精品解析：安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第二次大联考数学试题

2025届“皖南八校”高三第二次大联考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i是虚数单位，复数满足，那么的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出，得到虚部. 【详解】， 故的虚部是. 故选：A 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由集合的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】可得由，，则或， 所以. 故选：B. 3. 已知样本数据，，，的平均数是4，方差为2，现样本加入新数据3，4，5，则加入数据后新样本的方差是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设及平均数、方差公式有且新样本平均数，进而求新样本的方差. 【详解】由题意，知，所以， 加入3，4，5后，显然新样本平均数， 则. 故选：A 4. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设有、，利用向量加减、数乘的几何意义及数量积的定义求结果. 【详解】由题知八边形为正八边形，则，， 因为，所以， 所以. 故选：C 5. 已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为( ) A. 8 B. C. 9 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】把点代入抛物线中求出，再设利用两点间距离计算根据二次函数求最值即可. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，设， 则， 所以的最小值为. 故选：B. 6. 已知函数的图象与x轴相切，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设切点，再求导，根据题意列出，求解即可得出. 【详解】易知，定义域为，曲线与轴相切， 设切点为，，易得，故， 又，， 故，解得. 故选：B. 7. 若关于的方程在上有且仅有3个解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设有或，即或，，讨论在上解的个数求参数范围. 【详解】因为， 所以，解得或， 即或，，则在上一定有一个解是， 有以下两种情况： ①在上有且仅有2个异于的解，即且，，解得， ②在上有且仅有3个解，且其中有一个是，即，且或或，无解. 综上，. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 8. 已知随机变量X，且，则（ ） A. B. 若则 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质、期望及方差的性质逐项分析判断即可. 【详解】由题知，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； 由正态分布密度曲线关于对称， 利用对称性知，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 9. 已知圆锥顶点为S，O为底面圆心，轴截面是边长为2的等边三角形，C为底面圆周上一点，且，则下面选项中正确的是（ ） A. 圆锥体积等于 B. 圆锥的外接球与内切球的半径比为2:1 C. 平面 D. 二面角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用圆锥体积公式求体积判断A；圆锥的轴截面为，易知圆锥外接球和内切球的半径分别是外接圆和内切圆的半径，判断B；利用线面垂直的判断、性质推出矛盾判断C；取的中点，连接，，根据二面角的定义有二面角的平面角为，进而求其正切值判断D. 【详解】圆锥的底面半径，母线长，圆锥的高， 所以圆锥的体积，故A正确； 如图，圆锥的轴截面为， 圆锥外接球和内切球的半径分别是外接圆和内切圆的半径， 依次为，， 所以圆锥的外接球与内切球的半径比为2:1，故B正确； 若平面，平面，则， 又，且与交于点，所以平面， 又平面，则，显然不成立，故C错误； 取的中点，连接，， 因为，为的中点，则， 由垂径定理得，所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 在中，，则， 所以，即二面角的正切值为，故D正确. 故选：ABD 10. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：，下部分曲线：构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于M，N两点，是“心形”曲线E上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的最大值为 C. 直线与曲线E有4个交点，则m的取值范围为 D. 面积的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题设易知上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆，进而确定下半部分椭圆参数得方程，结合椭圆性质判断A、B；设直线方程，数形结合及联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求面积，判断C、D. 【详解】由可变形为， 则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆. 曲线的焦点为，解得，，， 则曲线的方程为，故A正确； 另椭圆的上焦点，所以可以看成， 当点位于的下顶点时，最大，所以，故B错误； 当直线与第一象限半圆相切时，，则， 由图，可得的取值范围为，故C正确； 根据对称性，不妨设，联立，消去并整理得， 且，则，， 则， 所以， 设，易得， 函数在上单调递增，， 所以的最大值为，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：根据已知确定上下两部分对应曲线的性质，再应用数形结合、直线与曲线的位置情况求参数和三角形面积为关键. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知锐角，满足，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用和角正切公式求得，结合已知求其余弦值. 【详解】由题设， 所以，且，为锐角， 故在第二象限，其终边过点， 所以. 故答案为： 12. 设函数，则不等式的解集是_______. 【答案】 【解析】 【分析】判断奇偶性并应用导数求函数的单调性，再应用奇偶性、单调性解不等式求解集. 【详解】由解析式，函数是定义在上的偶函数，即， 由在R上单调递增，，则在上有，上， 所有在上单调递减，在上单调递增， 由题设，得，即， 所以，解得，故解集为. 故答案为： 13. 现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为，，，则满足的情况有_______种. 【答案】54 【解析】 【分析】由题设条件有，设，则，还有一个数为，则，，讨论并结合排列数，即可求所有情况数. 【详解】由，可得， 所以. 不妨设，则，还有一个数为， 显然，，对于任意取值，都有如下情况， 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法； 当时，三个数为，，，对应，，，有种方法. 所以一共有种. 故答案为：54 【点睛】关键点点睛：根据条件分析有，，另一个数为，且，为关键. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 14. 如图，在直三棱柱中，侧面，均为正方形，，与交于点，D为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）法一：因为，为直三棱柱，所以，， 又侧面为正方形，所以， 因为，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 在正方形中，，又，且，平面， 所以平面. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设， 则，，，，，，， 所以，，， 因为，， 所以，，即，， 又因为，且，平面. 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）法一：根据题设有、，应用线面垂直的性质、判定证明结论；法二：构建空间直角坐标系，应用向量法证明相关线段垂直，再应用线面垂直的判定可证结论； （2）根据空间直角坐标系，应用向量法，求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，建立如图空间直角坐标系，设， 则，，，，，，， ， 所以， 设平面的一个法向量为，则 令，则.设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角的大小； （2）若点是边中点，且，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边再利用余弦定理求解即可； （2）由等面积法得，，所以，所以，结合基本不等式求解三角形面积的最大值即可. 【小问1详解】 ， 即， 由正弦定理，得，即， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为， 即， 所以， 由，所以， 所以，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以. 即面积的最大值为. 16. 在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，动点M到x轴的距离为d，且，动点M的轨迹称为曲线. （1）已知曲线为双曲线，求的取值范围； （2）设曲线为曲线，其焦点为，，直线：上有且仅有1个点P，使得，求直线的方程和对应的点P的坐标. 【答案】（1）； （2）直线方程为时，；直线方程为时，. 【解析】 【分析】（1）设，根据已知可得，结合双曲线方程性质求参数范围； （2）由（1）及已知有，联立直线与双曲线有，讨论、，求对应直线方程和点P的坐标. 【小问1详解】 设，由，得，即， 因为曲线为双曲线，所以， 则，故的取值范围为. 【小问2详解】 由，得双曲线的标准方程为， 由题意，知直线与双曲线只有一个交点， 联立方程组，得， ①当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点， 代入上述方程有，， 所以，此时，的方程为. ②当时，直线与双曲线要相切， 所以，解得（舍去）， 当时，解得，所以，此时的方程为. 综上所述，直线方程为时，；直线方程为时，. 17. 设函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求的单调性； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）在上单调递减，在上单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）利用导数研究函数的单调性即可； （3）根据题设，将问题化为研究当时恒成立，再应用导数研究不等式恒成立求参数范围. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，所以， 当时，，所以在上单调递减； 当时，令，得， 因为，得，，所以， 故在上单调递增，所以， 所以在上单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由题得，结合，得恒成立， 令，则，所以为奇函数， 当时恒成立即可，显然， 要使时，恒成立，则， （从必要性角度，要使不等式在上恒成立，结合初始值，需要保证在上的初始位置处有非递减趋势）， 又，所以， 验证如下（对所得参数范围，作充分性验证）： 当时，对任意，. 令，则， 令，则 ， 故在上单调递增， 所以， 故在上单调递增， 所以， 故在单调递增； 所以，故，符合题意. 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为当时恒成立为关键. 18. 已知项数列满足：当时，且的所有不同值有m个，并按照从小到大排列构成伴随数列，记，. （1）若，，求的值和； （2）若，，求证：为等差数列； （3）若，，求的最小值. 【答案】（1）； （2）证明： 若数列有7项，且， 所以的7项分别为. 又，可得，即， 由，可得，即， 又，即，得，即， 则，故为等差数列. （3）25. 【解析】 【分析】（1）根据题设定义及已知写出，进而求的值和； （2）由题设有的7项分别为，再应用等差数列的定义证明结论； （3）先证或用反证法由推出矛盾，再证明数列的存在性，即可得答案. 【小问1详解】 对任意，都有，， 所以依次为，，，，，， 所以，则. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 . 先证明：. 法1：考虑从这个数中任取2个求和，这些和都不小于， 又，所以，从而， 因为，所以，即. 法2：假设，则，则， 因为满足的必要条件是（因为若，则，不等式不成立）， 所以小于的和式至多有以下情况： ， 共，不合题意. 其次，证明存在符合要求的数列， 构造：令，，，显然满足， 且. 所以小于的和式至多有以下情况： ， 若， 成立，故. 【点睛】关键点点睛：第三问，分两步先证并证明存在符合要求的数列为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届“皖南八校”高三第二次大联考 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i是虚数单位，复数满足，那么的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知样本数据，，，的平均数是4，方差为2，现样本加入新数据3，4，5，则加入数据后新样本的方差是（ ） A. B. 4 C. D. 4. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则（ ） A. 4 B. C. 8 D. 5. 已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为( ) A. 8 B. C. 9 D. 3 6. 已知函数的图象与x轴相切，则a的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程在上有且仅有3个解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 8. 已知随机变量X，且，则（ ） A. B. 若则 C. 若，则 D. 9. 已知圆锥顶点为S，O为底面圆心，轴截面是边长为2的等边三角形，C为底面圆周上一点，且，则下面选项中正确的是（ ） A. 圆锥体积等于 B. 圆锥的外接球与内切球的半径比为2:1 C. 平面 D. 二面角的正切值为 10. 如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：，下部分曲线：构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于M，N两点，是“心形”曲线E上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的最大值为 C. 直线与曲线E有4个交点，则m的取值范围为 D. 面积的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知锐角，满足，则_______. 12. 设函数，则不等式的解集是_______. 13. 现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次（每个球被抽取的可能性相同），记录被抽取的球的序号分别为，，，则满足的情况有_______种. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 14. 如图，在直三棱柱中，侧面，均为正方形，，与交于点，D为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角的大小； （2）若点是边中点，且，求面积的最大值. 16. 在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，动点M到x轴的距离为d，且，动点M的轨迹称为曲线. （1）已知曲线为双曲线，求的取值范围； （2）设曲线为曲线，其焦点为，，直线：上有且仅有1个点P，使得，求直线的方程和对应的点P的坐标. 17. 设函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求的单调性； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知项数列满足：当时，且的所有不同值有m个，并按照从小到大排列构成伴随数列，记，. （1）若，，求的值和； （2）若，，求证：为等差数列； （3）若，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $