2025年中考数学专题复习：特殊平行四边形

2025年中考数学专题复习：特殊平行四边形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 2．小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在x轴的正半轴上．若点 A的坐标是， 且，则点B的坐标为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（    ） A．3 B． C． D． 5．如图，点M、N分别是矩形ABCD的边BC和对角线AC上的动点，连接AM、MN，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 6．如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为（    ）    A．2 B．3 C．2或3 D．3或 二、填空题 7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）． 8．如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，分别是两个正方形的中心，则阴影（重叠）部分的面积为 ． 9．如图所示，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是 ；要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是 （只填序号）．备选答案：①AB∥CD；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB=DC． 10．如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为 ． 11．有一个角是 的 叫做矩形． 矩形的 个角都是直角． 矩形的对角线 ． 矩形既是 对称图形，又是 对称图形，它至少有 条对称轴． 有 个角是直角的四边形是矩形． 对角线相等的 是矩形． 三、解答题 12．如图，在正方形中，对角线与相交于点O，图中有多少个等腰三角形？ 13．如图，在菱形中，是对角线上的一点．连，，求证：． 14．如图，在矩形中，O为对角线的中点，过点O作直线分别与边、交于M、N两点，连结、．求证：四边形为平行四边形． 15．如图，在矩形中，，，E，F是的三等分点，求的面积． 16．在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”． (1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）； (2)如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长； (3)在四边形中，EH//FG．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C B C B D 1．B 【详解】解：∵OA=OB=OC=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. 故选：B. 2．C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握特殊四边形的性质是关键．连接、，由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形，进而证明是等边三角形，得出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质和点坐标，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先利用两点之间的距离公式可得，再根据菱形的性质可得，，由此即可得出答案． 【详解】解：点的坐标为， ， ，， ∴四边形是菱形， ∴，， 点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，即为4， 即， 故选：B． 4．C 【分析】连接BM.证明△AFE≌△AMB得FE=MB，再运用勾股定理求出BM的长即可. 【详解】连接BM，如图， 由旋转的性质得：AM=AF. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°, ∵ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称， ∴∠DAM=∠EAM. ∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°, ∴∠BAM=∠EAF, ∴△AFE≌△AMB ∴FE=BM. 在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2, ∴BM= ∴FE=. 故选C. 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 5．B 【分析】根据动点最值问题求解步骤，①分析所求线段端点（定、动）；②动点轨迹为直线；③模型方法（类比将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点）；④确定最值对应的定线段；⑤求定线段长，按步骤进行即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接，过作， ，即当三点共线，时，的最小值为， 在中，，连接，如上图所示，，则， 在矩形ABCD中，，，则， ， 故选：B． 【点睛】本题考查动点最值问题，熟练掌握动点最值问题的求解步骤，根据题意按步骤逐步分析是解决问题的关键． 6．D 【分析】分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当时，    矩形中，， ∴， 由折叠性质可得：， ∴， 设，则： 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， 如图，当时，    ∴， 由折叠性质可得：， ∴四边形为正方形， ∴， 综上，或， 故选．D． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是分两种情况考虑，画出对应图形 7．AC⊥BD（AB=BC或BC=CD或AB=AD） 【分析】先证四边形ABCD为平行四边形，再添加条件证四边形ABCD是菱形． 【详解】四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形， 再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD(答案不唯一) ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和菱形的判定，属于基础题． 8．4 【分析】根据题意作图，连接O1B，O1C，可得△O1BF≌△O1CG，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：连接O1B、O1C，如图： ∵∠BO1F+∠FO1C=90°，∠FO1C+∠CO1G=90°， ∴∠BO1F=∠CO1G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠O1BF=∠O1CG=45°， 在△O1BF和△O1CG中， ， ∴△O1BF≌△O1CG（ASA）， ∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形， 同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形， ∴S阴影部分=S正方形=×（2）2=4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，解决本题的关键是把阴影部分进行合理转换． 9． ③ ② 【分析】先证四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，需要∠EFG=90°，即AC⊥BD；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形． 【详解】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成， 连接AC、BD， ∵E、F、G、H分别是CD、DA、AB、BC的中点， ∴EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 要使四边形EFGH为矩形， 根据矩形的判定：有一个角为直角的平行四边形是矩形， 故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90°时，四边形EFGH为矩形； 要使四边形EFGH为菱形， 根据矩形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即EF=EH， 而EH=BD， ∴AC=BD． 故当AC=BD时，平行四边形EFGH为菱形 故答案为：③；②． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的判定定理：有一个角为直角的平行四边形是矩形，邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质． 10． 【分析】本题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理等知识，利用正方形和旋转的性质得出，进而利用勾股定理得出的长，进而得出的长即可． 【详解】解：由题意可得出：， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中， 故答案为： 11． 直角 平行四边形 四 相等 中心 轴 两 三 平行四边形 【分析】根据矩形的定义、判定及性质：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的四个角都是直角．矩形的对角线相等．矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它至少有两条对称轴．有三个角是直角的四边形是矩形．对角线相等的平行四边形是矩形．逐题解答即可得到答案． 【详解】解：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． ②矩形的四个角都是直角． ③矩形的对角线相等． ④矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它至少有两条对称轴． ⑤有三个角是直角的四边形是矩形． ⑥对角线相等的平行四边形是矩形． 故答案为：直角；平行四边形；四；相等；中心；轴；两；三；平行四边形． 【点睛】本题考查矩形的定义、判定及性质，熟记矩形的定义、判定及性质是解决问题的关键． 12．图中有8个等腰三角形，并且都是等腰直角三角形． 【分析】分别考虑以正方形的对角线为斜边的等腰三角形和以正方形的边为斜边的等腰三角形即可． 【详解】以正方形的对角线为斜边的等腰三角形共有4个，分别是△ABC，△ADC，△ABD，△BCD， 以正方形的边为斜边的等腰三角形共有4个，分别是△AOB，△BOC，△OCD，△AOD， 故总共有8个等腰三角形，且都是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的定义，掌握正方形的性质是关键，另外不要出现遗漏或重复． 13．见解析 【分析】根据菱形的性质可得到，∠，已知公共边，所以利用判定△，从而得到． 【详解】证明：∵四边形是菱形 ∴ ∵是菱形的对角线 ∵∠ ∵ ∴△ ∴ 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 14．见详解 【分析】由矩形的性质得出，，再由平行的性质得出，，再证明，由全等得形式可得，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】证明∵四边形是矩形，O为对角线的中点， ∴，， ∴，． 在和中， ∴ ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定，以及平行线的性质，掌握矩形的性质和平行四边形的判定是解题的关键． 15．的面积是8 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质可得，求得，再根据E，F是的三等分点，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵E，F是的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．(1)不存在，理由见详解 (2) (3)1 【分析】（1）根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断； （2）过A点作AM⊥BC于点M，根据“等形点”的性质可得AB=CD=，OA=OC=5，OB=7=OD，设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，则在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC； （3）根据“等形点”的性质可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根据，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，进而有OE=OH，可得OF=OG，则问题得解． 【详解】（1）不存在， 理由如下： 假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD， ∵在正方形ABCD中，点O在边BC上， ∴∠ABO=90°， ∵△OAB≌△OCD， ∴∠ABO=∠CDO=90°， ∴CD⊥DO， ∵CD⊥BC， ∴， ∵O点在BC上， ∴DO与BC交于点O， ∴假设不成立， 故正方形不存在“等形点”； （2）如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图， ∵O点是四边形ABCD的“等形点”， ∴△OAB≌△OCD， ∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD， ∵，OA=5，BC=12， ∴AB=CD=，OA=OC=5， ∴OB=BC-OC=12-5=7=OD， ∵AM⊥BC， ∴∠AMO=90°=∠AMB， ∴设MO=a，则BM=BO-MO=7-a， ∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，， ∴，即， 解得：，即， ∴MC=MO+OC=， ∴在Rt△AMC中，， 即AC的长为； （3）如图， ∵O点是四边形EFGH的“等形点”， ∴△OEF≌△OGH， ∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH， ∵， ∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO， ∴根据∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE， ∴OE=OH， ∵OF=OH，OE=OG， ∴OF=OG， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三角形的性质是解答本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$