型（共2小题） 十二．动量定理在电磁感应问题中的应用（共2小题） 十三．电磁感应过程中的动力学类问题（共3小题） 十四．电磁感应过程中的能量类问题（共6小题） 十五．电磁感应过程中的电路类问题（共6小题） 一．法拉第电磁感应定律的内容和表达式（共6小题） 1．如图所示，AB是一根裸导线，单位长度的电阻为R0，一部分弯曲成直径为d的圆圈，圆圈导线相交处导电接触良好。圆圈所在区域有与圆圈平面垂直的均匀磁场，磁感应强度为B0导线一端B点固定，A端在沿BA方向的恒力F作用下向右缓慢移动，从而使圆圈缓慢缩小。设在圆圈缩小过程中始终保持圆的形状，设导体回路是柔软的，此圆圈从初始的直径d到完全消失所需时间t为（　　） A． B． C． D． 2．（多选）单匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，转轴垂直于磁场．若线圈所围面积里磁通量随时间变化的规律如图所示．则（　　） A．线圈中O时刻感应电动势最小 B．线圈中C时刻感应电动势为零 C．线圈中C时刻感应电动势最大 D．线圈从O至C时间内平均感应电动势为0.4 V 3．如图所示，固定在匀强磁场中的水平导轨ab、cd的间距为L1＝0.5m，金属棒ad与导轨左端bc的距离为L2＝0.8m，整个闭合回路的电阻为R＝0.2Ω，磁感应强度为B0＝1T的匀强磁场竖直向下穿过整个回路．ad杆通过滑轮和轻绳连接着一个质量为m＝0.04kg的物体，不计一切摩擦，现使磁场以0.2T/s的变化率均匀地增大．取g＝10m/s2．试求： （1）金属棒上电流的方向． （2）感应电动势的大小． （3）物体刚好离开地面的时间． 4．n＝100匝的圆形线圈，处在如图所示的磁场内（线圈右边的电路中没有磁场），磁场均匀增大，线圈磁通量的变化率0.004Wb/s，线圈电阻r＝1Ω，R＝3Ω，求： （1）线圈产生的感应电动势大小． （2）R两端的电压和R中的电流方向． 5．如图，匀强磁场的磁感应强度方向垂直于纸面向里，大小随时间的变化率k，k为正的常量．用电阻率为ρ、横截面积为S的硬导线做成一边长为l的方框．将方框固定于纸面内，其右半部位于磁场区域中．求： （1）导线中感应电流的大小； （2）磁场对方框作用力的大小随时间的变化率． 6．如图1所示，一个圆形线圈的匝数n＝1000，线圈面积S＝200cm2，线圈的电阻r＝1Ω，线圈外接一个阻值R＝4Ω的电阻，把线圈放入一方向垂直线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度随时间变化规律如图2所示；求： （1）前4s内的感应电动势 （2）前5s内的感应电动势． 二．导体平动切割磁感线产生的感应电动势（共10小题） 7．如图，水平面内两导轨间距1m，处于磁感应强度B＝1T的匀强磁场中，导轨的左端接有电阻R＝3Ω、长1m的导体棒PQ垂直导轨，以4m/s的速度向右匀速滑动，导体棒电阻为1Ω，导轨的电阻忽略不计。则下列说法正确的是（　　） A．P点的电势高于Q点，PQ两点电势差的大小为4V B．P点的电势高于Q点，PQ两点电势差的大小为3V C．Q点的电势高于P点，PQ两点电势差的大小为4V D．Q点的电势高于P点，PQ两点电势差的大小为3V 8．（多选）如图所示，在竖直平面内有一直角坐标系xOy，第一象限内存在方向垂直坐标平面向外的磁场，磁感应强度大小沿y轴方向不变，沿x轴正方向按照B＝kx的规律变化。一质量m＝0.4kg、电阻R＝0.1Ω、边长L＝0.2m的正方形导线框abcd在t＝0时刻ac边正好与y轴重合，a点与坐标原点O的距离y0＝0.8m，此时将导线框以v0＝5m/s的速度沿与x轴正方向成53°抛出，导线框运动一段时间后速度恰好减为0，整个运动过程导线框不转动，空气对导线框的阻力忽略不计，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin53°＝0.8、cos53°＝0.6，下列说法正确的是（　　） A．ad、bc边受到的安培力大小相等，方向相反 B．当导线框速度为0时，a点的纵坐标为1.6m C．在从抛出到速度为0的过程中，导线框产生的焦耳热为1.2J D．t＝0.5s时导线框的速度大小为1m/s 9．（多选）如图，光滑平行金属导轨由左右两侧倾斜轨道与中间水平轨道平滑连接而成，导轨间距为L。在左侧倾斜轨道上端连接有阻值为R的定值电阻。水平轨道间有宽均为d的两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，磁感应强度分别为B和2B，方向相反；质量为m、长度为L、电阻为R的金属棒ab由左侧倾斜轨道上h高处静止释放，金属棒第二次从左侧进入磁场Ⅰ区后，最终恰停在两磁场区分界线处。不计金属导轨电阻，金属棒通过倾斜轨道与水平轨道交界处无机械能损失，重力加速度为g（　　） A．金属棒第一次穿过磁场区域Ⅰ、Ⅱ的过程中，定值电阻上产生的焦耳热之比为1：4 B．金属棒第一次穿过磁场区域Ⅰ、Ⅱ的过程中，金属杆动量的变化量之比为1：4 C．金属棒先后两次穿过磁场区域Ⅱ的过程中，金属杆动能的变化量之比为2：1 D．金属棒第二次通过两磁场分界线时的速度为 10．（多选）如图，直角形金属杆aOb两臂等长，MPN是圆心位于O点的固定半圆环，半圆环由粗细相同的同种金属材料制成，P是半圆环的中间点，金属杆可绕O点在半圆环所在平面内转动，杆与半圆环始终保持接触良好。在半圆环内以OP为直径的圆形虚线区域内存在垂直于半圆环平面的磁场，现使金属杆从MOP位置开始绕O点以不变的角速度顺时针转过90°，下列磁场分布能使转动过程中回路里感应电流的功率保持不变的是（圆形虚线区域内划分的不同小区域内均为磁感应强度大小相等的匀强磁场）（　　） A． B． C． D． 11．（多选）如图甲所示，间距为L的光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，轨道左侧连接一定值电阻R．垂直导轨的导体棒ab在水平外力F作用下沿导轨运动，F随t变化的规律如乙图所示。在0～t0时间内，棒从静止开始做匀加速直线运动。t0，F1，F2均为已知量，棒和轨道电阻不计。则（　　） A．在t0以后，导体棒一直做匀加速直线运动 B．在t0以后，导体棒先做加速直线运动，最后做匀速直线运动 C．在0～t0时间内，通过导体棒横截面的电量为 D．在0～t0时间内，导体棒的加速度大小为 12．如图所示，两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为θ的绝缘斜面上，导轨上端连接一个定值电阻．导体棒a和b放在导轨上，与导轨垂直并良好接触．斜面上水平虚线PQ以下区域内，存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场．现对a棒施以平行导轨斜向上的拉力，使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨下端的b棒恰好静止．当a棒运动到磁场的上边界PQ处时，撤去拉力，a棒将继续沿导轨向上运动一小段距离后再向下滑动，此时b棒已滑离导轨．当a棒再次滑回到磁场边界PQ处时，又恰能沿导轨匀速向下运动．已知a棒、b棒和定值电阻的阻值均为R，b棒的质量为m，重力加速度为g，导轨电阻不计．求 （1）a棒在磁场中沿导轨向上运动的过程中，a棒中的电流强度I，与定值电阻R中的电流强度IR之比； （2）a棒质量ma； （3）a棒在磁场中沿导轨向上运动时所受的拉力F． 13．如图所示，光滑的平行水平金属导轨MN、PQ相距L，在M点和P点间连接一个阻值为R的电阻，在两导轨间cdfe矩形区域内有垂直导轨平面竖直向上、宽为d的匀强磁场，磁感应强度为B、一质量为m、电阻为r、长度也刚好为L的导体棒ab垂直置于导轨上，与磁场左边界相距d0．现用一个水平向右的力F拉棒ab，使它由静止开始运动，棒ab离开磁场前已做匀速直线运动，棒ab与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，F随ab与初始位置的距离x变化的情况如图（乙）所示，F0已知．求： （1）棒ab离开磁场右边界时的速度； （2）棒ab通过磁场区域的过程中整个回路所消耗的电能． 14．相距L＝1.5m的足够长金属导轨竖直放置，质量为m1＝1kg的金属棒ab和质量为m2＝0.27kg的金属棒cd均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图（a）所示，虚线上方磁场方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同．ab棒光滑，cd棒与导轨间动摩擦因数为μ＝0.75，两棒总电阻为1.8Ω，导轨电阻不计．t＝0时刻起，ab棒在方向竖直向上、大小按图（b）所示规律变化的外力F作用下，由静止沿导轨向上匀加速运动，同时也由静止释放cd棒．g取10m/s2 （1）求磁感应强度B的大小和ab棒加速度大小； （2）已知在2s内外力F做功40J，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热； （3）求出cd棒达到最大速度所对应的时刻t1． 15．光滑的水平长直轨道放在匀强磁场B＝0.25T中，轨道宽0.4m，一导体棒长也为0.4m，质量0.1kg，电阻r＝0.05Ω，它与导轨接触良好。当开关与a接通时，电源可提供恒定的1A电流，电流方向可根据需要进行改变，开关与b接通时，电阻R＝0.05Ω，若开关的切换与电流的换向均可在瞬间完成，求： ①当棒中电流由M流向N时，棒的加速度的大小和方向是怎样的； ②当开关始终接a，要想在最短时间内使棒向左移动4m而静止，则棒的最大速度是多少； ③要想棒在最短时间内向左移动7m而静止，则棒中产生的焦耳热是多少？ 16．如图所示，两条间距为L、电阻不计的光滑平行金属导轨，固定在水平绝缘平台上。左侧圆弧部分处于竖直面内，右侧平直导轨端点与平台边缘对齐且水平导轨处于竖直向上磁感应强度大小为B的匀强磁场中。将金属棒ab、cd垂直于导轨放置，ab在外力作用下静止于圆弧轨道上距平台高度为h处，cd放在距轨道右端距离为x0的水平轨道上保持静止。将ab由静止释放，一段时间后两棒分别脱离轨道，且从脱离轨道至落地两棒沿水平方向的位移之比为s1：s2＝2：5。两棒未发生碰撞，导体棒ab、cd，质量分别为2m、m，有效电阻均为R，重力加速度为g，忽略空气阻力。求： （1）导体棒ab脱离轨道时速度的大小； （2）导体棒cd在轨道上运动的最小加速度； （3）导体棒cd在导轨上运动的时间。 三．导体转动切割磁感线产生的感应电动势（共3小题） 17．（多选）如图所示是法拉第做成的世界上第一台发电机模型的原理图．将铜盘放在磁场中，让磁感线垂直穿过铜盘；图中a、b导线与铜盘的中轴线处在同一竖直平面内；转动铜盘，就可以使闭合电路获得电流．若图中铜盘半径为L，匀强磁场的磁感应强度为B，回路总电阻为R，从上往下看逆时针匀速转动铜盘的角速度为ω．则下列说法正确的是（ ） A．回路中有大小和方向周期性变化的电流 B．回路中电流大小恒定，且等于 C．回路中电流方向不变，且从b导线流进灯泡，再从a导线流向旋转的铜盘 D．若将匀强磁场改为仍然垂直穿过铜盘的按正弦规律变化的磁场，不转动铜盘，灯泡中不会有电流流过 18．如图所示，OAC的半径为l、圆心角为120°的扇形金属框，O点为圆心，OA边与OC边电阻不计；圆弧AC单位长度的电阻相等，总阻值为4r．长度也为l、电阻为r的金属杆OD绕O点从OA位置以角速度ω顺时针匀速转动，整个过程中金属杆两端与金属框接触良好。求： （1）金属杆CD转过60°时它两端的电势差UOD； （2）金属杆OD转过120°过程中，金属杆OD中的电流I与转过的角度θ的关系式。 19．如图甲所示，半径为r的金属圆环水平放置，三条电阻均为R的导体棒Oa、Ob、Oc互成120°角连接在圆心O和圆环上，圆环绕经过圆心O的竖直金属转轴以大小为ω的角速度按图中箭头方向匀速转动。一方向竖直向下的匀强磁场区与圆环所在平面相交，相交区域为如图虚线的菱形（顶角为60°的那个顶点位于O处、其它三个顶点在圆环外）．C为水平放置的平行板电容器，通过固定的电刷P和Q连接在圆环和金属转轴上，电容器极板长为L，两极板的间距为d．现使一细电子束沿两板间的中线以大小为vO（vO）的初速度连续不断地射入电容器C。 （1）设磁感应强度为B，以导体棒Ob开始进入磁场为计时起点。请在乙图坐标系中画出电刷P和Q间电压U与时间t的关系图象（至少画出圆环转动一周的图象） （2）已知电子电荷量为e，质量为m．忽略圆环的电阻、电容器的充放电时间及电子所受重力和阻力。欲使射入的电子全部都能通过电容器C，则匀强磁场的磁感应强度B的大小应满足什么条件？ 四．根据B-t或者φ-t图像计算感应电动势（共3小题） 20．如图甲所示，单匝正方形线框abcd的电阻R＝0.5Ω，边长L＝20cm，匀强磁场垂直于线框平面，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。求： （1）0～2s内通过ab边横截面的电荷量q； （2）3s时ab边所受安培力的大小F； （3）0～4s内线框中产生的焦耳热Q。 21．在如图甲所示的电路中，螺线管匝数n＝1500匝，横截面积S＝20cm2．螺线管导线电阻r＝1.0Ω，R1＝4.0Ω，R2＝5.0Ω，C＝30μF．在一段时间内，穿过螺线管的磁场的磁感应强度B按如图乙所示的规律变化．求： ①求螺线管中产生的感应电动势； ②闭合S，电路中的电流稳定后，求通过电阻R1的电流的大小； ③闭合S后一段时间又断开，求S断开后通过R2的电量． 22．如图（a）所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1连接成闭合回路，线圈的半径为r1，在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图（b）所示，图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0导线的电阻不计，求0至t1时间内 （1）通过电阻R1上的电流大小和方向； （2）通过电阻R1上的电量q及电阻R1上产生的热量。 五．电磁感应中的其他图像问题（共3小题） 23．如图（a）所示，间距为l、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上。在区域I内有方向垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度恒为B不变；在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度Bt的大小随时间t变化的规律如图（b）所示。t＝0时刻在轨道上端的金属细棒ab从如图位置由静止开始沿导轨下滑，同时下端的另一金属细棒cd在位于区域I内的导轨上也由静止释放。在ab棒运动到区域Ⅱ的下边界EF之前，cd棒始终静止不动，两棒均与导轨接触良好。 已知cd棒的质量为m、电阻为R，ab棒的质量、阻值均未知，区域Ⅱ沿斜面的长度为l，在t＝tx时刻（tx未知）ab棒恰好进入区域Ⅱ，重力加速度为g。求： （1）区域I内磁场的方向； （2）通过cd棒中的电流大小和方向； （3）ab棒开始下滑的位置离区域Ⅱ上边界的距离； （4）ab棒开始下滑至EF的过程中，回路中产生总的热量。（结果用B、l、θ、m、R、g表示） 24．如图所示，MN、PQ为足够长的光滑平行导轨，间距L＝0.5m。导轨平面与水平面间的夹角θ＝30°．NQ⊥MN，NQ间连接有一个R＝3Ω的电阻。有一匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B0＝1T．将一根质量为m＝0.02kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好，金属棒的电阻r＝2Ω，其余部分电阻不计。现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行。当金属棒滑行至cd处时速度大小开始保持不变，cd距离NQ为s＝0.5m，g＝10m/s2。 （1）求金属棒达到稳定时的速度是多大。 （2）金属棒从静止开始到稳定速度的过程中，电阻R上产生的热量是多少？ （3）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t＝0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，则t＝1s时磁感应强度应为多大？ 25．一个圆形线圈，共有n＝10匝，其总电阻r＝4.0Ω．线圈与阻值R0＝16Ω的外电阻连成闭合回路，如图甲所示．线圈内部存在着一个边长l＝0.20m的正方形区域，其中有分布均匀但强弱随时间变化的磁场，图乙显示了一个周期内磁场的变化情况，周期T＝1.0×10﹣2s，磁场方向以垂直线圈平面向外为正方向．求： （1）t时刻，电阻R0上的电流大小和方向； （2）0～时间内，流过电阻R0的电量； （3）一个周期内电阻R0的发热量． 六．线圈进出磁场的动力学问题（共3小题） 26．有一匀强磁场区域，区域的上下边界MM′、NN′与水平面平行，磁场的磁感应强度为B，方向如图所示，磁场上下边界的距离为H．一矩形线圈abcd位于竖直平面内，其质量为m，电阻为R，ab边长L1，bd边长L2，且L2＜H．现令线框从离磁场区域上边界MM′的距离为h处自由下落，当cd边已进入磁场，ab边还未进入磁场的某一时刻，线框的速度已到达其完全进入磁场前的最大值，线框下落过程中cd边始终与磁场边界平行。试求： （1）线框完全进入磁场前速度的最大值； （2）从线框开始下落到cd边刚刚到达磁场区域下边界NN′的过程中，磁场作用于线框的安培力所做的功； （3）线框cd边刚穿出磁场区域下边界NN′时线框的加速度。 27．一个质量m＝16g，长d＝0.5m，宽L＝0.1m，电阻R＝0.1Ω的矩形线框从高处自由落下，经过5m高度，下边开始进入一个跟线框平面垂直的匀强磁场．已知磁场区域的高度h2＝1.55m，线框进入磁场时恰好匀速下落．求： （1）磁场的磁感应强度多大？ （2）线框下边将要出磁场时的速率； （3）线框下边刚离开磁场时的加速度大小和方向． 28．均匀导线制成的单匝正方形闭合线框abcd，每边长为L，总电阻为R，总质量为m。将其置于磁感应强度为B的水平匀强磁场上方h处，如图所示。线框由静止自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd边始终与水平的磁场边界平行。当cd边刚进入磁场时：求： （1）求线框中产生的感应电动势大小； （2）求cd两点间的电势差大小； （3）若此时线框加速度恰好为零，求线框下落的高度h所应满足的条件。 七．单杆在导轨上无外力作用下切割磁场的运动问题（共2小题） 29．如图所示，足够长的金属导轨MN和PQ与R相连，平行地放在水平桌面上，质量为m的金属杆可以无摩擦地沿导轨运动．导轨与ab杆的电阻不计，导轨宽度为L，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过整个导轨平面．现给金属杆ab一个初速度v0，使ab杆向右滑行． （1）求回路的最大电流． （2）当滑行过程中电阻上产生的热量为Q时，杆ab的加速度多大？ 30．如图所示，两根水平金属导轨MN、PQ平行放置，相距为d，在导轨右端跨接一定值电阻R，导轨电阻不计．一长度为d、质量m、电阻为r的金属棒ef垂直于导轨静止放置，且与导轨保持良好接触．整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B．金属棒在受到水平向右的瞬时冲量作用后沿导轨滑行s后再次静止，测得此过程中电阻R上产生的电热为Q．已知棒与两导轨间的动摩擦因数均为μ，求： （1）金属棒的初速度v0； （2）金属棒在导轨上运动的时间t； （3）若其他条件不变，仅将磁场方向变为斜向上且与水平方向的夹角为α（图中虚线所示）．求金属棒受到水平向右的瞬时冲量作用后获得初速度v0时沿导轨滑行的加速度a． 八．单杆在导轨上有外力作用下切割磁场的运动问题（共3小题） 31．如图所示，阻值为R的金属棒从图示位置ab分别以v1，v2的速度沿光滑导轨（电阻不计）匀速滑到a′b′位置，若v1：v2＝2：3，则在这两次过程中求： （1）回路电流I1：I2＝？ （2）产生的热量Q1：Q2＝？ （3）通过任一截面的电荷量q1：q2＝？ （4）外力的功率P1：P2＝？ 32．如图所示，MN与PQ是两条水平放置彼此平行的光滑金属导轨，导轨间距为l＝0.5m．质量m＝1kg，电阻r＝0.5Ω的金属杆ab垂直跨接在导轨上，匀强磁场的磁感线垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B＝2T，导轨左端接阻值R＝2Ω的电阻，导轨电阻不计．t＝0时刻ab杆受水平拉力F的作用后由静止开始向右做匀加速运动，第4s末，ab杆的速度为v＝2m/s，重力加速度g＝10m/s2．求： （1）4s末ab杆受到的安培力FA的大小； （2）若0﹣4s时间内，电阻R上产生的焦耳热为0.4J，求这段时间内水平拉力F做的功； （3）若第4s末以后，拉力不再变化，且知道4s末至ab杆达到最大速度过程中通过杆的电量q＝1.6C，则ab杆克服安培力做功WA为多大？ 33．如图所示，两根正对的平行金属直轨道MN、M′N′位于同一水平面上，两轨道之间的距离l＝0.50m．轨道的MN′端之间接一阻值R＝0.40Ω的定值电阻，NN′端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP、N′P′平滑连接，两半圆轨道的半径均为R0＝0.5m．直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度B＝0.64T的匀强磁场中，磁场区域的宽度d＝0.80m，且其右边界与NN′重合．现有一质量m＝0.20kg、电阻r＝0.10Ω的导体杆ab静止在距磁场的左边界s＝2.0m处．在与杆垂直的水平恒力F＝2.0N的作用下ab杆开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F，结果导体杆ab通过半圆形轨道的最高点PP′后落到距NN′为S’＝1.0m处．已知导体杆ab在运动过程中与轨道接触良好，且始终与轨道垂直，导体杆ab与直轨道之间的动摩擦因数μ＝0.10，轨道的电阻可忽略不计，取g＝10m/s2，求： （1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小和方向； （2）导体杆穿过磁场的过程中整个电路产生的焦耳热． 九．双杆在等宽导轨上切割磁场的运动问题（共3小题） 34．如图所示，两条平行的长直金属细导轨KL、PQ固定于同一水平面内，它们之间的距离为l，电阻可忽略不计；ab和cd是两根质量皆为m的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨良好接触，并可沿导轨无摩擦地滑动．两杆的电阻皆为R．杆cd的中点系一轻绳，绳的另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为M的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆cd之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行．导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B．现两杆及悬物都从静止开始运动，当ab杆及cd杆的速度分别达到v1和v2时，两杆加速度的大小各为多少？ 35．如图，ab和cd是两条竖直放置的长直光滑金属导轨，MN和M′N′是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为m和2m。竖直向上的外力F作用在杆MN上，使两杆水平静止，并刚好与导轨接触；两杆的总电阻为R，导轨间距为l。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直。导轨电阻可忽略，重力加速度为g。在t＝0时刻将细线烧断，保持F不变，金属杆和导轨始终接触良好。求： （1）细线烧断后，任意时刻两杆运动的速度之比； （2）两杆分别达到的最大速度。 36．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨cd和ef，水平放置且相距L，在其左端各固定一个半径为r的四分之三金属光滑圆环，两圆环面平行且竖直．在水平导轨和圆环上各有一根与导轨垂直的金属杆，两金属杆与水平导轨、金属圆环形成闭合回路，两金属杆质量均为m，电阻均为R，其余电阻不计．整个装置放在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中．当用水平向右的恒力Fmg拉细杆a，达到匀速运动时，杆b恰好静止在圆环上某处，试求： （1）杆a做匀速运动时，回路中的感应电流； （2）杆a做匀速运动时的速度； （3）杆b静止的位置距圆环最低点的高度． 十．竖直平面内的导轨滑杆模型（共3小题） 37．如图所示，有一磁感应强度为0.1T的水平匀强磁场，垂直匀强磁场放置一很长的金属框架，框架上有一导体ab保持与框架边垂直、由静止开始下滑．已知ab长10cm，质量为0.1kg，电阻为0.1Ω，框架电阻不计，取g＝10m/s2．求： （1）导体ab下落的最大加速度和最大速度； （2）导体ab在最大速度时产生的电功率． 38．如图所示，竖直平面内有足够长、不计电阻的两组平行光滑金属导轨，宽度均为L＝0.5m，上方连接一个阻值R＝1Ω的定值电阻，虚线下方的区域内存在垂直纸面向里的磁感应强度B＝2T的匀强磁场．完全相同的两根金属杆1和2靠在导轨上，金属杆长与导轨等宽且与导轨接触良好，电阻均为r＝0.5Ω．将金属杆1固定在磁场的上边缘（仍在此磁场内），金属杆2从磁场边界上方h0＝0.8m处由静止释放，进入磁场后恰做匀速运动．（g取10m/s2） 求：（1）金属杆的质量m； （2）若金属杆2从磁场边界上方h1＝0.2m处由静止释放，进入磁场下落一段距离后做匀速运动．在金属杆2加速的过程中整个回路产生了1.4J的电热．求此过程中流过电阻R的电荷量q； （3）若金属杆2仍然从磁场边界上方h1＝0.2m处由静止释放，在金属杆2进入磁场的同时释放金属杆1，试求两根金属杆各自的最大速度． 39．如图所示，固定的竖直光滑金属导轨间距为L，上端接有阻值为R的电阻，处在方向水平、垂直导轨平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与下端固定的竖直轻质弹簧相连且始终保持与导轨接触良好，导轨与导体棒的电阻均可忽略，弹簧的劲度系数为k．初始时刻，弹簧恰好处于自然长度，使导体棒以初动能Ek沿导轨竖直向下运动，且导体棒在往复运动过程中，始终与导轨垂直． （1）求初始时刻导体棒所受安培力的大小F； （2）导体棒往复运动一段时间后，最终将静止．设静止时弹簧的弹性势能为Ep，则从初始时刻到最终导体棒静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少？ 十一．倾斜平面内的导轨滑杆模型（共2小题） 40．如图所示，MN、PQ为间距L＝0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN．导轨平面与水平面间的夹角θ＝37°，NQ间连接有一个R＝5Ω的电阻．有一匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B0＝1T．将一根质量为m＝0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻均不计．现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行．已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.5，当金属棒滑行至cd处时已经达到稳定速度，cd距离NQ为s＝2m．试解答以下问题：（g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8） （1）当金属棒滑行至cd处时回路中的电流多大？ （2）金属棒达到的稳定速度是多大？ （3）当金属棒滑行至cd处时回路中产生的焦耳热是多少？ （4）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t＝0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度B应怎样随时间t变化（写出B与t的关系式）？ 41．如图（a）所示，两个完全相同的“人”字型金属轨道面对面正对着固定在竖直平面内，间距为d，它们的上端公共轨道部分保持竖直，下端均通过一小段弯曲轨道与一段直轨道相连，底端置于绝缘水平桌面上．MM′、PP′（图中虚线）之下的直轨道MN、M′N′、PQ、P′Q′长度均为L且不光滑（轨道其余部分光滑），并与水平方向均构成37°斜面，在左边轨道MM′以下的区域有垂直于斜面向下、磁感应强度为B0的匀强磁场，在右边轨道PP′以下的区域有平行于斜面但大小未知的匀强磁场Bx，其它区域无磁场．QQ′间连接有阻值为2R的定值电阻与电压传感器（e、f为传感器的两条接线）．另有长度均为d的两根金属棒甲和乙，它们与MM′、PP′之下的轨道间的动摩擦因数均为μ．甲的质量为m、电阻为R；乙的质量为2m、电阻为2R．金属轨道电阻不计．先后进行以下两种操作： 操作Ⅰ：将金属棒甲紧靠竖直轨道的左侧，从某处由静止释放，运动到底端NN′过程中棒始终保持水平，且与轨道保持良好电接触，计算机屏幕上显示的电压﹣时间关系图象U﹣t图如图（b）所示（图中U已知）； 操作Ⅱ：将金属棒甲紧靠竖直轨道的左侧、金属棒乙（图中未画出）紧靠竖直轨道的右侧，在同一高度将两棒同时由静止释放．多次改变高度重新由静止释放，运动中两棒始终保持水平，发现两棒总是同时到达桌面．（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8） （1）试判断图（a）中的e、f两条接线，哪一条连接电压传感器的正接线柱； （2）试求操作Ⅰ中甲释放时距MM′的高度h； （3）试求操作Ⅰ中定值电阻上产生的热量Q； （4）试问右边轨道PP′以下的区域匀强磁场Bx的方向和大小如何？在图（c）上画出操作Ⅱ中计算机屏幕上可能出现的几种典型的U﹣t关系图象． 十二．动量定理在电磁感应问题中的应用（共2小题） 42．如图所示，平行光滑金属导轨间距为L，处在竖直向上的匀强磁场中，两导体棒ab、cd垂直导轨平行放置，与导轨始终接触良好，其中棒ab质量为m，棒cd质量为2m，两棒接入电路的电阻均为R0。开始时cd棒锁定在轨道上，对ab棒施加水平向右的恒定拉力F，经时间t其速度达到最大值v，此时解除对cd的锁定。导轨足够长且电阻不计。求： （1）匀强磁场的磁感应强度大小； （2）解除锁定前导体棒ab前进的距离及此过程中回路产生的焦耳热； （3）在经过足够长时间后，两导体棒各做什么性质的运动？此时回路中的电流为多大？（两棒仍然处在匀强磁场中） 43．如图，相距L＝1m、电阻不计的平行光滑长金属导轨固定在绝缘水平面上，两导轨左端间接有阻值R＝2Ω的电阻，导轨所在足够长区域内加上与导轨所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小B＝1T．现有电阻r＝1Ω，质量m＝1kg的导体棒ab垂直导轨放置且接触良好，当导体棒ab以速度v＝12m/s从边界MN进入磁场后。 （1）求棒ab刚进入磁场时的加速度大小； （2）棒ab进入磁场一段距离后，速度大小变为6m/s，求从进入磁场到此时的过程中电阻R产生的焦耳热为多少； （3）求棒ab最终停的位置。 十三．电磁感应过程中的动力学类问题（共3小题） 44．（多选）如图所示，间距为L0的两平行长直金属导轨水平放置，导轨所在空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长度均为L0的金属杆ab、cd垂直导轨放置，初始时两金属杆相距为L0，金属杆ab沿导轨向右运动的速度大小为v0，金属杆cd速度为零且受到平行导轨向右、大小为F的恒力作用。已知金属杆与导轨接触良好且整个过程中始终与导轨垂直，在金属杆ab、cd的整个运动过程中，两金属杆间的最小距离为L1，重力加速度大小为g，两金属杆的质量均为m，电阻均为R，金属杆与导轨间的动摩擦因数均为μ，金属导轨电阻不计，整个运动中金属杆ab没有处于静止的过程，下列说法正确的是（　　） A．金属杆cd运动过程中的最大加速度为 B．从金属杆cd开始运动到两金属杆间距离最小的时间为 C．金属杆ab运动过程中的最小速度为 D．金属杆cd的最终速度为 45．如图，两平行轨道固定于水平面内，其中MN、M′N′是两小段绝缘材料，其余部分是金属材料，轨道间距为d，轨道间分布着磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。轨道左侧接入包含电动势为E的直流电源、电容为C的电容器、单刀双掷开关S构成的电路，轨道右侧接入自感系数为L的电感线圈。质量为m、电阻为R的金属棒a垂直放置于轨道左侧某处，质量也为m、电阻不计的金属棒b垂直放置于绝缘材料上。现将S接1，待电容器充电完毕后，再将S接2。之后，a运动达到稳定状态，再与b发生弹性碰撞。不考虑其它电阻，不计一切摩擦，忽略电磁辐射，a、b均始终与轨道接触良好。 （1）S接通2瞬间，求金属棒a的加速度大小； （2）求金属棒a运动达到稳定状态时的速度大小； （3）某同学查阅教材后得知，电感线圈的自感电动势正比于电流的变化率，由此他猜测金属棒b在运动过程中做简谐运动。请证明。 46．如图1所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计．在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，并与导轨接触良好．整个装置处于方向竖直向上磁感应强度为B的匀强磁场中．现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动． （1）当ab杆刚好具有初速度v0时，求此时ab杆两端的电压U，a、b两端哪端电势高； （2）请在图2中定性画出通过电阻R的电流i随时间变化规律的图像； （3）若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图3所示．同样给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动．请分析说明ab杆的运动情况，并推导证明杆稳定后的速度为v． 十四．电磁感应过程中的能量类问题（共6小题） 47．（多选）如图所示，水平面上固定有形状为“”的足够长光滑金属导轨MON、PO'Q，OO'左右导轨的宽度分别为2L、L，两侧匀强磁场的方向均竖直向下，磁感应强度大小分别为B0和2B0，导体棒a、b垂直于导轨放在OO'两侧，长度分别为2L、L。已知导体棒的材料相同、横截面积相同，导体棒b的质量为m，电阻为R，两导体棒与导轨接触良好，不计导轨电阻。使导体棒a、b同时获得沿导轨的初速度，a的初速度向左、大小为v0，b的初速度方向向右、大小为2v0直到导体棒达到稳定状态的过程中，下列说法正确的是（　　） A．通过导体棒的最大电流为 B．a、b导体棒减速的加速度大小之比为1：2 C．a导体棒产生的热量为 D．导体棒a、b间的距离增加 48．（多选）如图所示，竖直方向两光滑平行金属导轨间距为L，处于垂直纸面的匀强磁场中，磁感应强度为B，杆的质量为m，定值电阻为R，其余电阻不计，电容器电容为C（未充电），金属杆与导轨接触良好，开关K与触点Ⅰ或Ⅱ接通，现让金属杆沿导轨无初速度下滑，在金属杆下滑距离为h的过程中，对该过程下列说法正确的是（　　） A．若开关K与触点Ⅰ接通，电阻R产生的焦耳热为mgh B．若开关K与触点Ⅰ接通，通过电阻R的电荷量为 C．若开关K与触点Ⅱ接通，杆的重力对杆的冲量为 D．若开关K与触点Ⅱ接通，电容器所充的电能为 49．如图，一组平行等间距的足够长导轨由倾角θ＝30°的倾斜导轨与水平导轨相连构成，导轨间距为l，在倾斜导轨的边界EF上方，存在垂直于斜面向上，大小为B的匀强磁场。现将质量为m，电阻为R的导体棒M，放在倾斜导轨顶端，与其相距d处（仍在磁场中）放置完全相同的导体棒N，发现两导体棒恰好不滑动。一质量为m0，可视为质点的小球，从水平轨道平面中轴线上方某点，以初速度v0平抛出，恰好平行于倾斜导轨，在M杆中心处与导体棒M发生弹性碰撞。已知m0，重力加速度为g，接触面间的最大静摩擦与滑动摩擦力相等。 （1）求小球与导体棒M碰后瞬间，N棒的加速度大小a； （2）若要保证M、N在磁场中不发生碰撞，求两导体棒初始距离d的最小值及N棒上产生焦耳热的最大值； （3）若N棒离开EF时的速度为（M仍在磁场中且与N未发生碰撞），为确保之后M棒也能离开磁场，则d应该满足的条件范围。 50．如图，水平固定一半径r＝0.4m的金属圆环，电阻R1＝6Ω的金属杆OP一端在圆环圆心O处，另一端与圆环接触良好，并以角速度ω＝50rad/s顺时针匀速转动。圆环内分布着垂直圆环平面向上，磁感应强度大小B1＝2T的匀强磁场。圆环边缘、圆心O分别与间距L＝0.5m的水平放置的足够长平行轨道相连，轨道连接段CE、DF为绝缘粗糙材料，XCE＝0.12m，轨道右边接有电容C＝0.04F的电容器。轨道内分布着垂直导轨平面向上，磁感应强度大小B2＝4T的匀强磁场。电阻R2＝2Ω，长度L＝0.5m，质量m＝0.02kg的金属棒MN垂直导轨静止放置。除已给电阻外其他电阻不计，除CE、DF段轨道均光滑，棒MN与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直。闭合K，当棒MN到达AB时，使OP停止转动并保持静止，已知棒MN在到达AB前已做匀速运动，AB与CD相距XAC＝0.12m。求： （1）闭合K瞬间棒MN所受安培力大小； （2）棒MN在到达AB前匀速运动时的速度大小； （3）棒MN从AB到CD过程产生的焦耳热； （4）当棒MN到EF，对棒MN施加水平向右F＝0.36N的恒力，经过2s后棒MN的速度大小。 51．某同学设计了一个电磁击发装置，其结构如图所示。间距为d＝1m的平行长直导轨置于水平桌面上，导轨中NO和N'O'段为绝缘材料，其余部分均为导电金属材料，两种材料平滑连接。导轨左侧与圆形线圈相连，线圈匝数为500匝、半径为5cm，线圈内存在垂直线圈平面竖直向上的匀强磁场。电容器通过单刀双掷开关与导轨相连，其电容为C＝1F。在MM'与NN'区域及OO'右侧宽度L＝0.8m范围内存在着匀强磁场，磁感应强度大小均为B＝0.5T，方向如图所示。初始时金属棒a处于NN'左侧某处（紧靠NN'），ma＝0.1kg，金属棒b静止于磁场右侧某处，mb＝0.3kg，Rb＝1Ω。当开关与1连接时，圆形线圈中磁场随时间均匀变化，变化率为。稳定后将开关拨向2，金属棒a以v0＝4m/s的速度向右弹出，穿过磁场区域后与金属棒b发生弹性碰撞，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，除金属棒b外其余电阻均不计，不计金属棒与导轨间摩擦。求： （1）当开关与1连接时，电容器所带电荷量q； （2）金属棒a第一次穿过右侧磁场区域的过程中，金属棒b上产生的焦耳热Q； （3）金属棒a最终停在距OO'多远处。 52．如图甲所示，材质均匀的正方形金属框abcd放在足够长的绝缘光滑水平桌面上，金属框的质量M＝0.2kg，边长L＝0.4m，阻值R＝0.4Ω。一质量为m＝0.6kg的重物通过足够长的轻质细线绕过光滑定滑轮连接到cd边上，滑轮与金属框间的轻绳水平。建立如图甲所示的水平向右的坐标轴x，在0.2m≤x≤0.8m区间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.5T。初始时线框ab边位于x＝0处，在沿x轴正方向的拉力F作用下，金属框由静止开始向右做匀加速直线运动，当ab边进入磁场后，金属框速度v随位置x变化的图像如图乙所示。已知重力加速度g取10m/s2，求金属框： （1）ab边刚进入磁场时，ab间的电压U； （2）ab边进入磁场前，细线的张力大小T； （3）从开始进入到完全穿出磁场过程中，F所做的功WF； （4）从开始进入到完全穿出磁场过程中，F随位置x变化的关系式。 十五．电磁感应过程中的电路类问题（共6小题） 53．（多选）如图所示，两条足够长的光滑导轨MN、PQ平行固定在水面上，导轨间距为L＝1m，电阻不计，两导体棒a、b垂直放置于导轨上，导体棒a的电阻不计，b棒接入电路的阻值为R＝1Ω，单刀双掷开关1接电容为C＝0.5F的电容器上，初始状态，电容器不带电。电容器的右侧有竖直向下的匀强磁场B1＝1T，电容器左侧有竖直向上的匀强磁场B2＝0.5T，导体棒a通过细线跨过光滑定滑轮与竖直悬挂的重物A相连，已知重物A、两导体棒a、b三者的质量均为m＝1kg。现将开关S置于1位置，由静止释放重物A，同时开始计时，t1＝0.25s时断开开关S，t2＝0.45s时将开关S置于2位置，导体棒b开始运动；t3时刻两导体棒的加速度大小相等。已知运动过程中，a、b两棒始终垂直于导轨，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．t1时刻电容器极板上储存的电荷量为0.5C B．0～t2时间内导体棒a的位移大小为0.425m C．t3时刻导体棒a的加速度大小为 D．t3时刻回路的产热功率为25W 54．（多选）如图所示，足够长的U形光滑金属导轨平面与水平面成θ角（0＜θ＜90°），其中MN和PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，如棒接入电路的电阻为R，当流过ab棒某一横截面的电荷量为q时，ab棒速度的大小为v，则金属棒ab在这一过程中（　　） A．运动的平均速度大小为 B．下滑位移的大小为 C．产生的焦耳热为qBLv D．机械能转化为内能 55．（多选）如图所示，两个正方形虚线框之间的四个区域有大小相等的匀强磁场，左侧两个区域垂直纸面向里，右侧两个区域垂直纸面向外．现有一个大小与磁场区域外边缘等大的正方形金属线框abcd正对着磁场区域水平向右匀速运动，在线圈通过磁场区域时有下面四个图象，其中A是电路中电流时间图象，B是线圈中bc部分两端电压时间图象，C是线框受到的安培力时间图象，D是线框中焦耳热功率时间图象，则可能正确的是（　　） A． B． C． D． 56．如图甲所示，竖直放置的光滑平行金属导轨MN、PQ相距L，在M点和P点间接有一个阻值为R的电阻，在两导轨间的矩形区域OO1O1′O′内有垂直导轨平面向里、宽为d的匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、电阻为r的导体棒ab垂直地搁在导轨上，与磁场的上边界相距d0。现使ab棒由静止开始释放，棒ab在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持水平，导轨的电阻不计）。 （1）求棒ab离开磁场的下边界时的速度大小； （2）讨论棒ab可能出现的运动情况，并作出对应的v﹣t图像； （3）求金属杆自下落至穿出磁场所用的时间t； （4）如图乙所示，当在导轨的PM端通过导线将电容为C、击穿电压为Ub的平行板电容器连接，在t＝0时在磁场中无初速度地释放金属棒ab、不考虑电磁辐射，且磁场足够大，当金属棒电阻r＝0时，求电容器达到击穿电压所用的时间。 57．如图所示，光滑的平行导轨P、Q相距L＝1m，处在同一水平面中，导轨左端接有如图所示的电路，其中水平放置的平行板电容器C两极板间距离d＝10mm，定值电阻R1＝R3＝8Ω，R2＝2Ω，导轨电阻不计．磁感应强度B＝0.4T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．当金属棒ab（电阻不可忽略）沿导轨向右匀速运动（开关S断开）时，电容器两极板之间质量m＝1×10﹣14kg、带电量q＝1×10﹣15C的负电微粒恰好静止不动；当S闭合时，微粒以加速度a＝7m/s2向下做匀加速运动，取g＝10m/s2，求： （1）金属棒ab运动的速度多大？电阻多大？ （2）S闭合后，使金属棒ab做匀速运动的外力的功率多大？ 58．如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L＝1m，导轨平面与水平面夹角α＝30°，导轨电阻不计。磁感应强度为B1＝2T的匀强磁场垂直导轨平面向上，长为L＝1m的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m1＝2kg、电阻为R1＝1Ω．两金属导轨的上端连接右侧电路，电路中通过导线接一对水平放置的平行金属板，两板间的距离和板长均为d＝0.5m，定值电阻为R2＝3Ω，现闭合开关S并将金属棒由静止释放，重力加速度为g＝10m/s2，试求： （1）金属棒下滑的最大速度为多大？ （2）当金属棒下滑达到稳定状态时，R2消耗的电功率P为多少？ （3）当金属棒稳定下滑时，在水平放置的平行金属间加一垂直于纸面向里的匀强磁场B2＝1.5T，在下板的右端且非常靠近下板的位置有一质量为m2＝6×10﹣4kg、带电量为q＝﹣2×10﹣4C的液滴以初速度v水平向左射入两板间，该液滴可视为质点。要使带电粒子能从金属板间射出，初速度v应满足什么条件？（不计空气阻力） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$