精品解析：辽宁省鞍山市2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年度第一学期期末质量检测 七年级数学试卷 （本试卷共21道题，试卷满分为100分，考试时间90分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求） 1. 中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（　　） A. B. C. D. 2. 如图，从前面看纸杯，得到平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，数轴上点表示的数的相反数是（ ） A. B. C. D. 4. 与次数相等的单项式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的框图表示解方程的流程，下列判断的语句正确的是（ ） A. 第①步变形的名称为合并同类项 B. 第②步变形的依据是等式性质一 C. 第③步变形的依据是等式性质二 D. 方程的解为 6. 如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（ ） A. 点是线段的中点 B. 点是线段的中点 C. 点是线段的三等分点 D. 点是线段的三等分点 7. 某公司计划运输一批货物，每天运输吨数与运输的天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 … 运输的天数 1 2 5 10 … 下列结论：①这批货物共有吨；②用式子表示与的关系是；③每天运输的吨数与运输的时间是反比例关系；④如果该公司计划天运完货物，则每天需要运输货物吨；其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数据，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子出生后的天数，由图可知，孩子出生后的天数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚位置分别插一根木桩，然后拉一根直的参照线这样做的原理是：_________________． 10. 代数式的意义是________． 11. 已知，则的补角的度数是________． 12. 明代数学家程大位在《算法统宗》中记载了“百羊问题”，题目大意是：甲赶了一群羊去寻找青草茂盛的地方，乙牵了一只羊紧跟在甲的后面．乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果我再有这样一群羊，再加这群羊的一半，再加一半的一半，连同你的这只羊刚好一百只．”如果设甲有羊只，根据题意可列出方程为________． 13. 观察下列球的排列规律其中是实心球，是空心球： 从第个球起到第个球止，共有实心球______个 三、解答题（本题共8小题，共61分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 解方程：． 16. 如图，某种形零件尺寸如图，请用代数式表示阴影部分的周长，并计算当，时代数式的值． 17. 如图，地和地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东方向上有一艘船，同时，从地发现这艘船在它北偏东方向上． （1）在图中确定船的位置； （2）请通过测量确定的度数． 18. 设表示一个两位数，其中是十位上的数字（，且是整数）．例如：当时，表示的两位数是25．观察下列各式并回答问题： 当时， 当时， 当时， … （1）依据上述算式写出当时，_______； （2）归纳出一般表达式，___________； （3）请利用上述方法计算的值． 19. 已知数轴上从左向右依次有A，，三点，且A，两点表示的数满足，点与原点的距离是6． （1）在数轴上表示A，，三点； （2）动点从点出发，以每秒个单位的速度向终点A移动，设点移动的时间为． ①用含代数式表示点与点，点A的距离； ②当点运动到点时，点从点A出发以每秒1个单位的速度向点运动，点出发几秒钟以后与点相遇？ 20. 综合与实践 【原文阅读】义务教育教科书《数学（七年级）》上册第二章《有理数的运算》中总结：在把数的范围从非负有理数扩大到有理数后，我们又学习了有理数的运算，把小学学习过的加法、乘法推广到有理数范围内，从而将非负有理数系扩充成有理数系（域），初步认识了数系的扩充过程，体会到运算的一致性． 【数学思考】我们规定：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫虚数单位，把形如（，中不含虚数单位）的数叫做复数，其中叫做这个复数单位的实部，叫做这个复数的虚部，它的加减运算与整式的加减运算类似． 例如： 【问题解决】 （1）请计算：； （2）猜想：复数运算时加法交换律是否成立？如果成立，请用代数式表示并证明；如果不成立，请举出反例． 21. 居民生活用水通常按户计费，收费的方式为阶梯计价．下表是鞍山市居民生活用水每月的收费标准： 收费方式 用水量 收费标准（元） 污水处理费（元） 第一阶梯 （不超过） 第二阶梯 （不超过） 第三阶梯 以上 （1）小明家今年月份的水费为元，请计算小明家月份的用水量； （2）若小明家在月，月开始节约用水，两个月水费一共花费元，并且月的用水量比月多，你能求出小明家月，月的水费分别是多少吗？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末质量检测 七年级数学试卷 （本试卷共21道题，试卷满分为100分，考试时间90分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求） 1. 中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，若零上记作，则零下记作． 故选：． 2. 如图，从前面看纸杯，得到平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，良好的空间观念是解题的关键． 直接根据从正面看到的图形即可解答． 【详解】解：从前面看纸杯，可以看到一个上宽、下窄的梯形，即选项D符合题意． 故选D． 3. 如图，数轴上点表示的数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，在数轴上表示有理数．先根据数轴得出点表示的数，再根据相反数的定义求出其相反数，即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为， ∴数轴上点表示的数的相反数是． 故选：C． 4. 与次数相等的单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式的次数，熟悉理解单项式的次数是解题的关键． 求出的次数后，逐一对比选项中的次数即可． 【详解】解：∵的次数为， ∴A：的次数为，与的次数相同，故A正确； B：的次数为，与的次数不同，故B错误； C：的次数为，与的次数不同，故C错误； D：的次数为，与的次数不同，故D错误； 故选：A． 5. 如图所示的框图表示解方程的流程，下列判断的语句正确的是（ ） A. 第①步变形的名称为合并同类项 B. 第②步变形的依据是等式性质一 C. 第③步变形的依据是等式性质二 D. 方程的解为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A：第①步变形的名称为移项，故A错误； B：第②步变形的依据是合并同类项，故B错误； C：第③步变形的依据是等式性质二，故C正确； D：，解得：，故D错误； 故选：C． 6. 如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（ ） A. 点是线段的中点 B. 点是线段的中点 C. 点是线段的三等分点 D. 点是线段的三等分点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段等分点的计算．根据线段中点的定义可以得出点是线段的中点，点是线段的中点，即可判断A选项和B选项说法错误；根据线段等分点的定义，可以得出点是线段的三等分点，点是线段的四等分点，即可判断C选项说法错误，D选项说法正确． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故B选项说法错误； ∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故A选项说法错误； 即， ∴， ∴，， 即点是线段的三等分点，故D选项说法正确； 点是线段的四等分点，故C选项说法错误． 故选：D． 7. 某公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 … 运输的天数 1 2 5 10 … 下列结论：①这批货物共有吨；②用式子表示与的关系是；③每天运输的吨数与运输的时间是反比例关系；④如果该公司计划天运完货物，则每天需要运输货物吨；其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实际应用，反比例的识别，合理分析表格数据是解题的关键． 根据表格数据列出比例关系逐一判断即可． 【详解】解：当，时，这批货物共有（吨），故①正确； ∵当，时，；，时，；以此类推，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 当时，，则每天需要运输货物吨，故④错误； 综上正确的有：①②③； 故选：C． 8. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数据，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子出生后的天数，由图可知，孩子出生后的天数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，所以从右到左的数分别为，，，列式计算即可． 【详解】解：孩子出生后的天数为：． 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一根直的参照线这样做的原理是：_________________． 【答案】两点确定一条直线 【解析】 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，根据两点确定一条直线即可得到答案． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 10. 代数式的意义是________． 【答案】与的和的平方的倍（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了代数式表示的实际意义；根据数字与字母的关系以及运算顺序即可表达出代数式的意义． 【详解】解：代数式表示的意义是与的和的平方的倍． 故答案为：与的和的平方的倍（答案不唯一）． 11. 已知，则的补角的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了补角概念，角度的运算，根据“如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角”，即可列式计算． 【详解】解：补角的度数是． 故答案为：． 12. 明代数学家程大位在《算法统宗》中记载了“百羊问题”，题目大意是：甲赶了一群羊去寻找青草茂盛地方，乙牵了一只羊紧跟在甲的后面．乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果我再有这样一群羊，再加这群羊的一半，再加一半的一半，连同你的这只羊刚好一百只．”如果设甲有羊只，根据题意可列出方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找出等量关系式是解题的关键． 设甲原来赶的羊一共有x只，根据等量关系“只”列出方程即可． 【详解】解：设甲原来赶的羊一共有x只， 根据题意得：． 故答案为：． 13. 观察下列球的排列规律其中是实心球，是空心球： 从第个球起到第个球止，共有实心球______个 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现每个球一循环，且其中有个实心球，个空心球是解题的关键． 根据所给图形，发现每个球一循环，且其中有个实心球，个空心球，据此可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 从第个球开始，每个球一循环，且其中有个实心球，个空心球． 又因为余，前4个球有2个实心球， 则， 所以从第个球起到第个球止，共有实心球个． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共61分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，含乘方的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据运算法则运算即可． （2）先化简乘方后，再根据运算法则运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程．根据解含有分数系数的一元一次方程的步骤，逐步进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 如图，某种形零件尺寸如图，请用代数式表示阴影部分的周长，并计算当，时代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，代数式的化简求值，整式的加法运算．先根据题意和图中的数据，列出式子，然后计算，再将，，代入原式，计算． 【详解】解：阴影部分的周长是： ． 当，时，原式． 17. 如图，地和地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东方向上有一艘船，同时，从地发现这艘船在它北偏东方向上． （1）在图中确定船的位置； （2）请通过测量确定的度数． 【答案】（1）作图见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是方位角的画法，解题的关键是熟知方向角的描述方法， （1）据方向角概念分别画出过点A与点B的射线，两条射线的交点即为这艘船的位置． （2）运用量角器测量即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示：作，，两射线相交于P点，则点P即为所求． 【小问2详解】 解：使用量角器，将量角器的中心与点重合，0刻度线与重合，读出所对应的刻度，测量可得． 18. 设表示一个两位数，其中是十位上的数字（，且是整数）．例如：当时，表示的两位数是25．观察下列各式并回答问题： 当时， 当时， 当时， … （1）依据上述算式写出当时，_______； （2）归纳出一般表达式，___________； （3）请利用上述方法计算的值． 【答案】（1）； （2）； （3）21025 【解析】 【分析】本题主要考查了数字规律、有理数混合运算等知识点，理解数字规律是解答本题的关键． （1）根据已有等式推理即可解答； （2）根据已有等式推理即可； （3）利用（2）得到的规律解答即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：． 【小问2详解】 解：． 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵， ∴． 19. 已知数轴上从左向右依次有A，，三点，且A，两点表示的数满足，点与原点的距离是6． （1）在数轴上表示A，，三点； （2）动点从点出发，以每秒个单位的速度向终点A移动，设点移动的时间为． ①用含的代数式表示点与点，点A的距离； ②当点运动到点时，点从点A出发以每秒1个单位的速度向点运动，点出发几秒钟以后与点相遇？ 【答案】（1）见解析； （2）①，；②秒． 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值、数轴上的点、数轴上两点间的距离、动点问题的等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由题意可得：点A、B、C分别表示、4、6，然后在数轴上表示即可； （2）①由题意可知：点P表示，然后根据数轴上两点间的距离求解即可；②先求出点运动到点用时4秒；当点Q移动的时间为时，点Q表示，点P表示；当点P和点Q相遇，即表示的数相同，据此列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：点A、B、C分别表示、4、6， 在数轴上表示如下： 【小问2详解】 解：①由题意可知：点P表示，点A表示，点B表示4， 则，； ②当点运动到点用时， 当点Q移动的时间为时，点Q表示，点P表示， 当点与点相遇时，，解得：． 所以点出发秒钟以后与点相遇． 20. 综合与实践 【原文阅读】义务教育教科书《数学（七年级）》上册第二章《有理数的运算》中总结：在把数的范围从非负有理数扩大到有理数后，我们又学习了有理数的运算，把小学学习过的加法、乘法推广到有理数范围内，从而将非负有理数系扩充成有理数系（域），初步认识了数系的扩充过程，体会到运算的一致性． 【数学思考】我们规定：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫虚数单位，把形如（，中不含虚数单位）的数叫做复数，其中叫做这个复数单位的实部，叫做这个复数的虚部，它的加减运算与整式的加减运算类似． 例如： 【问题解决】 （1）请计算：； （2）猜想：复数运算时加法交换律是否成立？如果成立，请用代数式表示并证明；如果不成立，请举出反例． 【答案】（1） （2）成立，，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算． （1）根据定义的运算法则，进行计算即可求解； （2）根据运算法则，分别求出中，等号左边和等号右边各部分的结果，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：成立，． 证明：左边， 右边， 所以左边右边， 故． 即复数运算时加法交换律仍然成立． 21. 居民生活用水通常按户计费，收费的方式为阶梯计价．下表是鞍山市居民生活用水每月的收费标准： 收费方式 用水量 收费标准（元） 污水处理费（元） 第一阶梯 （不超过） 第二阶梯 （不超过） 第三阶梯 以上 （1）小明家今年月份的水费为元，请计算小明家月份的用水量； （2）若小明家在月，月开始节约用水，两个月的水费一共花费元，并且月的用水量比月多，你能求出小明家月，月的水费分别是多少吗？ 【答案】（1）小明家月份用水量为 （2）小明家月，月水费分别为44.65元，31元 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用；根据表格，列出算式和方程是解题的关键． （1）分别求出第一阶梯和第二阶梯的水费，结合小明家的水费，得出小明家月份水费达到第三阶梯，设小明家月份用水量为，根据收费标准，列出方程，解方程即可求解； （2）结合收费的阶梯，①若小明家月，月水费均在第一阶梯，则设小明家月用水量为，根据收费标准，列出方程，解方程求出月，月的用水量，再判断；②若小明家月，月水费分别在第二，第一阶梯，设小明家月用水量为，根据收费标准，列出方程，解方程求出月，月的用水量，再求水费即可． 【小问1详解】 解：由表可知，第一阶梯水费：（元） 第二阶梯一共水费：（元） ∵ ∴小明家月份水费达到第三阶梯， 设小明家月份用水量为，根据题意 解得： ∴小明家月份用水量为． 【小问2详解】 解：①若小明家月，月水费均在第一阶梯，则设小明家月用水量为， 根据题意，得， 解得：， 此时，月用水量，不合题意； ②若小明家月，月水费分别在第二，第一阶梯，设小明家月用水量为， 根据题意，得， 解得：， 此时，月用水量， ∴小明家月，月用水量分别为，， 小明家2月的水费（元）， 小明家3月的水费（元）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $