精品解析：黑龙江省大庆市大庆中学2024-2025学年高三上学期二模模拟考试（12月）数学试题

大庆中学2024—2025学年度二模模拟考试 高三年级数学试题 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为集合，， 所以， 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】由，得， 所以， 所以. 故选：B. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】结合的范围，利用二倍角公式求出、，，再由诱导公式逐项判断可得答案. 【详解】因为，所以， 由得， 解得舍去，或，所以， 所以，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 4. 已知点在圆外，则的取值范围（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程以及点在圆外，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为点在圆外，则， 解得，所以实数的取值范围为. 故选：B. 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得未知向量的坐标，根据投影向量的计算公式，可得答案. 【详解】由，则， 所以向量在向量上的投影向量. 故选：D. 6. 如图，三棱锥中，底面，则该三棱锥的内切球半径与外接球半径的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质，结合正方体的对角线长公式、棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】因为底面底面，所以. 又因为，所以，而，所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长､宽､高， 因此该三棱锥外接球的半径，设该三棱锥的内切球的半径为， 因为，所以. 因为， 所以，故为等边三角形， 由三棱锥的体积公式可得 ， 三棱锥的内切球半径与外接球半径的和为， 故选：D 7. 已知函数是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当 时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，结合奇偶性可得，可得函数的周期为8的周期函数，进而可求. 【详解】因为是偶函数，所以，所以， 又因为是奇函数，， 所以，所以， 所以，所以函数的周期为8的周期函数， 所以. 故选：B. 8. 设椭圆的焦点为，是椭圆上的一点，且 ，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再根据余弦定理和三角形的面积公式可得，根据，可求椭圆的离心率. 【详解】如图： 设，，则① 在中，，由余弦定理可得：， 即② 得：. 所以. 又. 又. 因为. 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：（1）在选择填空题中，涉及圆锥曲线焦点三角形的问题，首先要考虑圆锥曲线定义的应用，其次要考虑正弦、余弦定理的应用. （2）求圆锥曲线的离心率，通常是构造关于的齐次式求解. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分） 9. 对于概率的基本性质，下列选项正确的是（ ） A. 如果事件A与事件B互斥，那么 B. 如果事件A与事件B互为对立事件，那么 C. 如果，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质逐项判断即得. 【详解】对于A，事件A与事件B互斥，则，而可以为1，A错误； 对于B，事件A与事件B互为对立事件，则，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C. 是函数图象的一条对称轴 D. 若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】首先根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质及三角函数图象变换一一判断即可. 【详解】依题意可得，， 所以，又，解得，所以， 对于A：由图象，函数过点，即， 所以， 所以，又，所以， 所以，故A错误； 对于B：由的图象向左平移个单位长度得到， 故B正确； 对于C：因为， 所以不是函数图象的一条对称轴，故C错误； 对于D：若，则取得最大（小）值且取最小（大）值， 所以，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 当点P为中点时，过M、N、P三点的平面截正方体所得截面面积为 C. 不存在点P使得 D. 异面直线BC与MP所成的最大角为45° 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，点到平面的距离为为定值，利用体积公式即可判断；对于D，利用异面直线所成角的求法即可判断；对于C，利用线面垂直证明线线垂直即可判断；对于B，先做出截面，再求其面积即可. 【详解】对于A，点到平面的距离为为定值， 又， 所以，即三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于D，设中点为，连接，则， 则即为异面直线与所成的角， 在中， ， 所以异面直线与所成的最小角为45°，故D不正确； 对于C，若为中点，则平面，所以， 又，面，所以平面， 又平面，所以，故C不正确； 对于B，分别取的中点，连接， 则过、、三点的平面截正方体所得截面为正六边形， 面积为，故B正确． 故选：AB． 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则_______ 【答案】3 【解析】 【分析】根据是幂函数求出，根据在上单调递增确定. 【详解】因为是幂函数，所以， 所以或，因为在上单调递增， 所以，所以. 故答案为：. 13. 函数在上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，求解即可. 【详解】因为在上单调递增，又在单调递增， 则需满足，解得， 则的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，则不等式的解集为_________ 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，先判断函数的对称性，再将所求转化，再利用导数判断函数的单调性，再根据单调性解不等式即可. 【详解】令， 则， 所以函数关于对称， 由，得， 即， 因为函数关于对称，所以， 则， ， 因为， 当且仅当，即时取等号， 又， 所以， 所以函数在上单调递增， 则，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：构造函数，根据函数的对称性将所求转化，再利用函数的单调性即可解答. 四、解答题（本题共5个小题，第15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分） 15. 在三角形中，已知，为的内角平分线，已知， （1）求角C的值； （2）求三角形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可求得，即可得到角C的值. （2）根据正弦定理得，利用得，求出的值即可得到三角形的面积. 【小问1详解】 ∵，由正弦定理可得， ∴，即， ∵，∴， ∴. 【小问2详解】 设三角形中，角所对的边分别为， 由余弦定理得，， ∴. ∵为的内角平分线，∴. ∵，∴， ∴，∴， ∴，解得或（舍）， ∴，即三角形的面积为. 16. 如图所示，在三棱锥中，为等腰直角三角形，点S在以为直径的半圆上，． （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点为一点，连接，如图所示： 因为为等腰直角三角形，， 所以,， 因为点S在以为直径的半圆上， 所以， 因为，， 所以， 又平面平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先作辅助线，根据一条直线垂直于平面里两条相交的直线可得到线面垂直，根据线面垂直得到面面垂直，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求出线面夹角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为原点，所在的直线分别为轴， 过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示： 因为，点S在以为直径的半圆上， 所以， 由（1）可得，所以， 所以，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 令，则，，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知等差数列的公差，且成等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列和等差数列的性质可求得公差，即可得到数列的通项公式. （2）根据（1）可得，利用裂项相消法可求. （3）利用错位相减法可求. 【小问1详解】 ∵成等比数列，∴， ∵数列为等差数列，， ∴，解得或（舍）， ∴， ∴. 【小问2详解】 由（1）得， ∴. 【小问3详解】 由题意得，， ∴， ， 得， ∴， ∴. 18. 已知椭圆过点，两点. （1）求椭圆的的方程； （2）椭圆的左右顶点分别为A，B，当动点M在定值线上运动时，直线，分别交椭圆于两点和（不同于A，B） （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）证明：点在以为直径的圆内. 【答案】（1） （2）（i）由（1）知，，显然点不在轴上， 设，，，， 直线，斜率分别为，， 直线的方程为，的方程为， 由，消去得，显然， 于是，解得，则， 由，消去得，显然， 于是，解得，则， 则， 对于（ⅰ）问，直线的斜率为：， 直线的方程为：， 整理得：，故直线恒过定点； （ii）， ， 则， 则有为钝角，所以点在以为直径的圆内. 【解析】 【分析】（1）把已知定点的坐标代入椭圆方程，求出、即可； （2）设出点的坐标，表示出直线、的方程，分别与椭圆方程联立求出点、的坐标，再借助向量数量积求解即可. 【小问1详解】 依题意，将点和的坐标代入椭圆，得，解得，所以椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：点与以为直径的圆的关系，共有三种情况： 时，为锐角，点在以为直径的圆外； 时，为直角，点在以为直径的圆上； 时，为钝角，点在以为直径的圆内； 本题的关键点在于结合所设点坐标，证得即可. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. （3）证明： 【答案】（1） （2） （3） 令，，所以在上单调递增，上单调递减，所以，即. 因为，所以，所以， 所以. 又令，，所以在上单调递减，上单调递增，所以，即. 因为，所以，所以， 所以. 综上，，得证. 【解析】 【分析】（1）求导令得到切线斜率为1，从而求得切线方程； （2）利用必要性探路的端点效应，因为，所以，得到；再证充分性即可； （3）数列放缩求和与导数结合，利用两个不等式和，令得到，求和后得到结论. 【小问1详解】 解：，，， 所以，， 所以切线方程为. 【小问2详解】 解：， 因为，对任意的恒成立， 所以，即，所以. 下证：当时，对任意的恒成立. 因为，所以， 所以， 令，，令得， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以，即. 令，因为 , 所以在上单调递增，所以， 从而当时，对任意的恒成立. 综上，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆中学2024—2025学年度二模模拟考试 高三年级数学试题 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在圆外，则的取值范围（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 如图，三棱锥中，底面，则该三棱锥的内切球半径与外接球半径的和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当 时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的焦点为，是椭圆上的一点，且 ，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分） 9. 对于概率的基本性质，下列选项正确的是（ ） A. 如果事件A与事件B互斥，那么 B. 如果事件A与事件B互为对立事件，那么 C. 如果，则 D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C. 是函数图象的一条对称轴 D. 若，则的最小值为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 当点P为中点时，过M、N、P三点的平面截正方体所得截面面积为 C. 不存在点P使得 D. 异面直线BC与MP所成的最大角为45° 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则_______ 13. 函数在上单调递增，则的取值范围是______． 14. 已知函数，则不等式的解集为_________ 四、解答题（本题共5个小题，第15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分） 15. 在三角形中，已知，为的内角平分线，已知， （1）求角C的值； （2）求三角形的面积. 16. 如图所示，在三棱锥中，为等腰直角三角形，点S在以为直径的半圆上，． （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知等差数列的公差，且成等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，求数列的前项和. 18. 已知椭圆过点，两点. （1）求椭圆的的方程； （2）椭圆的左右顶点分别为A，B，当动点M在定值线上运动时，直线，分别交椭圆于两点和（不同于A，B） （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）证明：点在以为直径的圆内. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $