2025年中考数学复习专题：解直角三角形

2025年中考数学复习专题：解直角三角形 一、单选题 1．的值等于（    ） A． B．1 C． D． 2．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，设∠CAB＝α，CD＝h，那么BC的长度为（　　） A． B． C． D．h•cosα 3．已知两点，若点对点的仰角为，那么对的俯角是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，在等腰三角形ABC中，，点D为BC的中点，于点E，则的值等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝12，则AC＝(   ) A．3 B．9 C．10 D．15 6．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ）    A．2＋ B．2 C．3＋ D．3 二、填空题 7．如图，在点处测得塔顶的仰角为，点到塔底的水平距离是，那么塔的高度为 （用含的式子表示）. 8．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为 . 9．在中，若=2，，则 ． 10．如图，四边形ABCD是菱形，，且，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则的最小值为 ． 11．在中，，则一定是 ． 12．在△ABC中，∠C=90°，b=，三角形面积为，则斜边c= ． 三、解答题 13．计算：． 14．（1）计算：cos45°﹣tan45°； （2）计算：sin60°+tan60°﹣2cos230° 15．计算：． 16．北京时间年月日时分，尼泊尔发生级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面、两处均探测出建筑物下方处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是和，且米，求该生命迹象所在位置的深度．结果精确到米．参考数据：，，， 17．如图，在高，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 18．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a=，b=，求这个三角形的其他元素． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B A B B A 1．D 【分析】直接利用特殊角的三角函数值作答即可． 【详解】解：； 故选D． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 2．B 【分析】根据余角性质得∠BCD＝∠CAD＝α，然后利用余弦的定义可得答案． 【详解】解：∵CD⊥AB， ∴∠CAD+∠DCA＝90°， ∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠BCD＝∠CAD＝α， 在Rt△BCD中， ∵cos∠BCD＝，CD＝h， ∴BC＝． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握余弦的定义是解决此题关键． 3．A 【分析】根据俯角和仰角的定义和平行线的性质即可得到B对A的仰角为． 【详解】解：如图， ∵A对B的俯角为， ∴B对A的仰角为． 故选A． 【点睛】本题主要考查了仰角和俯角的定义，解决本题的关键是要熟练掌握仰角和俯角的定义． 4．B 【分析】如图所示，连接，由为中点得出，，从而根据勾股定理得出，然后由，得出，最后根据三角函数定义即可得出答案． 【详解】如图所示，连接， ，，为中点， ，， ， ，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及三角函数的定义，解题的关键是通过等量代换得出，进而得出答案． 5．B 【详解】∵sinA=， ∴AB==15， 在直角△ABC中,AC==9. 故选B. 6．A 【详解】设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=x， 所以BD=BA=2x，即可得CD=x+2x=（+2）x， 在Rt△ACD中，tan∠DAC=， 故选A. 7． 【分析】根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵在点B处测得塔顶A的仰角为， ∴∠B＝， ∵BC＝30m， ∴AC＝BC•tan＝30tan， 故答案为30tan． 【点睛】此题考查了解直角三角形−仰角的定义，注意方程思想与数形结合思想的应用． 8．25 【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可． 【详解】设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米． 根据勾股定理可得：x2＋（x）2＝502． 解得x＝25． 即此时该小车离水平面的垂直高度为25米． 故答案为：25. 【点睛】考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tan（坡度）＝垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理． 9．2 【分析】根据锐角三角函数的正切值等于对边比邻边求解即可. 【详解】∵==2，， ∴b=2a=2. 故答案为2. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中， ， ，. 10． 【详解】如解图，过点A作于点T，过点M作于点H．∵四边形ABCD是菱形，，∴，∵，∴．∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴的最小值为． 11．等边三角形 【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 则一定是等边三角形， 故答案为等边三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 12． 【分析】根据三角形的面积可求出另外一条直角边a．再根据勾股定理即可求出c的长． 【详解】∵∠C=90°，三角形面积为，b＝， ∴另外一直角边a=， ∴c=， 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式和勾股定理的运用，题目比较简单． 13．﹣2． 【分析】按照各部分的运算法则分别计算，再求解即可． 【详解】解：原式= =﹣2． 【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握绝对值，特殊角的三角函数，算术平方根，零次幂的运算是解题关键． 14．（1）0；（2） 【分析】根据特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：（1）cos45°﹣tan45° ＝×﹣1 ＝1﹣1 ＝0； （2） sin60°+tan60°﹣2cos230° ＝× +﹣2× ＝ +﹣ ＝． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值相关计算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 15．3 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 16．米 【分析】本题考查了解直角三角形，作交的延长线于，在直角三角形和直角三角形中，根据已知角的正切值列方程求解即可，通过三角函数列出方程是解题的关键． 【详解】解：作交延长线于，设 米， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ ， 解得：米， 答：该生命迹象所在位置的深度约为米． 17．5.5m 【分析】由题意得，地毯的总长度至少为（AC+BC）．在△ABC中已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AC的长．进而求得地毯的长度． 【详解】由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC， 即地毯的总长度至少为（AC+BC）． 在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2m，∠C=90°． ∵tanA=， ∴AC=BC÷tan30°=2（m）． ∴AC+BC=2+2≈2×1.73+2=5.46≈5.5（m）． 答：地毯的长度至少需5.5m． 【点睛】解题的关键是明白每个台阶的两条直角边的和是直角△ABC的直角边的和；再利用正切的概念求解． 18．，， 【分析】根据勾股定理可以推出c的值，然后根据三边的关系可以推出∠A，∠B的度数． 【详解】解：在中，，，． ∴． 在中，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理以及解直角三角形，牢记直角三角形三边之间的关系以及边角之间的关系是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$