2025届高考新春迎新第一卷数学模拟练习（福建适用）

2025届高考新春迎新第一卷数学试题 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．二项式的展开式中的常数项为 A．60 B．-60 C．64 D．-64 3．已知向量满足，则在方向上的投影向量是 A． B． C． D． 4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若则 C．若,则 D．若，则 5．已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为 A．1 B．2 C． D． 6．数列是公差不为零的等差数列，它的前项和为，若且成等比数列，则 A． B． C． D．2 7．如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离， 施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为 A． B． C． D． 8．已知连续函数对任意实数恒有，当时，则以下说法中不正确的是 A． B．是上的奇函数 C．在上的最大值是8 D．在上递减 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在某次高中数学竞赛中，800名考生的成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，则 A．考生成绩的极差为60分 B．不及格的考生人数为200 C．考生成绩的平均分约为70.5分 D．考生成绩的中位数为70分 10．已知函数的最小正周期为，则 A．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 B．图象的对称中心为 C．在区间上有2个零点 D．方程在区间上的解之和为 11．已知正项数列满足，记的前项和为，前项积为，则 A． B．不可能为常数列 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知非零复数满足，则 . 13．圆与的位置关系为 ；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为 . 14．如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为 立方米.（精确到0.1立方米） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 记数列的前n项和为，已知，. (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 16．（15分） 近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球.某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多4S店中任意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量（单位：辆）进行调查.统计结果如下： 1店 2店 3店 4店 5店 6店 7店 8店 新能源汽车销售量 10 8 16 23 20 18 22 11 燃油汽车销售量 14 11 13 19 21 25 23 26 (1)若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率； (2)若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，求的分布列和数学期望； (3)新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为和.试比较和的大小.（结论不要求证明） 17．（15分） 如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如图2）. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)侧棱上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（17分） 已知双曲线的右焦点为，左顶点为，点在的渐近线上，且点到渐近线的距离为2，动直线交于两点. (1)求的方程； (2)若的方程为，点在上，且其横坐标与点的横坐标均不相等，证明：直线与直线的斜率之积为定值； (3)若经过点，直线与轴分别交于点，且的中点为，证明：为定点，并求点到的距离最大时的方程. 19．（17分） 若定义在上的函数满足:对任意，存在常数，都有成立，则称为函数的上界，最小的称为函数的上确界，记作 .与之对应，若定义在上的函数 满足：对任意，存在常数，都有成立，则称为函数的下界，最大的称为函数的下确界，记作. (1)若有下确界，则一定是的最小值吗?请举例说明. (2)已知函数，其中 . (i)若，证明：有下确界，没有上确界. (ii)若函数有下确界，求实数的取值范围，并证明 . 2 1 学科网（北京）股份有限公司 2025届高考新春迎新第一卷数学试题详细解析版 1．A 【分析】应用列举法写出集合A，再应用交运算求集合. 【详解】由题设，则 . 故选：A 2．A 【分析】由二项式的展开式通式求得常数项即可. 【详解】设二项式的展开式中的通项为 ，， 令，可得，, 故选：A. 3．D 【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 4．C 【分析】利用空间中线线，面面的位置关系判断即可. 【详解】对于选项A：若，当都平行于的交线时.满足条件，此时两个平面相交. 故A错误. 对于选项B：若，则有可能，故B错误. 对于选项C：若，则或，又因为，如果根据面面垂直的判定定理可得；如果，假设过n作平面与相交于直线l，由，可得，因为，所以，而，根据面面垂直判定定理即可得到，故C正确 对于选项D：若，则可能平行或异面.故D错误. 故选：C 5．A 【分析】由方程可得，根据椭圆的性质即可得结果. 【详解】由题意知，则， 所以椭圆上的点到焦点距离的最小值为． 故选：A． 6．B 【分析】根据等差数列性质可得，再根据等比中项运算可得，即可得结果. 【详解】设等差数列的公差， 因为，即， 又因为成等比数列，则， 即，整理可得， 所以. 故选：B. 7．C 【分析】根据题意，在直角和直角中，分别求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意，可得， 且， 在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：C. 8．C 【分析】令、及奇偶性定义判断A、B；令结合已知和单调性定义判断D；根据已知得，，结合单调性判断C. 【详解】A，对任意实数恒有，令，可得，正确； B，令，得，则，所以是奇函数，正确； D，令，则，当时， 所以，即，所以在均递减， 函数连续，所以在上递减，正确； C，由，得；令，得， 所以，，则，函数在上的最大值是6，错误； 故选：C 9．BC 【分析】结合频率分布直方图，结合极差的定义可判断A，利用频率、总数与频数的关系可判断B，利用频率分布直方图中平均数与中位数的求法可判断CD，从而得解. 【详解】对于A，由频率分布直方图可得，成绩的极差位于区间，即内， 不一定是60分，故A错误； 对于B，成绩在的频率为， 因此不及格的人数为，故B正确； 对于C，平均分约为，故C正确； 对于D，因为成绩在内的频率为，的频率为， 所以中位数约为，故D错误. 故选：BC. 10．ACD 【分析】利用三角恒等变换化简可得，再结合周期可求得把的解析式，利用图象变换可求得平移后的解析式为，可判断A；求得对称中心判断B，求得零点判断C；作出作出函数与的图象，数形结合可得方程在区间上的解之和判断D. 【详解】 ， 因为函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 把的图象向左平移个单位长度， 得到函数， 所以函数，又， 所以为偶函数，图象关于轴对称，故A正确； 由，所以， 所以图象的对称中心为，故B错误； 令，解得， 又，所以，所以或， 解得或，所以在区间上有2个零点，故C正确； 由，可得， 所以， 作出函数与的图象如图所示，可得有四个根， 记四个根为， 由图和正弦函数性质可知，，， 解得，，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．ACD 【分析】根据已知正项数列计算判断A,特殊数列代入判断B,应用前项和为，前项积为计算判断C,应用基本不等式计算得出，，累加累乘即可判断D. 【详解】因为是正项数列，所以则A正确; 若，满足，B不正确. ，C正确. 因为，所以, 故， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 当且仅当时，等号成立. 因为，所以，所以， 所以可得，当且仅当时，等号成立，故，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是结合应用基本不等式得出，，计算即可判断D. 12． 【分析】推导出，代入题干等式，即可得出的值. 【详解】设，则， 因为，则，则，故. 故答案为：. 13． 内含 【分析】先利用圆心距与两半径之差的比较得到两圆位置关系；再利用两圆内切推得，从而利用椭圆的定义即可得解． 【详解】如图，依题意，圆心，半径，圆心，半径，所以，则两圆内含； 设动圆的圆心，半径为，则， 依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中， 又，所以的轨迹方程为． 故答案为：内含；． 14．3.7 【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为， 设底面中心为，截面中心为，则，， 所以，所以截面为的面积为.    设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 帐篷围成几何体的体积为：（立方米）. 故答案为：3.7. 15．(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用推得，从而利用等比数列的定义即可证明，进而求得； （2）由（1），利用错位相减法求其前项和. 【详解】（1）因为， 当时，，又， 故； 当，时，由，得， 两式相减得，即， 则，即， 又，故，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 所以． （2）由（1）得， 所以, 所以， 则， 两式相减，得 ， 所以． 16．(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的有2家，利用古典概型概率公式求解即可. （2）的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出随机变量对应的概率即可得到分布列，然后利用数学期望公式求解即可； （3）根据表格中数据，计算样本数据的平均数，再利用方差公式求出样本方差，然后直接判断即可. 【详解】（1）由题可知：8家门店中新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的有2家，分别是：门店3，门店4， 所以若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率 （2）12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数为3，分别是：门店4，门店5，门店7， 从样本门店中随机抽取3个，12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，的所有可能取值为：0，1，2，3 所以， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 P 求的分布列和数学期望 ； （3）新能源汽车销售量的样本平均数 新能源汽车销售量的样本方差 燃油汽车销售量的样本平均数 燃油汽车销售量的样本方差 所以 17．(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据已知易得，再由面面垂直的性质证平面BCDE，最后应用线面垂直的性质证结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角即可； （3）设，，进而得到，证明平面得该面的法向量，通过的坐标表示列方程求参数，判断存在性. 【详解】（1）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，E为AD中点， 为等边三角形，如图2中O为BE的中点，则. 又平面平面BCDE，且平面平面，面， 所以平面BCDE，平面BCDE，所以. （2）如图2，连结OC，由已知得，又O为BE的中点，则. 由（1）知平面BCDE，面BCDE，则，， 以O为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图2） ，易知. ，，，， ，，. 设平面的一个法向量为，由， 得，即，取，得. 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）如图2，假设在侧棱上存在点P，使得平面. 设，， ， . 易知四边形BCDE为菱形，且，而，则， 由（1）知，，且都在面内，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 由，得. 所以侧棱上存在点P，使得平面，且. 18．(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析， 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离为和点在渐近线上，可以求得双曲线的方程； （2）设出点，，根据两点关于原点对称，以及三点在双曲线上消去纵坐标后代入斜率公式，最终化简即可得到定值； （3）由三点共线，可以求得点的纵坐标，同理可以求得点的纵坐标，从而求得中点的坐标；又由直线与双曲线方程联立，消去后根据韦达定理得到和，代入的纵坐标，化简可得为定值；又根据直线过定点，所以当直线与垂直时，点到的距离最大. 【详解】（1）因为焦点到渐近线的距离为，所以， 又点在渐近线上，所以， 解得， 所以的方程为. （2）设，， 由题可知，且,关于原点对称，所以. 因为的方程为，所以， 所以. 所以， 所以直线与直线的斜率之积为定值. （3）由（1）知，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，，. 由消去可得， 则，得，且. ，且. 如图，由三点共线，得， 同理， 因此 ， 所以， 故的中点为定点. 因为恒过点， 所以当直线与垂直时，点到的距离最大， 因为，所以直线的斜率为， 此时的方程为，即. 19．(1) 不一定是 的最小值，如； (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（i）举例，根据下确界的定义即可判断； （ii）直接求导得，得到其最小值即可得，再通过反证法假设其有上确界，根据上确界定义即可得到相反的结论； （ii）设，再利用导数证明，再利用反证法得其没有下确界，再利用隐零点法得的最小值为，结合（i）中结论即可证明. 【详解】（1）不一定是的最小值．如的下确界， 但0不是的最小值． （2）（i）证明：当时，，定义域， 所以． 令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以对任意的恒成立， 所以函数有下确界，． 假设函数有上确界，设，则， . 因为，这与是的上确界相矛盾，故假设不成立，函数无上确界． （ii）：先证明． 令函数，则， 设，则， 当，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增，所以，即． 若，当时，． 假设有下确界，则一定存在负数恒成立． 当时，有，矛盾， 故假设不成立，即时，没有下确界． 若，因为， 设，则， 所以在上单调递增． 当时，，所以． 因为连续函数满足， 所以函数在上有零点． 因为在上单调递增，所以在上只有一个零点，设为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，的最小值为． 结合（i），若函数有下确界，则实数的取值范围为． 又时，， 由（i）知，故的下确界． 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是利用反证法，假设其有上确界，再得到相反结论从而得到其无上确界. 2 答案解析 1 学科网（北京）股份有限公司 $$