2025年中考数学专题提升：反比例函数

2025年中考数学专题提升：反比例函数 一、单选题 1．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应( ) A．不小于4.8Ω B．不大于4.8Ω C．不小于14Ω D．不大于14Ω 2．下列四个点中，有三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个函数图象上的点是（    ） A． B．， C． D． 3．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示，当压强不超过400 Pa时，木板的面积应（    ） A．不大于1.5 m2 B．不小于1.5 m2 C．不大于m2 D．不小于m2 4．点（x1，3），（x2，﹣2）在反比例函数的图象上，则下列一定正确的是． A．x1＞x2 B．x1≥x2 C．x1＜x2 D．x1=x2 5．如图，点、是函数的图像上的任意两点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，记的面积为，的面积为，则（    ）. A． B． C． D．与 大小关系不能确定 6．函数y=ax2+1与（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么的取值范围是 ． 8．如图，点A，B是双曲线上的点，分别过点A，B作轴和轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为 ． 9．已知函数，当x＜0时，y 0，此时，其图象的相应部分在第 象限； 10．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的面积为 ． 11．将等腰直角三角形按图的方式放在平面直角坐标系中，其中点，点，点在双曲线的图像上． （1） ； （2）将沿着轴正方向平移个单位得到． ①当双曲线过线段的中点时，点的坐标是 ； ②当线段和双曲线有公共点时，的取值范围是 ． 12．某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 三、解答题 13．甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地． (1)汽车到达乙地所用的时间t（小时）与汽车速度v（千米/小时）之间的函数关系式． (2)画出（1）中，t与v的函数图象． 14．如图，反比例函数 y＝的图象与一次函数y＝mx＋b的图象交于两点A（1,3）,B（n,－1）． （1）求反比例函数与一次函数的函数关系式； （2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）连接AO、BO，求△ABO的面积； （4）在y轴上存在点P，使△AOP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标. 15．在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2． (1)求点的横坐标； (2)过点向轴作垂线，垂足是，试求． 16．已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小，并说明理由． （变式1）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A．    B．    C．    D． （变式2）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时，    B．当时， C．当时，    D．当时， 17．如图，点A的坐标为（0，4），BA=OA，BA⊥y轴，反比例函数（x＜0）的图象经过点B，点C在线段AB上运动（不与点A，B重合），过点作DE⊥x轴于点E，交反比例函数图象于点，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到线段FE，连接OC，FC，BD，且点为线段AB的中点． (1)求k的值； (2)求证：OC=BD； (3)求直线CF的解析式． 18．商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/张 20 15 12 10 (1)写出y关于x的函数解析式 ______； (2)设经营此贺卡的日销售利润为W（元），试求出W关于x的函数解析式，若物价局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润，并求出最大日销售利润． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B B C C B 1．A 【分析】先由图象过点（8，6），求出U的值．再由蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，求出用电器的可变电阻的取值范围． 【详解】解：由物理知识可知：I=，其中过点（8，6）， 故U=48， 当I≤10时，由R≥4.8． 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 2．B 【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了． 【详解】解：A、， B、， C、， D、， ∴不在这个函数图像上的点是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 3．B 【分析】设反比例函数关系式为，将点代入，即可得出反比例函数解析式，再将时，求S的值即可得出答案． 【详解】解：设反比例函数关系式为，将点代入，得， ， 解得：， 反比例函数关系式为， 当时，， 当压强不超过400 Pa时，木板的面积应不小于1.5 m2， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是将实际转化为函数问题是解题的关键． 4．C 【详解】如图，观察图形可知： 所以x1＜x2， 故选C． 5．C 【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|． 【详解】由题意得：S1=S2=|k|=. 故选C. 【点睛】此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于利用k的值进行转化. 6．B 【详解】解：分a＞0和a＜0两种情况讨论： 当a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1）；位于第一、三象限，没有选项图象符合； 当a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1）；位于第二、四象限，B选项图象符合． 故选B． 7． 【分析】根据双曲线所在的象限，得到，求解即可．掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：； ∴； 故答案为：． 8．8 【详解】试题分析：∵点A、B是双曲线上的点， ∴S矩形ACOG=S矩形BEOF=6， ∵S阴影DGOF=2， ∴S矩形ACDF+S矩形BDGE=6+6﹣2﹣2=8， 故答案为8． 考点：反比例函数系数k的几何意义． 9． ＞   二 【详解】因为,所以当x<0时,y>0,因为图象分布在二四象限,当x<0时图象分布在第二象限,故答案为:>,二. 点睛:本题主要考查反比例函数图象的性质,解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象的象限分布性质. 10． 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，从而求出点坐标，画图，最后利用割补法即可求出的面积． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ． 反比例函数为：． 反比例函数的图象经过点， ， ． 如图所示，过点作于，过点作的延长线于，设与轴的交点为，   ，， ，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数，涉及到待定系数求解析式，反比例函数与三角形面积问题，解题的关键需要画出图形以及利用割补法求出面积． 11． 3 【分析】（1）作轴于点E，证明，从而求得，即可求解； （2）①根据平移的性质得到平移后的中点为，再解方程即可求解； ②考虑当在双曲线上时，当在双曲线上时，两种情况，即可求解． 【详解】解：（1）作轴于点E， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点在双曲线的图像上， ∴； 故答案为：3； （2）①设的中点为D， 则，， ∴， ∵将沿着轴正方向平移个单位得到， ∴y值不变，则平移后的中点为， 依题意得， 解得， ∴点的坐标是； ②设平移后， 当在双曲线上时，有， 解得， 当在双曲线上时，有， 解得， ∴线段与双曲线有公共点时，的取值范围是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，涉及全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、函数图象上点的坐标特征，有一定难度． 12． 【分析】（1）设直线解析式为，结合图像点，代入即可得到答案； （2）设反比例函数解析式为，结合图像点代入求出k，将代入即可得到答案； （3）根据（1）（2）解析式得到从℃加热到℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案． 【详解】解：（1）设直线解析式为，将点，代入可得， ，解得， 故答案为：； （2）设反比例函数解析式为，将点代入可得， ， ∴， 当时， ，解得， 故答案为； （3）当时，，解得， ∴从℃加热到℃，需要分钟，，，，将 代入，，可得． 【点睛】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间． 13．(1) (2)见解析 【分析】(1)根据行程问题的中速度，时间，路程之间的数量关系可知，时间t(小时)与汽车速度v(千米/小时)之间的函数关系式； (2)利用描点法作图，要注意自变量v的取值范围． 【详解】（1）解：∵时间=路程÷速度， ∴t与v的函数关系式为 （2）解：t与v的函数图象如图所示： 【点睛】主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，要注意根据实际意义求自变量x的取值范围，结合自变量的实际范围作图． 14．（1）y=，y=x+2；（2）-3＜x＜0或x＞1；（3）4；（4）P（0，- ）或P（0，）或P（0，6）或P（0，）． 【分析】（1）利用待定系数法求得一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，当自变量取相同的值时，函数图象对应的点在上边的函数值大，据此即可确定； （3）设一次函数交y轴于D，根据S△ABO=S△DBO+S△DAO即可求解； （4）求得OA的长度，分O是顶角的顶点，和A是顶角顶点，以及OA是底边三种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵A（1，3）在反比例函数图象上，∴k=3， ∵B（n,－1）在y=的图象上， ∴n=-3． ∵A（1，3），B（-3，-1）在一次函数y＝mx＋b图象上， ∴， 解得m=1，b=2． ∴两函数关系式分别是：y=和y=x+2． （2）由图象得：当-3＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）设一次函数y=x+2交y轴于D，则D（0，2），则OD=2， ∵A（1，3），B（-3，-1） ∴S△DBO=×3×2=3，S△DAO=×1×2=1 ∴S△ABO=S△DBO+S△DAO=4． （4）OA= = ， O是△AOP顶角的顶点时，OP=OA，则P（0，- ）或P（0，）， A是△AOP顶角的顶点时，由图象得， P（0，6）， OA是底边，P是△AOP顶角的顶点时， 设 P（0，x），分别过A、P作AN⊥x轴于N，PM⊥AN于M， 则AP=OP=x，PM=1，AM=3-x, 在Rt△APM中， 即 解得x= ， ∴P（0，）． 故答案为（1）y=，y=x+2；（2）-3＜x＜0或x＞1；（3）4；（4）P（0，- ）或P（0，）或P（0，6）或P（0，）． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同时在求解面积时，要巧妙地利用分割法，将面积分解为两部分之和． 15．(1)点的横坐标为4； (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质． （1）将点的横坐标代入求解即可； （2）设，则有，，根据三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象上的点纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的横坐标为4； （2）解：设则有， ，， ∴． 16．（1）；（2）；（变式1）B；（变式2）A 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的纵坐标比较大小的方法：方法一（利用函数增减性比较）：在同一象限的，根据，随的增大而减小，，随的增大而增大比较；在不同象限时，轴上方图象上点的纵坐标大，反之则小．方法二（数形结合法）：画出草图，大致标出各点，从图象中比较大小．（此方法为最简单的方法）方法三（特殊值法）给和要比较的点的横坐标取满足条件的数，算出对应的纵坐标，再进行比较． （1）把点代入即可求解； （2）利用反比例函数的增减性比较即可； 变式1：利用反比例函数的增减性比较即可； 变式2：利用反比例函数的增减性比较即可； 【详解】解：（1）将点代入，得， 反比例函数的表达式为； （2）， 反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 点，，都在反比例函数的图像上， 在第三象限，和在第一象限， ，，， 又， ． 变式1： ， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上， 点分布在第三象限，，分布在第一象限，且， ，， ． 故选B； 变式2： 在反比例函数中，， 此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 当时，， ，均在第三象限， ， ，A正确，符合题意； 当时，， 点在第三象限，点在第一象限， ，， ，B，C错误，不符合题意；当时，， ，在第一象限， ， ，D错误，不符合题意． 故选A． 17．(1)k=-16； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）由题意可知B点坐标，代入反比例函数的解析式可求； （2）根据两点间距离公式求出BD和OC的值即可； （3）用待定系数法将C、F点坐标代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，B点坐标为（-4，4）， 把B（-4，4）代入得， ， ∴k=-16， （2）解：∵为线段AB的中点， ∴C点坐标为（-2，4）， ∴D点横坐标为-2，代入=， ∴BD= ， ∵OC=， ∴BD=OC； （3）解：由题意得：EF=DE=8， ∴F点坐标为（-10，0） 设直线CF的解析式为y=mx+b，则 ， 解得， ∴直线CF的解析式为 ． 【点睛】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，两点间距离公式，熟练掌握反比例函数的点坐标特征是解题的关键． 18．(1) (2)W＝60﹣，当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为48元 ． 【分析】（1）通过观察，发现x与y之间存在反比例关系，然后根据待定系数法可以得到解答； （2）由（1）和已知可以得到W关于x的函数解析式，然后根据函数的增减性可以得到最终解答． 【详解】（1）解：设， 把x＝3，y＝20代入得， 解得k＝60， ∴． （2）解：W＝（x﹣2）y＝（x﹣2）•＝60﹣， ∵W随x增大而增大，x≤10， ∴x＝10时，W＝60﹣12＝48（元）为最大值， ∴当日销售价为10元时，最大日销售利润为48元． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数解析式的求法和性质是解题关键 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$