精品解析：北京市西城区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷

北京市西城区2024—2025学年度第一学期期末试卷 七年级数学 注意事项 1．本试卷共6页，共两部分，四道大题，26道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 的绝对值为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的绝对值等于7， 故选A． 2. 国家能源局等多部门发布关于大力实施可再生能源替代行动的指导意见，提出了2025年全国可再生能源消费量达到1100000000吨标煤以上等系列目标．将1100000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 根据科学记数法的定义解题即可． 【详解】解：   故选：C ． 3. 如图，点，在数轴上表示的数分别是，．若，互为相反数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、相反数、二元一次方程组的解法．根据数轴上点，之间的距离为和，互为相反数，可列关于，二元一次方程组，解方程组可以求出的值． 【详解】解：， ， ，互为相反数， ， 解方程组， 可得：， 的值为． 故选：A． 4. 下列图形中可以作为一个长方体的展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是长方体的展开图，解决本题的关键是根据长方体的表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：A选项：两个底面在展开图的同一侧，折叠后左面缺一个面，故A选项不符合题意； B选项：两个底面在展开图的同一侧，另一个底面的位置缺一个面，故B选项不符合题意； C选项：展开图可以折叠成一个完整的长方体，故C选项符合题意； D选项：展开图的右面缺一个底面，故D选项不符合题意． 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，解题的关键是掌握：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变．据此判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 6. 一个角的补角比它大，则这个角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了补角的定义，设这个角为α，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个角为α， 根据题意得，， 解得， 故选：D． 7. 下列问题中的两个量成反比例关系的是（ ） A. 每天阅读半小时，阅读的总时长与天数 B. 50米短跑测试，跑步的平均速度与时间 C. 圆柱的底面积一定，圆柱的体积与高 D. 长方形的周长一定，长方形相邻两边的长 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查成反比例关系的意义和辨别，熟练掌握两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量的乘积一定，那么这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系．根据成反比例关系的意义对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、每天阅读半小时，阅读的总时长与天数成正比例关系，故此选项不符合题意； B、50米短跑测试，跑步的平均速度与时间成反比例关系，故此选项符合题意； C、圆柱的底面积一定，圆柱的体积与高成正比例关系，故此选项不符合题意； D、长方形的周长一定，长方形相邻两边的长不成比例关系，故此选项不符合题意； 故选：B． 8. 对任意两个有理数如下运算：．有下列四个结论： ①；②；③；④若，则． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③ C. ①③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算，绝对值，理解新定义运算的运算方法是解题的关键． 根据新定义运算逐项计算判断即可． 【详解】解：， ①错误； ， ②错误； ，， ， ③正确； ， 若， 则或， ④错误； ∴正确结论的序号是③； 故选：B ． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 检测某种零件的质量，将超过标准长度的毫米数记为正数．抽查4个零件的长度记录如下表所示，其中长度最接近标准长度的零件的编号是________号． 零件编号 1 2 3 4 长度/mm 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，解决本题的关键求出各数的绝对值． 根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值后选取绝对值最小的数即可． 【详解】解：各数的绝对值分别为，，，， 则绝对值最小的数是， 即最接近标准长度的是三号． 故答案为：． 10. 如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系：________． 【答案】点P在直线l外 【解析】 【分析】本题考查点和直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．根据点与直线的位置关系可得答案． 【详解】解：由图知，点P在直线l外， 故答案为：点P在直线l外． 11. 写出一个次数是4的单项式，这个单项式可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了单项式，直接利用单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可得，这个单项式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若是关于x方程的解，则k的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将代入方程，得到关于k的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， 解得． 故答案为：6． 13. 如图，，，，则的度数为________° 【答案】76 【解析】 【分析】本题考查了角的计算，先根据求出的度数，然后根据计算即可． 【详解】解∶∵，， ∴， 又， ∴， 故答案为∶76． 14. 如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有阴影．按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数为________（用含n的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现涂有阴影的小正方形个数依次增加是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中涂有阴影的小正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第个图案中涂有阴影的小正方形的个数为：； 第个图案中涂有阴影的小正方形的个数为：； 第个图案中涂有阴影的小正方形的个数为：； 所以第个图案中涂有阴影的小正方形的个数为个． 故答案为： ． 15. 在一次劳动课上，有名同学在甲处劳动，有名同学在乙处劳动．现在另调人也去这两处劳动，使得在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的倍，应调往甲处多少人？如果设调往甲处人，那么依题意可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． 设调往甲处人，根据另调人也去这两处劳动，得出调往乙处的人数是人，由甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的倍，可得出方程即可解答． 【详解】解：设调往甲处人，那么调往乙处的人数是人， 由题意得：， 故答案为：． 16. 如图1，“幻圆”的八个“圆圈”中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都等于18．将，，，0，1，2，3，4这八个数分别填入图2的“幻圆”的八个“圆圈”中，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，1，4已填入如图所示的位置． （1）图2中x，y表示的这两个数的和为________； （2）将x，y表示的数以及剩余的三个数填入图2中（填出一种即可），从上往下依次为_____，____，____． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据题意，图2中大圆，小圆的数字之和为2，每一横线，每一竖线的数字之和也是2即可得到结果． 【详解】解：（1）∵，且8个数分成一个大圆，一个小圆， ∴每个圆中的4个数之和为2， ∴， ∴， 故答案为：， （2）图2中的填写的数字，从上往下依次为3，2，（答案不唯一）． 故答案为：3，2，（答案不唯一）． 三、解答题（共68分，第17题19分，第18～19题，每题6分，第20题12分，第21题7分，第22题5分，第23题6分，第24题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方和四则混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据去括号法则去掉括号，再从左到右依次计算； （2）将除法转换为乘法； （3）根据乘法的分配律进行计算； （4）先算乘方，再算乘法，最后算加减． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 ． 【小问4详解】 ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的化简与求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．根据整式加减的运算法则化简，再将，代入到化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19. 如图，已知线段a，b（），点A，M． （1）使用直尺和圆规，完成以下作图（保留作图痕迹）； ①作直线； ②在射线上作线段，使； ③作线段，使点A是线段的中点． （2）若，，则（1）中线段的长为________． 【答案】（1）见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段等知识． （1）①作直线； ②以为圆心，线段长为半径画弧，在右边交直线于，以为圆心，线段长为半径画弧，，在右边交直线于，以为圆心，线段长为半径画弧，在左边交直线于，此时线段； ③以为圆心，线段长为半径画弧，在左边交直线于，此时点A是线段的中点． （2）求出，再根据线段中点的定义求出即可． 【小问1详解】 解：图形如图所示； 【小问2详解】 解：由题意， ∵点A是的中点， ∴． 故答案为：7． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先去括号，再将方程移项合并，将x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 【小问1详解】 解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 21. 甲、乙、丙、丁四位志愿者参加某公益组织举办的义卖活动，负责帆布袋、冰箱贴、徽章三款商品的售卖．下表记录了他们售出商品的数量和总销售额的部分信息． 志愿者 帆布袋/个 冰箱贴/个 徽章/个 总销售额/元 甲 30 0 0 600 乙 18 7 0 465 丙 21 2 11 538 丁 12 443 （1）直接写出帆布袋、冰箱贴、徽章的单价； （2）如果丁售出的徽章数量比他售出的冰箱贴数量的3倍还多1个，那么丁售出冰箱贴和徽章各多少个？ 【答案】（1）帆布袋、冰箱贴、徽章的单价分别是20元，15元，8元 （2）丁售出5个冰箱贴，16个徽章 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用帆布袋的单价=志愿者甲的总销售额÷志愿者甲销售帆布袋的数量，可求出帆布袋的单价，设冰箱贴的单价为x元，利用总销售额=销售单价×销售数量，结合志愿者乙售出商品的数量和总销售额，可列出关于x的一元一次方程，设徽章的单价为y元，利用总销售额=销售单价×销售数量，结合志愿者乙和志愿者丙售出商品的数量和总销售额，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设丁售出m个冰箱贴，则有个徽章，根据“丁的总销售额”，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：帆布袋的单价为（元）． 设冰箱贴的单价为x元，根据题意得： ， 解得：； 设徽章的单价为y元，根据题意得： ， 解得：． 答：帆布袋的单价为20元，冰箱贴的单价为15元，徽章的单价为8元； 【小问2详解】 解：设丁售出m个冰箱贴，则有个徽章，根据题意得： ， 解得：． 所以， 答：丁售出5个冰箱贴，16个徽章． 22. 学校机器人社团计划开展自制机器人比赛，场地是长为，宽为的长方形，现需要设计赛道和比赛方案．如图1，小明在场地长为的一条边上截取线段，以为一边在场地内部画了一个小长方形，设计了一个宽都为的“U”形赛道（阴影部分），并制定了比赛方案．他将小长方形在场地内部的三条线段的和叫作赛道的内圈长．例如，图1中赛道的内圈长为线段，，的和． （1）用含x的式子表示：图1中，的长为_______，赛道的内圈长为______； （2）小明想到可以调整“U”形赛道的开口方向，如图2，他在场地长为的边上截取线段，且．他以为一边在场地内部画了一个小长方形，设计了一个宽都为的“U”形赛道． ①请在图2中补全小明设计的赛道图形； ②对于图2的这种设计，在图2和图1两种赛道的内圈长相同的前提下，如果这两种赛道宽度的差在范围内，那么可以直接使用之前制定的比赛方案，否则需要对比赛方案作出调整．判断使用图2的设计时，是否需要调整小明之前制定的比赛方案，并说明理由． 【答案】（1）， （2）①见解析；②需要调整比赛方案，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图的应用与设计． （1）根据线段的和差求解； （2）①根据图1作图； ②先计算新图中的赛道长，再求出两个赛道的宽度差，再求解． 【小问1详解】 解：图1中：的长为， 赛道的内圈长为：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①小明设计的赛道图形如下图所示： ②需要调整小明之前制定比赛方案； 理由：赛到长为：， 由题意得：， ∴， ∵50不在范围内， ∴需要调整小明之前制定的比赛方案． 23. 如图，数轴上点A，O，B分别表示数，0，5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度速度沿数轴正方向运动；同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，并在经过点O后以每秒2个单位长度的速度继续沿数轴负方向运动；当点P到达点O时，P，Q两点都停止运动．设点P运动的时间为t秒． （1）当时，_______；当点P与点Q重合时，_______； （2）当点Q在点P左侧，且时，______，点Q表示的数是_______； （3）当时，求t的值． 【答案】（1）3；6； （2），； （3）4或 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示P，Q表示的数． （1）当时，P运动到表示的点，Q运动到的点，可得；当时，Q表示的数为，P表示的数为，故，解得； （2）点Q在点P左侧，Q表示的数为，P表示的数为，即得，解得，从而求出点Q表示的数是； （3）当时，，，可得，解得；当时，，，故，解得或（舍去）． 【小问1详解】 解：当时，P运动到表示的点，Q运动到的点， ∴； 当时，Q表示的数为，P表示的数为， ∴点P与点Q重合时，， 解得； 故答案为：3，6； 【小问2详解】 解：点Q在点P左侧，Q表示的数为，P表示的数为， ∵， ∴， 解得， 此时， ∴点Q表示的数是； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：当时，P表示的数为，Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，P表示的数为，Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，t的值为4或． 24. 已知直线，从一副三角尺中任取一个，将其某一个锐角的顶点放置在直线上，并记为点A，该锐角的两边分别记为射线，射线，且字母A，B，C按顺时针方向排列（射线，不与直线重合）．作射线平分，射线平分． （1）如图1，若，，则_______°； （2）如图2，若，且与互余，求的度数； （3）将三角尺绕点A旋转，使得射线，都在直线的下方，直接写出的度数的所有可能值． 【答案】（1） （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）先证明，，再求解，再进一步求解即可； （2）设：，，可得①，结合，可得②，再进一步求解即可； （3）如图，由（1）可设：，，可得，，分当时，当时，当时，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵射线平分，射线平分，． ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可设：，， ∵与互余， ∴①， ∵， ∴， ∴， ∴②， 由①②得：； ∴； 【小问3详解】 解：如图，由（1）可设：，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， 当旋转到另外符合条件的位置时，如图， 同理可得：的可能值为或或． 综上：的可能值为或或． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，一元一次方程组的应用，互余的含义，熟练的利用方程解题是关键． 四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字，，记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数记为，由，可得是十进制数． （1）将转换为十进制数，结果是________； （2）对于一个用三进制表示的正整数，有下列两个结论： 如果这个数的末位数字能被整除，那么这个数就能被整除； 如果这个数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个数就能被整除． 从中选出正确结论，并以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，能熟练将三进制转化为十进制是解答本题的关键． （1）根据题意将三进制转化为十进制即可； （2）根据题意判断出正确，将四位的三进制数化为十进制的数，经过变形即可验证． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：是正确结论，理由见下： ， 能被整除， 如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 26. 数轴上点A，B，M分别表示数a，b，m，如果a，b，m满足，则称点A，B互为关于点M的“平衡点”．例如，当，，时，点A，B互为关于点M的“平衡点”． 已知数轴上点P表示数． （1）点A，B分别表示数a，b，且点A，B互为关于点P的“平衡点”，则________（用含a的式子表示）； （2）点O，C，D分别表示数0，1，6． 对点C做如下操作：点C关于点P的“平衡点”为点，点关于点O的“平衡点”为点，点关于点P的“平衡点”为点，点关于点O的“平衡点”为点，按此方式继续操作，得到点，，…，（n为正整数）． 对点D做如下操作：将点D沿数轴负方向移动k（）个单位长度得到点，点关于点P的“平衡点”为点，将点沿数轴负方向移动k个单位长度得到点，点关于点P的“平衡点”为点，按此方式继续操作，得到点，，…，． ①求线段的长； ②是否存在正整数n，对于任意的正数k，都有线段的长为667？如果存在，直接写出n的值；如果不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】本题考查数字规律，数轴两点之间的距离，一元一次方程的应用； （1）根据“平衡点”的定义得到，整理化简即可； （2）①根据操作步骤得到表示的数为，表示的数为，再求线段的长即可； ②根据操作步骤得到当为偶数时，表示的数为：，当为奇数时，表示的数为：，是，，，四个数循环，根据规律分情况讨论，分别计算即可． 【小问1详解】 解：由“平衡点”的定义可得：， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵点A，B分别表示数a，b，且点A，B互为关于点P的“平衡点”，则，设点C表示的数为，点表示的数为，则，， ∴点C关于点P的“平衡点”为点，则表示的数为：， 点关于点O的“平衡点”为点，表示的数为：， 点关于点P的“平衡点”为点，表示的数为：， 点关于点O的“平衡点”为点，表示的数为：， 按此方式继续操作，当为偶数时，表示的数为：，当为奇数时，表示的数为：， 设点D表示的数为，则， 将点D沿数轴负方向移动k（）个单位长度得到点，表示的数为：， 点关于点P的“平衡点”为点，表示的数为：， 将点沿数轴负方向移动k个单位长度得到点，表示的数为：， 点关于点P的“平衡点”为点，表示的数为：， ∴，，，四个数循环出现，即，，，四个数循环； 由规律可得表示的数为，表示的数为， ∴； ②∵存在正整数n，对于任意的正数k，都有线段的长为667， ∴线段的长与无关， ∴当时，表示的数为：，表示的数为，线段的长为，此时线段的长与有关，不符合题意； 当时，表示的数为：，表示的数为，线段的长为，此时线段的长与有关，不符合题意； 当时，表示的数为：，表示的数为，线段的长为，此时线段的长与无关，即，解得（的解不是整数，舍去）或（不是整数舍去）； 当时，表示的数为：，表示的数为，线段的长为，此时线段的长与无关，即，解得或（不是整数舍去）； 综上所述，存在正整数，对于任意的正数k，都有线段的长为667． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市西城区2024—2025学年度第一学期期末试卷 七年级数学 注意事项 1．本试卷共6页，共两部分，四道大题，26道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 绝对值为（ ） A. 7 B. C. D. 2. 国家能源局等多部门发布关于大力实施可再生能源替代行动的指导意见，提出了2025年全国可再生能源消费量达到1100000000吨标煤以上等系列目标．将1100000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点，在数轴上表示的数分别是，．若，互为相反数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中可以作为一个长方体的展开图的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个角补角比它大，则这个角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列问题中的两个量成反比例关系的是（ ） A. 每天阅读半小时，阅读的总时长与天数 B. 50米短跑测试，跑步的平均速度与时间 C. 圆柱的底面积一定，圆柱的体积与高 D. 长方形的周长一定，长方形相邻两边的长 8. 对任意两个有理数如下运算：．有下列四个结论： ①；②；③；④若，则． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③ C. ①③ D. ③④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 检测某种零件的质量，将超过标准长度的毫米数记为正数．抽查4个零件的长度记录如下表所示，其中长度最接近标准长度的零件的编号是________号． 零件编号 1 2 3 4 长度/mm 10. 如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系：________． 11. 写出一个次数是4的单项式，这个单项式可以是________（写出一个即可）． 12. 若是关于x的方程的解，则k的值为________． 13. 如图，，，，则的度数为________° 14. 如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有阴影．按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数为________（用含n的式子表示）． 15. 在一次劳动课上，有名同学在甲处劳动，有名同学在乙处劳动．现在另调人也去这两处劳动，使得在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的倍，应调往甲处多少人？如果设调往甲处人，那么依题意可列方程为________． 16. 如图1，“幻圆”的八个“圆圈”中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都等于18．将，，，0，1，2，3，4这八个数分别填入图2的“幻圆”的八个“圆圈”中，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，1，4已填入如图所示的位置． （1）图2中x，y表示的这两个数的和为________； （2）将x，y表示的数以及剩余的三个数填入图2中（填出一种即可），从上往下依次为_____，____，____． 三、解答题（共68分，第17题19分，第18～19题，每题6分，第20题12分，第21题7分，第22题5分，第23题6分，第24题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，已知线段a，b（），点A，M． （1）使用直尺和圆规，完成以下作图（保留作图痕迹）； ①作直线； ②在射线上作线段，使； ③作线段，使点A是线段的中点． （2）若，，则（1）中线段的长为________． 20 解下列方程： （1）； （2）． 21. 甲、乙、丙、丁四位志愿者参加某公益组织举办的义卖活动，负责帆布袋、冰箱贴、徽章三款商品的售卖．下表记录了他们售出商品的数量和总销售额的部分信息． 志愿者 帆布袋/个 冰箱贴/个 徽章/个 总销售额/元 甲 30 0 0 600 乙 18 7 0 465 丙 21 2 11 538 丁 12 443 （1）直接写出帆布袋、冰箱贴、徽章的单价； （2）如果丁售出的徽章数量比他售出的冰箱贴数量的3倍还多1个，那么丁售出冰箱贴和徽章各多少个？ 22. 学校机器人社团计划开展自制机器人比赛，场地是长为，宽为的长方形，现需要设计赛道和比赛方案．如图1，小明在场地长为的一条边上截取线段，以为一边在场地内部画了一个小长方形，设计了一个宽都为的“U”形赛道（阴影部分），并制定了比赛方案．他将小长方形在场地内部的三条线段的和叫作赛道的内圈长．例如，图1中赛道的内圈长为线段，，的和． （1）用含x的式子表示：图1中，的长为_______，赛道的内圈长为______； （2）小明想到可以调整“U”形赛道的开口方向，如图2，他在场地长为的边上截取线段，且．他以为一边在场地内部画了一个小长方形，设计了一个宽都为的“U”形赛道． ①请在图2中补全小明设计的赛道图形； ②对于图2这种设计，在图2和图1两种赛道的内圈长相同的前提下，如果这两种赛道宽度的差在范围内，那么可以直接使用之前制定的比赛方案，否则需要对比赛方案作出调整．判断使用图2的设计时，是否需要调整小明之前制定的比赛方案，并说明理由． 23. 如图，数轴上点A，O，B分别表示数，0，5．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动；同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，并在经过点O后以每秒2个单位长度的速度继续沿数轴负方向运动；当点P到达点O时，P，Q两点都停止运动．设点P运动的时间为t秒． （1）当时，_______；当点P与点Q重合时，_______； （2）当点Q在点P左侧，且时，______，点Q表示的数是_______； （3）当时，求t的值． 24. 已知直线，从一副三角尺中任取一个，将其某一个锐角的顶点放置在直线上，并记为点A，该锐角的两边分别记为射线，射线，且字母A，B，C按顺时针方向排列（射线，不与直线重合）．作射线平分，射线平分． （1）如图1，若，，则_______°； （2）如图2，若，且与互余，求的度数； （3）将三角尺绕点A旋转，使得射线，都在直线的下方，直接写出的度数的所有可能值． 四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分） 25. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字，，记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数记为，由，可得是十进制数． （1）将转换为十进制数，结果是________； （2）对于一个用三进制表示的正整数，有下列两个结论： 如果这个数的末位数字能被整除，那么这个数就能被整除； 如果这个数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个数就能被整除． 从中选出正确结论，并以四位三进制数为例，说明该结论正确的道理． 26. 数轴上点A，B，M分别表示数a，b，m，如果a，b，m满足，则称点A，B互为关于点M的“平衡点”．例如，当，，时，点A，B互为关于点M的“平衡点”． 已知数轴上点P表示数． （1）点A，B分别表示数a，b，且点A，B互为关于点P的“平衡点”，则________（用含a的式子表示）； （2）点O，C，D分别表示数0，1，6． 对点C做如下操作：点C关于点P的“平衡点”为点，点关于点O的“平衡点”为点，点关于点P的“平衡点”为点，点关于点O的“平衡点”为点，按此方式继续操作，得到点，，…，（n为正整数）． 对点D做如下操作：将点D沿数轴负方向移动k（）个单位长度得到点，点关于点P的“平衡点”为点，将点沿数轴负方向移动k个单位长度得到点，点关于点P的“平衡点”为点，按此方式继续操作，得到点，，…，． ①求线段的长； ②是否存在正整数n，对于任意的正数k，都有线段的长为667？如果存在，直接写出n的值；如果不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $