5.4 二次函数与一元二次方程 同步练习 2024-2025学年 苏科版数学九年级下册

5.4 二次函数与一元二次方程 同步练习 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.若二次函数、、为常数，且的图像不经过第二象限，下列结论：；；；其中，所有正确结论的序号是 (    ) A. B. C. D. 2.若二次函数的对称轴是，则关于的方程的解为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.若二次函数的图象与轴有公共点，那么的取值范围是 (    ) A. B. C. D. 4.一次函数与二次函数在同一直角坐标系中的图象如图所示：；当时，；；；当时，随的增大而增大，同时随的增大而减小以上说法中正确的序号是 (    ) A. B. C. D. 5.二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；一元二次方程的解是，；当时，其中正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为 (    ) A. B. ， C. ， D. ， 7.如图，抛物线与直线的交点为，当时的取值范围是 (    ) A. B. C. 或 D. 或 8.如图，是函数的图象，通过观察图象得出了 如下结论： 当时，随的增大而增大； 该函数图象与坐标轴有三个交点； 该函数的最大值是，最小值是； 当时，不等式的解为． 以上结论中正确的有(    ) A. B. C. D. 9.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 10.已知抛物线的顶点坐标为，若关于的一元二次方程为实数在范围内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 11.二次函数的图像如图所示，其对称轴为直线，且与轴的负半轴交于点，则关于的方程的正数解可能是 (    ) A. B. C. D. 12.如图为某二次函数的部分图像，其对称轴为直线，有如下四个结论： 此二次函数表达式为； 若点在这个二次函数图像上，则； 当时，； 该二次函数图像与轴的一个交点为． 所有正确结论的序号是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共12分） 13.二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，下列结论：；；；；其中，正确的是          ． 14.若函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是          ． 15.如图：已知二次函数过，对称轴为直线并且二次函数与轴的一个交点位于和之间；；的最大值为；对于任意实数，一定有上述结论正确的是______ 填序号． 16.二次函数与轴交于两点，且，则的值为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.本小题分 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，已知． 求的值和直线对应的函数表达式； 为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标； 为抛物线上一点，若，求点的坐标． 18.本小题分 二次函数的图象中，将的部分称为函数的图象将平行于轴的直线平行移动． 求二次函数的图象与轴的交点坐标； 求直线平移与函数的图象只有一个公共点时，的取值范围． 19.本小题分 如图，抛物线交轴于点，交轴交于点，对称轴是直线． 求抛物线的解析式； 若在抛物线上存在一点，使的面积为，请求出点的坐标． 20.本小题分 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为．    求的值； 若抛物线与轴交于点，其对称轴与轴交于点，当是等腰直角三角形时，求的值； 点的坐标为，若该抛物线与线段有且只有一个交点，求的取值范围． 21.本小题分 如图，抛物线与轴交于，两点点在点左侧，与轴交于点，抛物线的顶点． 求抛物线对应的函数表达式以及，两点的坐标． 作轴交抛物线于点，连接，，求的面积． 22.本小题分 已知二次函数． 抛物线的对称轴为______ ，顶点坐标为______ ； 抛物线与轴的交点坐标为______ ，与轴的交点坐标______ ； 当满足______ 时，随的增大而增大； 当满足______ 时，． 23.本小题分 已知抛物线 试说明对于每一个实数，抛物线都经过轴上的一个定点；   设抛物线与轴的另一个交点为、不重合，顶点为，若 为直角三角形，试求的值； 在满足的条件时，若点在点的左侧，试问：抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是梯形若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 24.本小题分 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过、两点． 求二次函数的解析式； 根据图象直接写出当取何值时，； 点是抛物线在第一象限上的一个动点，是否存在点，使面积最大，若存在，求出此时点坐标以及面积，若不存在，请说明理由． 25.本小题分 已知，抛物线，直线的解析式为． 若抛物线与轴交点的纵坐标为，试求抛物线的解析式； 试证明：抛物线与直线必有两个交点； 若抛物线经过点，且对于任意实数，不等式都成立，当时，抛物线的最小值为，求直线的解析式． 答案和解析 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质和因式分解法解一元二次方程的知识点，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键． 先根据二次函数的对称轴是求出的值，再把的值代入方程，求出的值即可． 【解答】 解：二次函数的对称轴是， ， 解得：， 关于的方程可化为， 即， 解得，． 故选D． 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】解：抛物线开口向上，， 一次函数随增大而增大，，，对 由图象可知当，二次函数图象在一次函数图象下方，，对 由图象可知抛物线对称轴在轴右侧，，对 抛物线与轴有两个交点，，对 由图象可知当时，随的增大而增大，同时随的增大而减小，对． 故选：． 本题考查一次函数与二次函数图象共存问题，根据函数图象，利用函数性质判断选项中代数式的正负以及函数之间的大小比较． 5.【答案】  【解析】解：抛物线的开口向下， ， 与轴的交点在轴的正半轴上， ， 对称轴为 ， ，故正确； 对称轴为，， ，故正确； 对称轴为，图象过点， 图象与轴另一个交点， 关于的一元二次方程的解为或，故错误； 抛物线开口向下，图象与轴的交点为，， 当时，，故正确； 故选：． 由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的正半轴上得到，由对称轴为，得到，可对进行分析判断； 由对称轴为，得到，，可对进行分析判断； 对称轴为，图象过点，得到图象与轴另一个交点，可对进行分析判断； 抛物线开口向下，图象与轴的交点为，，即可对进行判断． 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用． 6.【答案】  【解析】解：观察图象可知，抛物线  与轴的一个交点为  ，对称轴为直线  ， 抛物线与轴的另一交点坐标为  ， 一元二次方程  的解为  ，  ． 故选D． 直接观察图象，抛物线与轴交于  ，对称轴是直线  ，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与轴的另一交点坐标，从而求得关于的一元二次方程  的解． 7.【答案】  【解析】解：二次函数与一次函数的交点、的坐标分别为、， 当时，的取值范围是或， 故选：． 根据两函数的图象和、的坐标得出即可． 本题考查了二次函数与不等式、二次函数和一次函数的图象和性质等知识点，解决这类题目的关键是数形结合：能根据图象得出正确信息． 8.【答案】  【解析】解：观察函数图象可知，当时，图象是向右上方延伸的，即随的增大而增大．故正确． 观察图象可知，该函数图象与轴有个交点，与轴有一个交点，所以与坐标轴有四个交点．故错误． 观察图象可知，当时，函数有最小值；当时，函数有最大值故正确． 观察图象可知，函数图象在轴上方部分的取值范围是或故错误． 故选：． 利用数形结合的思想，对照所给的函数图象，可逐一验证是否正确． 本题考查了用数形结合的思想解决问题，正确识别图象中所给出的信息是解决本题的关键． 9.【答案】  【解析】解：、由函数图象开口向上可知，， 故选项A正确，不符合题意； B、由函数的对称轴在轴左侧，，同号，则， 与轴的交点在轴上方，可得， ， 故选项B正确，不符合题意； C、抛物线与轴有两个交点，则， ， 故选项C正确，不符合题意； D、当时，， ， 故选项D错误，符合题意； 故选：． 由抛物线的开口方向判断与的关系；由抛物线对称轴的位置和与轴的交点判断与的关系；利用图象中抛物线与轴有两个交点可判断；当时，可判断与的关系． 此题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，抛物线与轴交点的个数与的关系，正确识图是解题关键． 10.【答案】  【解析】解：抛物线的顶点坐标为， ， 解得， 抛物线解析式为， 比离函数的对称轴远， 当时，， 关于的一元二次方程为实数在范围内有两个不同的实数根， 则与有两个交点， 如图所示： 由图象可得：实数的取值范围是， 故选：． 先把顶点坐标代入中求出函数解析式，再根据关于的一元二次方程为实数在范围内有两个不同的实数根则则与有两个交点，根据二次函数的性质结合函数图象得出结论． 本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 11.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围． 先根据图象得出对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴，可以算出右侧交点横坐标的取值范围，即可解答． 【解答】 解：抛物线对称轴为，而对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围是， 对称轴右侧图象与轴交点横坐标的取值范围是． 正数解可能是． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征有关知识，根据函数图象和性质逐一求解即可． 【解答】 解：从图象看，抛物线的顶点坐标为，抛物线和轴的交点坐标为， 则设抛物线的表达式为，将代入上式得：，解得， 故抛物线的表达式为，故错误，不符合题意； 从点、的横坐标看，点和点关于对称轴直线对称，故正确，符合题意； 从图象看，当时，，故错误，不符合题意； 令，得或，抛物线和轴的两个交点坐标为和，故正确，符合题意， 因此正确的是． 13.【答案】  【解析】解：抛物线开口向上，交轴的负半轴， ，， 抛物线的对称轴为直线， ， ，所以错误； 抛物线与轴有个交点， ， ，所以正确； 时，， ，所以正确； 抛物线的对称轴为直线， ，所以正确； 时，， ， ， ，即，所以正确． 故答案为：． 由抛物线开口方向得到，交轴的负半轴得到，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到的符号，则可对进行判断；利用抛物线与轴有个交点可对进行判断；利用时，可对进行判断；利用对称轴即可判断；利用抛物线的对称轴方程得到，加上时，，即，则可对进行判断． 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点． 14.【答案】且  【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点与方程的解的关系，解题的关键是熟练掌握抛物线与轴的交点与一元二次方程的根的个数间的关系，属于中档题． 抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与轴有个交点，与轴有一个交点，依此列出不等式求解即可． 解：函数的图象与坐标轴有三个交点， 解得且 故答案为且 15.【答案】  【解析】解：由图象可知，当时，， ，故正确； 对称轴为直线， ， ， 二次函数过， ， ， ， ， 解得， ， ，故错误； ，， ， ， ， ， 即，故错误； 抛物线对称轴为直线，开口向下， 时，函数有最大值， 对于任意实数，一定有， ，故正确； 正确的有， 故答案为：． 由图象可知，当时，，即，可判定正确；由对称轴为直线，得，而二次函数过，可得，根据，得，故，判断错误；由，且，可得，判断错误；根据抛物线对称轴为直线，开口向下，知时，函数有最大值，可得，从而可判断正确． 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是数形结合思想的应用． 16.【答案】  【解析】解：二次函数与轴交于、两点， ，是的两个实数根， ，， ， ， ， 解得或， 当时，与轴无交点， 舍去， 当时，有两个交点， 符合题意， 故答案为：． 由二次函数与轴交于、两点，知，是的两个实数根，又，可得，解得或，再检验即可得到答案． 本题考查抛物线与轴的交点问题，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系和一元二次方程根与系数的关系． 17.【答案】解：将代入，化简得，， 则舍或， ， ． ， 设直线的函数表达式为， 将，代入表达式，可得， ，解得，， 直线的函数表达式为． 如图，过点作，设直线交轴于点，将直线向下平移个单位，得到直线． 由得直线的表达式为，， 直线的表达式为， 联立，解得，或， 或， 由直线的表达式可得， ，， 直线的表达式为：， 联立， 解得，，或，， ，； 综上可得，符合题意的点的坐标为：，，，； 如图，取点使，作直线，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点， 则是等腰直角三角形， ， ≌， ，． 设，则， 由，则， ，解得． ，又， 直线对应的表达式为， 设，代人， ，整理得． 又，则．   【解析】把点坐标直接代入抛物线的表达式，可求的值，进而求出抛物线的表达式，可求出点的坐标，设直线的表达式，把点和点的坐标代入函数表达式即可； 过点作直线的平行线，联立直线与抛物线表达式可求出的坐标；设出直线与轴的交点为，将直线向下平移，平移的距离为的长度，可得到直线，联立直线表达式与抛物线表达式，可求出点的坐标； 取点使，作直线，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，可得≌，求出点的坐标，联立求出点的坐标． 本题属于二次函数综合题，主要考查利用平行转化面积，角度的存在性等，在求解过程中，结合背景图形，作出正确的辅助线是解题的基础． 18.【答案】解：由题意可知，函数的图象如图所示                                                                                             令，，解得，，    图象与轴的交点坐标为，． 由题意可知图象中：当时，；当时，；顶点坐标为． 当直线平移与函数图象只有一个交点时，或．   【解析】本题考查求函数图象与轴交点坐标的求法，数形结合的分析、解决平行移动的直线与函数图象交点的个数问题． 19.【答案】解：由题意得，， 解得， 抛物线的解析式为．； 设， 由题意， 当时，，解得或， 或， 当时，，方程无解， 综上所述，或．  【解析】根据抛物线经过点，对称轴是直线列出方程组，解方程组求出、的值即可； 设，列出方程即可解决问题． 本题考查二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 20.【答案】    或    或    【解析】【分析】由抛物线对称轴的公式即可求解； 先求得点  的坐标，再根据  是等腰直角三角形得出点  的坐标，代入求得  即可； 分两种情况：抛物线的顶点在  轴上和抛物线的顶点在  轴下方两种情况求解可得． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线   ， 解得：  ； 抛物线对称轴与  轴交于点  ，则  ，当  时，  ，当  是等腰直角三角形时，  ，即  ， 解得：  或  ； 由知，抛物线的表达式为：  ， 当抛物线的顶点在  轴上时，   ， 解得：  ； 当抛物线的顶点在  轴下方时，如图，    由图可知当  时，  ；当  时，  ，即  且  ， 解得：  ， 综上：  或  ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和等腰直角三角形的性质，明确等腰直角三角形中两条边相等，解题的关键是根据抛物线与线段  有且只有一个公共点得出  时，  时，  的结论． 21.【答案】解：抛物线的顶点， 抛物线对应的函数表达式可设为． 将点代入，可得，解得， 抛物线对应的函数表达式为． 令，则，解得，， 点，． 点， 当时，即，解得，， 点， ，， ．  【解析】依据题意，可设抛物线为，结合条件可解得，再令，即可得解； 依据题意，令时，求出点，进而可以得解． 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式，会求直线与抛物线的交点坐标；理解坐标与图形的性质；灵活利用三角形的面积公式求图形的面积． 22.【答案】直线    和      或  【解析】解：， ， 该抛物线的对称轴为：直线，顶点坐标是， 当时，，可得，，， 当时，， 图象与轴的交点坐标是和，与轴的交点坐标， ，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当或时，， 由上可得，抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是； 故答案为：直线，； 图象与轴的交点坐标是和，与轴的交点坐标是； 故答案为：和，； 当时，随的增大而增大； 故答案为：； 当或时，． 故答案为：或． 将二次函数化为顶点式，即可得到抛物线的对称轴、顶点坐标； 令和可以分别求得图象与轴的交点坐标，与轴的交点坐标； 根据二次项系数和对称轴，可以得到当为何值时，随的增大而增大； 根据二次项系数和与轴的交点，可以得到为何值时． 本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，能将二次函数解析式化为顶点式，明确与轴相交时，与轴相交时，由二次项系数可以和对称轴得到随如何变化，在什么范围内． 23.【答案】解：令， 解得：， 对于每一个实数，抛物线都经过轴上的一个定点； 根据抛物线的对称性且为直角三角形，可得为等腰直角三角形且如图， 过点作于，则， 抛物线的顶点 为， ， ， ，舍去 或， ，舍去 综上可得：的值为或 依题意得：，此时抛物线方程为 设存在点，使得以、、、为顶点的四边形是梯形， 若，设直线方程为， 把、坐标代入直线方程得， 解得 直线方程为 直线方程为 由 得， 若，由于直线方程为， 所以，可设直线的方程为， 把代入得，， ， ， 解得 综上可得：抛物线上存在点或，使得以为、、、为顶点的四边形是梯形．  【解析】本题考查的是二次函数的综合，一次函数解析式的求法，梯形的性质，二次函数与一元二次方程有关知识 令，可解得：，，所以对于每一个实数，抛物线都经过轴上的一个定点． 根据抛物线的对称性且为直角三角形，可得为等腰直角三角形且，过点作于，则，利用抛物线的顶点公式可知，顶点为，，可得，解得，舍去或，，舍去，综合可得：的值为或． 先求得抛物线方程为，设存在点，使得以、、、为顶点的四边形是梯形， 若，设直线方程为，把、坐标代入直线方程得，直线方程为，直线方程为，联立方程组可求得交点坐标为． 若，由于直线方程为，所以，可设直线的方程为，把代入得，，联立方程组可求得交点坐标为． 所以抛物线上存在点或，使得以为、、、为顶点的四边形是梯形 24.【答案】解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ，， 二次函数的图象经过、两点， ， 解得：， 二次函数的解析式的解析式为：； 当时，，解得，， 抛物线与轴交点坐标为，， 当或时，， 但只有当时，， 当时， 上． 过点作轴的平行线交于点， 由点在的图象上， 可设，则， 则， ， ， 当时，即点坐标为时，取得最大值，最大值为．  【解析】先求出一次函数与轴、轴交点、的坐标，再用待定系数法求出二次函数的解析式； 观察图象直接得到答案； 过点作轴的平行线交于点，先利用图象上点的特征表示出、两点的坐标，再求出的长，进而表示出的面积，利用顶点坐标求最值． 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数与不等式组、二次函数的最值问题，观察图象、求出特殊点坐标是解题的关键． 25.【答案】解：抛物线与轴交点的纵坐标为，即：，解得：， 则抛物线表达式为：， 抛物线：， 直线：， ， ， ， ， ， ， ，抛物线与直线必有两个交点； 依题意可知， 即， 解得：或， ， ，此时抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线在上，图象下降，随增大而减小．此时， ， 解得：舍去，， 当，即时，抛物线在上，， 解得：舍去； 当，即时，抛物线在上，图象上升，随增大而增大， 此时， ， 解得：，舍去， 综上所述，直线：或．  【解析】抛物线与轴交点的纵坐标为，即：，解得：，即可求解； 联立抛物线和直线的表达式得：，由，即可求解； 分、、三种情况，分别求即可． 本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、根的判别式等，要注意分类求解，避免遗漏． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$