5.1 二次函数 同步练习 2024-2025学年 苏科版数学九年级下册

5.1 二次函数  同步练习 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.下列函数一定是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.下列函数关系式中，是的二次函数是(    ) A. B. C. D. 3.下列关于的函数中，是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 4.若等边三角形的边长为，则面积是的(    ) A. 一次函数 B. 二次函数 C. 正比例函数 D. 反比例函数 5.下列函数关系中，可以看作二次函数模型的是 (    ) A. 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B. 我国人口自然增长率为，这样我国总人口随年份变化的关系 C. 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系不计空气阻力 D. 圆的周长与半径的关系 6.如图，圆柱的侧面积为记圆柱的底面半径为，底面周长为，高为当在一定范围内变化时和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是(    ) A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系 C. 正比例函数关系，反比例函数关系 D. 正比例函数关系，一次函数关系 7.如图，在正方形中，，点，分别为，上的点，，交于点，若四边形与的面积分别为，，则与的函数关系为(    ) A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系 8.下列各式中       为常数为常数是二次函数的有 (    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9.下列函数关系中是二次函数的是(    ) A. 正三角形面积与边长的关系 B. 直角三角形两锐角与的关系 C. 矩形面积一定时，长与宽的关系 D. 等腰三角形顶角与底角的关系 10.下列函数关系中，是二次函数的是．(    ) A. 在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间的关系 B. 当距离一定时，火车行驶的时间与速度之间的关系 C. 等边三角形的周长与边长之间的关系 D. 圆心角为的扇形面积与半径之间的关系 11.如图，在直径为的圆形铁片中，挖去个半径为的小圆，剩余部分的面积为，则与之间的函数表达式为 (    ) A. B. C. D. 12.已知是实数，且满足，则相应的函数的值为 (    ) A. 或 B. 或 C. D. 或或 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共12分） 13.已知函数是关于的二次函数，则一次函数的图像不经过第          象限． 14.若关于的函数是二次函数，则的取值范围是______ ． 15.函数是关于的二次函数，则________． 16.已知函数的图象是抛物线，且当时，随的增大而增大，则 ______ ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.本小题分 如图，一面利用墙墙的最大可用长度为，用长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃设花圃的一边的长为，面积为． 求与之间的函数表达式及自变量的取值范围 若要围成的花圃的面积为，则的长应为多少米 18.本小题分 写出下列问题中与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围： 如图，在长、宽的矩形绿地内修建等宽的十字形道路，设道路宽为，绿地面积为 某化肥厂月份生产某种化肥，设该厂月、月的月平均增长率为，月份化肥的产量为； 如图，周长的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，面积为 19.本小题分 已知函数当为何值时，它是二次函数？ 20.本小题分 用一段长的铝合金型材制作一个宽为的矩形窗框如图，写出这个窗框的面积与之间的函数表达式不计铝合金型材的宽度． 21.本小题分 在一块矩形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是已知镜面玻璃的价格是每平方米元，边框的价格是每米元，另外制作这面镜子还需加工费元． 设制作这面镜子的总费用是元，镜子的宽是米． 求与之间的函数表达式 如果制作这面镜子共花了元，求这面镜子的长和宽． 22.本小题分 已知函数，是常数． 若这个函数是一次函数，求的值； 若这个函数是二次函数，求的值． 23.本小题分 一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． 设该商品的销售单价降价元，商店每天的销售利润为元，试写出与之间的函数表达式 当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为元 24.本小题分 根据下面的条件列出函数关系式不要求写自变量的取值范围，并判断列出的函数关系式是不是二次函数关系式． 如果两个数中，其中一个数比另一个数大，那么这两个数的乘积是较大的数的函数 在一个半径为的圆上，挖掉个大小相同的正方形孔，剩余的面积是正方形孔边长的函数有一块长为、宽为的矩形空地，计划在它四周相同的宽度内铺设草坪，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积是草坪宽度的函数． 25.本小题分 已知函数为实数． 该函数图象一定与轴有交点吗请判断并说明理由 若，则： 当时，随的增大而减小，请判断这个命题的真假，并说明理由 该函数图象一定经过哪个点 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的定义． 关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为． 根据二次函数的定义判断各选项即可得出答案． 【解答】 解：没有强调，故本选项错误； B.是一次函数，故本选项错误； C.是二次函数，故本选项正确； D.分母中含有，不是二次函数，故本选项错误． 故选C． 2.【答案】  【解析】解：、时，不是二次函数，故A错误； B、不是二次函数，故B错误； C、是二次函数，故C正确； D、不含二次项，不是二次函数，故D错误． 故选：． 根据二次函数的定义，可得答案． 本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数：是二次函数． 3.【答案】  【解析】解：、，是一次函数，故A不符合题意； B、，不是二次函数，故B不符合题意； C、，不是二次函数，故C不符合题意； D、，是二次函数，故D符合题意； 故选：． 根据二次函数的一般形式：形如为常数且，逐一判断即可解答． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：如图，是等边三角形，，． 作交于点，则， ， ， ， ， ． 故选：． 根据三角形的面积公式求出函数解析式即可判断． 本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，以及二次函数的定义，求出函数解析式是解答本题的关键． 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】解：由底面的周长公式：底面周长， 与的关系为：一次函数关系． 根据长方体的侧面积长宽， 可得：， ， 与的关系为：反比例函数关系． 故选：． 根据底面的周长公式“底面周长“可表示出与的关系式，根据圆柱的的侧面积公式长宽”可表示出与，根据各自的表达式形式判断函数类型即可． 此题考查了函数关系式的综合应用，涉及到一次函数，二次函数，反比例函数等知识，熟知函数的相关类型并能够根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键． 7.【答案】  【解析】解：如图，连接， ，， ，， 设的面积为， ， ， ， 与的函数关系为一次函数关系． 故选：． 连接，根据，，得，，设的面积为，所以，，，即可得与的函数关系为一次函数关系． 此题考查了一次函数的定义，此题综合性很强，难度较大，解题的关键是利用图形的面积公式表示出与． 8.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键，根据二次函数定义分别判断得出答案即可． 【解答】 解：根据二次函数定义， ，含有两个未知数，故错误；  ，符合二次函数的定义，故正确；  ，含有分式，不是二次函数，故错误；  ，，故错；  ，不是二次函数，故错误；  为常数，符合二次函数定义，故正确；  为常数，，不是二次函数，故错误； 故是二次函数的有个． 故选B． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件： 一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为； 二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为． 分别列出关系式，根据二次函数的定义，进行选择即可． 【解答】 解：、关系式为：，是二次函数，故本选项正确； B、关系式为：，是一次函数，不是二次函数，故本选项错误； C、设面积为，与的关系式为：，是反比例函数，不是二次函数，故本选项错误； D、关系式为：，是一次函数，不是二次函数，故本选项错误； 故选：． 10.【答案】  【解析】解：、弹簧的增长长度与所挂的物体质量成正比，而弹簧的长度原长增长长度，所以与之间的关系为一次函数关系，不符合题意； B、由可得，而是定值，所以与之间的关系为反比例函数关系，不符合题意；； C、，是正比例函数，不符合题意； D、，所以圆心角的扇形面积与半径之间的关系为二次函数关系，符合题意． 故选：． 根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可． 本题考查二次函数的定义． 11.【答案】  【解析】略 12.【答案】  【解析】点拨：本题易忽略二次根式有意义的条件，误认为可取，，，而错选D． 13.【答案】二  【解析】【分析】本题考查了二次函数的定义和一次函数的性质根据题意求出的值是关键． 先根据二次函数的定义可得，且，求得，再由一次函数的性质可得． 【解答】解：函数是二次函数， ，， 解得， 一次函数的解析式为， 函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 14.【答案】  【解析】解：函数是关于的二次函数， ， 解得． 故答案为：． 根据二次函数的定义列不等式求解即可． 本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的定义，形如为常数，且的函数为二次函数根据定义可得的指数，系数，求解即可． 【解答】 解：函数是二次函数， ，且， ． 故答案为． 16.【答案】  【解析】解：由题意得：，且， 解得：， 当时，随的增大而增大， ， 故答案为：． 根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数可得，且，计算出的值，再根据二次函数的性质进一步确定的值． 此题主要考查了二次函数，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为和自变量指数为这个关键条件． 17.【答案】解：  当时，，解得，． ， ． 的长应为   【解析】见答案 18.【答案】解：由题意得，； 月份生产某种产品，平均每月的增长率为， 月份化肥的产量与月平均增长率之间的函数关系式是：； 由题意可得， ．  【解析】根据矩形可以列出与之间的函数关系式，写出的取值范围即可； 由平均每月的增长率，据题意可知：月份化肥的产量与之间的函数关系式为，月份化肥的产量与之间的函数关系式为； 根据长方形的周长公式可以得到与的函数关系式以及的取值范围； 本题考查了函数关系式，函数自变量的取值范围，掌握矩形的面积的求法是解题的关键；主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 19.【答案】解：函数是二次函数， 且， 由解得，， 由得， 综上所述，当的值为或时，它是二次函数．  【解析】 本题主要考查了二次函数的概念，一元二次方程的解法，解答本题的关键是理解二次函数的定义．先利用二次函数的定义得到关于的方程，求出的值，再根据二次函数解析式中二次项系数不为进行解答，即可求解． 20.【答案】略  【解析】略 21.【答案】解：镜子的宽是米，则长是米， ； 由题意可列方程为 ， 整理得，即， 解得，舍去 ， ， 答：镜子的长和宽分别是和．  【解析】本题是一道一元二次方程的应用题，解这类题关键是理解题意，建立恰当的关系式予以求解． 依题意可得总费用镜面玻璃费用边框的费用加工费用，可得与之间的函数表达式． 根据共花了元，即玻璃的费用边框的费用加工费元，即可列出方程求解． 22.【答案】解：依题意得 依题意得且．  【解析】根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案； 根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案． 本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键． 23.【答案】解：根据题意，得， 即 在中，令， 则， 整理，得，解得，． 要求每件盈利不少于元，元，， 应舍去，即． 答：当每件商品降价元时，该商店每天的销售利润为元   【解析】此题主要考查了二次函数的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利每天销售的利润是解题关键． 根据销售单价每降低元，平均每天可多售出件，可得若降价元，则平均每天可售出件，每件盈利元，据此列出函数关系式； 在中，令，解出一元二次方程的解即可． 24.【答案】解：这两个数的乘积与较大的数之间的函数关系式为，是二次函数关系式． 剩余的面积与正方形孔边长之间的函数关系式为，是二次函数关系式． 郁金香的种植面积与草坪宽度之间的函数关系式为，是二次函数关系式．   【解析】见答案 25.【答案】解：该函数图象与轴一定有交点． 理由如下：当时，为一次函数， 此时函数图象交轴于点． 当时，为二次函数， 令，则， 该函数图象一定与轴有交点． 假命题． 理由如下：，， 抛物线开口向上，对称轴， 对称轴在轴左侧，当时，有可能随的增大而增大，也可能随的增大而减小， 这个命题是假命题． 当时， 当时，． 该函数图象一定经过点和．  【解析】 要判断此函数的类型，需要对进行分析当此函数是二次函数时，当此函数是一次函数时，分别在每种情况下判断对应函数的函数值能不能为即可． 可根据二次项系数的正负及对称轴判断其增减性 取特殊值，如或，然后代入表达式中求出值，即可确定函数图象经过的定点． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$