2025年中考数学复习专题：三角形的有关证明

2025年中考数学复习专题：三角形的有关证明 一、单选题 1．某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西70°方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西20°方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是（　　） A．南偏东，千米 B．北偏西，千米 C．南偏东，100千米 D．北偏西，100千米 2．如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，P是等边的边AC的中点，E为边延长线上一点，，则的度数为（    ） A．20° B．25° C．30° D．35° 4．如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,下列结论:①∠BAD=∠CAD;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③BD=CD;④若点P在直线AD上,则PB=PC．其中正确的是(　　) A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 5．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝，则∠EAN的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在圆柱的截面ABCD中，AB=，BC=12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为　 　． A．10 B．12 C．20 D．14 二、填空题 7．如图，长方形ABCD沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，AD＝7cm，DM＝5cm，∠DAM＝39°，则△ANM≌△ADM，AN＝ cm，NM＝ cm，∠NAB＝ ． 8．如图，点D为的边上一点，且满足，作于点E，若，则的长为 ．    9．如图，已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交AC，AB于点D，E，则CD的长为 ． 10．如图，已知等边三角形ABC的高为7cm，P为△ABC内一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．则PD+PE+PF＝ ．    11．如图，已知EC＝BC，∠1＝∠2，要使△ECD≌△BCA，需添加的条件是 (只需写出一个条件)． 12．如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC．若PD＝PE＝PF，∠BAC＝70°，则∠BPC的度数为 ． 三、解答题 13．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不相等． 14．如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=4，BC=12，AD=3，若点P在BC上运动． (1)求线段DP的最小值； (2)当DP最小时，求CDP的面积． 15．（1）【动手操作】如图①，已知． ①用量角器画的平分线． ②在上任取一点M，画，垂足分别为． ③度量点M到的距离，你发现了什么？在上再取几点试一试． （2）【实验发现】角的平分线上的点到角的两边的距离_______． （3）【结论应用】如图②，点P是的平分线上一点，，垂足为D，且是射线上一动点，则的最小值是_______．    16．如图，等腰梯形ABCD的上底，下底，底角，建立适当的平面直角坐标系，求出各顶点的坐标. 17．如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分，求的度数. 18．如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得． (1)求证：； (2)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A C D B A 1．B 【分析】根据题意得出AO＝BO以及∠BOA＝90°，进而得出第二艘快艇航行的方向和距离． 【详解】 解：∵第一艘快艇沿北偏西70°方向，第二艘快艇沿南偏西20°方向， ∴∠BOA＝90°， ∵BO＝AO＝50km， ∴AB＝ km，∠B＝∠OAB＝45°， ∵第二艘快艇沿南偏西20°方向， ∴∠1＝∠CAO＝20°， ∴∠2＝45°−20°＝25°， ∴第二艘快艇航行的方向和距离分别是：北偏西25°，千米． 故答案选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及方向角，正确把握方向角的定义是解题关键． 2．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，正确判断对应角，对应边是解决本题的关键．在中，根据三角形内角和定理求得，根据全等三角形的对应角相等即可解决． 【详解】解：在中，， ∵，，， ∴， ∴． 故选：A． 3．C 【分析】根据“三线合一”可得平分，可得，根据即可作答． 【详解】∵P是等边的边AC的中点， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，“三线合一”以及三角形外角的定义和性质等知识，掌握“三线合一”是解答本题的关键． 4．D 【详解】∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， 又∵AD⊥BC于D， ∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，故①③正确； ∵∠BAD=∠CAD， ∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等，故②正确； ∵AD是BC的中垂线， ∴若点P在直线AD上，则PB=PC，故④正确. 故选D. 5．B 【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA＝EB，NA＝NC，则∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，即可得解． 【详解】解：∵∠BAC＝ ， ∴∠B+∠C＝ ， ∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N， ∴EA＝EB，NA＝NC， ∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C， ∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN， ∴∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC， ＝ ＝． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求∠EAN的关系式是关键． 6．A 【分析】将圆柱的截面ABCD展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求出斜边AS即可. 【详解】将圆柱的截面ABCD展开，可得到直角三角形ABS， 因为，BS=6，AB=×π×=8, 所以，AS=. 故选A 【点睛】本题考核知识点：勾股定理.解题关键点：利用勾股定理分析最短距离. 7． 7 5 12° 【解析】略 8．3 【分析】本题考查等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，解题关键是掌握等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半．由等腰三角形的性质得，求出，然后由30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 9． 【分析】根据线段垂直平分线的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°， ∴AD＝BD＝4﹣CD， ∵AC2＝AD2﹣CD2， ∴32＝（4﹣CD）2﹣CD2， ∴CD＝， 故答案为． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用． 10．7cm 【分析】连接PA、PB、PC，作AB边上的高CG，根据△ABP、△BCP、△ACP的面积和等于△ABC的面积，等边三角形的三边相等，即可得出结论． 【详解】如图，连接PA、PB、PC，作AB边上的高CG， ∵S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC， ∴AB•PD+BC•PF+AC•PE＝AB•CG， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴AB（PE+PF+PD）＝AB•CG， ∵等边三角形ABC的高为7cm， ∴PE+PD+PF＝CG＝7cm.    故答案为7cm 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，将一个三角形的面积转化成三个三角形的面积和是解题关键. 11．DC=AC（答案不唯一） 【分析】由∠1＝∠2可得∠ECD=∠BCA，再由EC＝BC，添加DC=AC，利用“SAS”判定两个三角形全等． 【详解】解：添加的条件是DC=AC，理由如下： ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA， 即∠ECD=∠BCA， 在△ECD和△BCA中， ， ∴△ECD≌△BCA（SAS）． 故答案为DC=AC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理．熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 12．35°/35度 【分析】根据角平分线的判定，可得∠ABP＝∠CBP，∠ACP＝∠FCP；根据三角形外角的性质，可得∠ABC+∠BAC＝∠ACF，∠PBC+∠BPC＝∠FCP，根据等量代换，可得答案． 【详解】解：由PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC． ∵PD＝PE＝PF， ∴∠ABP＝∠CBP，∠ACP＝∠FCP． ∵∠ABC+∠BAC＝∠ACF． 即∠ABC+∠BAC＝∠ACF， 即∠PBC+∠BAC＝∠FCP． ∵∠PBC+∠BPC＝∠FCP， ∴∠BPC＝∠BAC＝×70°＝35°， 故答案为：35°． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，三角形外角的性质，掌握角平分线的性质与判定是解题的关键． 13．见解析 【分析】先假设它们的对边相等，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立． 【详解】证明：假设它们所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”知它们所对的角也相等，这就与题设两个角不等相矛盾，因此假设不成立，故原结论成立． 【点睛】本题结合等腰三角形的性质考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 14．(1)DP的最小值是3； (2)当DP最小时，△CDP的面积为12． 【分析】（1）由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论； （2）由勾股定理得BD=5，当DP最小时，DP⊥BC，再由勾股定理得PB=4，则CP=BC-PB=8，然后由三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：当DP⊥BC时，线段DP的值最小， ∵BD平分∠ABC，∠A=90°， 当DP⊥BC时，DP=AD， ∵AD=3， ∴DP的最小值是3； （2）解：∵∠A=90°， ∴BD==5， 当DP最小时，DP=3，DP⊥BC， 则∠DPB=∠DPC=90°， ∴PB==4， ∴CP=BC-PB=12-4=8， ∴△CDP的面积=CP×DP=×8×3=12， 即当DP最小时，△CDP的面积为12． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的在是解题的关键． 15．（1）见详解（2）相等（3）3 【分析】（1）根据要求画出图形；利用测量法解决问题． （2）由（1）的结论，即可作答． （3）根据垂线段最短，作图，再结合角平分线的性质，即可作答． 本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：（1）如图所示；    发现了；又在上再取点和点,同样发现； （2）由（1）得：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 故答案为：相等． （3）如图所示：过点作，    则的最小值为线段的长度， ∵点P是的平分线上一点，，垂足为D，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．见解析，A(0,1),B(−1,0),C(3,0),D(2,1). 【分析】作AE⊥BC，DF⊥BC分别与E，F，就很容易求出AE，BE，CE，的长，以BC为x轴，AE为y轴建立坐标系，就可以求出各点的坐标． 【详解】作AE⊥BC，DF⊥BC分别与E，F，则EF=AD=2，BE=CF=1， 直角△ABE中,∠B=45°，则其为等腰直角三角形，因而AE=BE=1，CE=3. 以BC所在的直线为x轴，由B向C的方向为正方向，AE所在的直线为y轴，由E向A的方向为正方向建立坐标系， 则A(0,1),B(−1,0),C(3,0),D(2,1). 【点睛】此题考查坐标与图形性质，等腰直角三角形，解题关键在于画出图形. 17． 【详解】证明：如图，连结. ∵是等边三角形， ∴，. ∵， ∴. ∵平分， ∴. 又∵， ∴≌(SAS). ∴ 又∵ ， ∴≌(SSS). ∴ ∴. 18．(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$