专题04 一元一次不等式（组）50道含参问题专训（5大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题04 一元一次不等式（组）50道含参问题专训（5大题型） 【题型目录】 题型一 一元一次不等式整数解中的参数问题 题型二 一元一次不等式组整数解中的参数问题 题型三 不等式（组）有解情况求参数 题型四 不等式（组）无解情况求参数 题型五 不等式（组）与方程综合求参问题 【经典例题一 一元一次不等式整数解中的参数问题】 1．（23-24七年级下·上海静安·期末）求满足不等式的所有正整数x． 2．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）已知不等式的最小整数解是方程的解．求m的值． 3．（23-24七年级下·上海崇明·期中）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，求m的值． 4．（2024七年级下·上海·专题练习）已知不等式，它的最大整数解恰好是方程的解，求的值． 5．（23-24七年级下·上海普陀·期中）已知有关的方程的解也是不等式的一个解，求满足条件的整数的最小值． 6．（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知满足不等式的最小整数是关于x的方程的解，求a的值． 7．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 8．（23-24七年级下·上海虹口·阶段练习）解一元一次不等式： (1)解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (2)求不等式的正整数解． 9．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 10．（23-24七年级下·上海普陀·阶段练习）计算：解不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1) (2) (3) (4) (5)求不等式的正整数解． 【经典例题二 一元一次不等式组整数解中的参数问题】 11．（2024年级下·全国·期中）不等式的正整数解为1，2，3，4，求a的取值范围． 12．（23-24七年级下·上海闵行·期末）已知关于x的一元一次不等式组的解集是，求a的值． 13．（2024·上海静安·模拟预测）若关于的不等式组有且只有两个整数解，求的取值范围． 14．（24-25七年级下·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 15．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）已知不等式的正整数解有3个：1，2，3，求a的取值范围． 16．（23-24七年级下·上海静安·单元测试）已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围． 17．（2025七年级下·上海金山·专题练习）（1）已知关于x的不等式的正整数解恰好是1，2，3，求a的取值范围． （2）已知不等式组只有一个整数解，试确定a的取值范围． 18．（23-24七年级下·上海宝山·期中）已知关于x的不等式组． (1)若这个不等式组无解，求a的取值范围； (2)若也是该不等式组的一个解，求a的取值范围． 19．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的解集是，求k的值； (2)若不等式组只有三个整数解，求k的取值范围． 20．（23-24七年级下·上海虹口·阶段练习）已知关于的不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求的值； (2)若该不等式组只有5个整数解，求整数的值． 【经典例题三 不等式（组）有解情况求参数】 21．（2024·上海杨浦·二模）若不等式组有解，求实数a的取值范围． 22．（2024七年级下·上海闵行·专题练习）若不等式组有解，求实数a的取值范围． 23．（23-24七年级下·上海宝山·单元测试）已知关于的不等式组 (1)如果该不等式组有解，求的取值范围； (2)如果该不等式组有个整数解，求的取值范围． 24．（2024七年级下·上海青浦·专题练习）已知关于的不等式组． (1)若该不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围； (2)若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在的范围内，求的取值范围． 25．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）已知关于x的不等式组 （1）若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围； （2）若不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在的范围内，求的取值范围． 26．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a#b=a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算．例如：3#5=3﹣3×5+7． （1）求5#x>0解集； （2）若3m<2#x＜7有解，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围． 27．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是 ； A．    B．    C． D． (2)若关于的不等式被“容纳”，求的取值范围； (3)若能被关于的不等式“容纳”，求的取值范围． 28．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）甲、乙、丙三位同学合作学习一元一次不等式组，要求每位同学给出关于x的不等式． 甲：我写的不等式所有解为非负数；乙：我写的不等式解集为x≤8； 丙：我给出的不等式在求解过程中需要改变不等号的方向， (1)请你填写符合上述条件的不等式，甲：　 　；乙：　 　；丙：　 　． (2)将（1）中的三个不等式列成不等式组，并解此不等式组． 29．（2024七年级下·全国·专题练习）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：是的子集． (1)若不等式组：，，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填A或B）； (2)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是________； (3)已知a，b，c，d为互不相等的整数．其中，，下列三个不等式组：，，满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则的值为________． (4)已知不等式组有解，且是不等式组M的“子集”，请分别写出m、n满足的条件：________． 30．（23-24七年级下·上海静安·期中）【定义新知】 给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式P：是Q：的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 (1)请写出不等式的一个子集 ； (2)若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）； (3)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ； (4)若a，b，c，d为互不相等的整数，，，下列三个不等式组D：，E：，F：，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则的值为 ； (5)已知不等式组G：有解，且不等式组H：是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 ． 【经典例题四 不等式（组）无解情况求参数】 31．（23-24七年级下·上海虹口·期中）已知关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 32．（23-24七年级下·上海宝山·开学考试）已知关于的不等式组无解，化简代数式． 33．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）关于x的不等式组． (1)若该不等式组无解，求k的取值范围； (2)如果该不等式组恰好有2022个整数解，求k的取值范围． 34．（23-24七年级下·上海静安·期中）对于任意实数m、n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：．． (1)若，则______． (2)若关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 35．（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知关于x的不等式组； (1)若该不等式组的解集为，求m的值． (2)若该不等式组无解，则m的取值范围为______． (3)若该不等式组只有4个整数解，求m的整数解． 36．（23-24七年级下·上海闵行·期末）不等式组， (1)当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； (2)要使不等式组无解，直接写出m的取值范围． 37．（24-25七年级下·上海嘉定·单元测试）老师在黑板上写下题目：解一元一次不等式组其中需要同学们在“□”中填写数字． (1)小颖填入数字后得到该不等式组的解集为，求出小颖填写的数字； (2)小明说：“当该一元一次不等式组无解时，在‘□’中填入的数字的取值范围大于．”请判断小明的说法是否正确，并说明理由． 38．（23-24七年级下·上海松江·期中）问读：解不等式． 解：根据乘法法则，和异号，时，或者时，即由题意得到不等式组①和② 解不等式组①，得， 解不等式组②，无解 ∴原不等式的解集为：． 试解不等式． 39．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖；不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖． (1)下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是_______（多选题）． A．     B．     C．    D． (2)若关于x的不等式被覆盖，请求出m的取值范围． (3)若关于x的不等式被覆盖，请求出m的取值范围． 40．（23-24七年级下·上海闵行·期中）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务 解：由不等式①，得 移项、合并同类项，得第二步 解，得：第三步 由不等式②，得第四步 解，得第五步 所以，原不等式组的解集是无解……第六步 任务： (1)小明的解答过程中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)第四步的依据是 ； (3)直接写出这个不等式组正确的解集是 ． 【经典例题五 不等式（组）与方程综合求参问题】 41．（23-24七年级下·上海·单元测试）若不等式组的整数解是关于的方程的解，求的值． 42．（23-24七年级下·全国·课后作业）不等式组的最小整数解是关于x的方程的解，求m的值． 43．（2024七年级下·上海崇明·专题练习）已知关于，的二元一次方程组． (1)若方程组的解、满足方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 44．（23-24七年级下·上海青浦·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”． (1)判定方程是不是不等式组的关联方程，并说明理由； (2)若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围． 45．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，点是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点，满足，那么我们把这样的点表示的数称为连动数，特别地，当点表示的数是整数时我们称为连动整数． (1)是连动数的是______； (2)关于的方程的解满足是连动数，求的取值范围； 46．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 47．（24-25七年级下·上海静安·开学考试）定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们此称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程和为“活力方程”，方程是方程的“领先方程”． (1)若关于x的方程和方程是“活力方程”，求s的值． (2)若“活力方程”的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围． (3)方程是若关于x的方程的“领先方程”，关于x的不等式组有解且均为非负解，若，，，求M的取值范围． 48．（23-24七年级下·上海闵行·期末）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”． (1)在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是________（填序号）． (2)已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：_________． (3)若关于x的不等式组的“中点关联方程”大于方程的解且小于方程的解，求m的取值范围． 49．（23-24七年级下·上海虹口·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 50．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）阅读与思考 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为， 不等式组的解集为． ， 方程为不等式组的“相伴方程”． 阅读上面的内容完成下列问题： (1)填空： 下列方程是不等式组的“相伴方程”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元一次不等式（组）50道含参问题专训（5大题型） 【题型目录】 题型一 一元一次不等式整数解中的参数问题 题型二 一元一次不等式组整数解中的参数问题 题型三 不等式（组）有解情况求参数 题型四 不等式（组）无解情况求参数 题型五 不等式（组）与方程综合求参问题 【经典例题一 一元一次不等式整数解中的参数问题】 1．（23-24七年级下·上海静安·期末）求满足不等式的所有正整数x． 【答案】1，2，3 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再取正整数解即可． 【详解】解： 去分母，得， 去括号得， 移项，合并得， 系数化为1，得，                  ∵x为正整数， ∴x取1，2，3． 2．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）已知不等式的最小整数解是方程的解．求m的值． 【答案】 【分析】此题考查的是一元一次不等式的解，将x的值解出再代入方程即可得出a的值．先将不等式化简求出x的取值，然后取x的最小整数解代入方程，化为关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值． 【详解】解：由得，， 所以最小整数解为， 将代入中， 解得． 3．（23-24七年级下·上海崇明·期中）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，求m的值． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程．先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整数解，即可求出的值，将的值代入方程即可求出的值． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项，合并同类项，得， 则最大的整数解是2． 把代入得：． 4．（2024七年级下·上海·专题练习）已知不等式，它的最大整数解恰好是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】此题考查的是一元一次不等式的解，将的值解出再代入方程即可得出的值．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．此题可先将不等式化简求出的取值，然后取的最大整数解代入方程，化为关于的一元一次方程，解方程即可得出的值． 【详解】解：由得 ， 所以最大整数解为， 将代入中， 解得． 5．（23-24七年级下·上海普陀·期中）已知有关的方程的解也是不等式的一个解，求满足条件的整数的最小值． 【答案】整数的最小值为0 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次不等式的解，先求出一元一次方程的解，再将解代入不等式，求出解集即可得出答案． 【详解】解：原方程可化为：， 即， 解得：， 把代入中，得， 解不等式得：， 所以整数的最小值为0． 6．（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知满足不等式的最小整数是关于x的方程的解，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解，解题的关键是明确一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法． 解不等式求得它的解集，从而可以求得它的最小整数解，然后代入方程，从而可以得到a的值． 【详解】解：由不等式可得：， ∴不等式的最小整数是， 根据题意得， 解得， 7．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，代数式的求值，以及一元一次方程的解，找出不等式的最小整数解是解本题的关键．求出不等式的解集，在解集中找出最小的整数解，将最小的整数解代入方程中，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，将的值代入所求代数式中计算，即可求出值． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 则不等式最小的整数解为， 又不等式最小整数解是方程的解， 将代入方程得：， 解得：， 则． 8．（23-24七年级下·上海虹口·阶段练习）解一元一次不等式： (1)解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (2)求不等式的正整数解． 【答案】(1)，在数轴上表示见解析 (2)正整数解为：1，2 【分析】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意性质3而出错．解不等式要依据不等式的基本性质． （1）根据不等式的性质：去分母、移项，再合并同类项最后系数化1即可； （2）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得． 移项，得． 合并，得． 解得． 在数轴上表示为： ． （2）解：， ， ， ， ， ， 该不等式的正整数解为：1，2 9．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式： （1）先求出方程的解，再根据，求出a的取值范围即可； （2）求出的最大整数解，代入方程，求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：； （2）解，得： ∴不等式的最大整数解为， ∴当时，，解得：． 10．（23-24七年级下·上海普陀·阶段练习）计算：解不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1) (2) (3) (4) (5)求不等式的正整数解． 【答案】(1)，数轴表示见解析； (2)，数轴表示见解析； (3)，数轴表示见解析； (4)，数轴表示见解析； (5)不等式的正整数解是：，数轴表示见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）按照解一元一次不等的步骤求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可； （2）按照解一元一次不等的步骤求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可； （3）按照解一元一次不等的步骤求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可； （4）按照解一元一次不等的步骤求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可； （5）按照解一元一次不等的步骤求出不等式的正整数解，并在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：， ∴， 整理得：， ∴， 这个不等式的解集在数轴上表示如图： （2）解： ∴， 整理得：， ∴， 这个不等式的解集在数轴上表示如图： （3）解：， ∴， 整理得：， ∴， 这个不等式的解集在数轴上表示如图： （4）解：， ∴， ∴， 这个不等式的解集在数轴上表示如图： （5）解： ∴， ∴， ∴， ∴不等式的正整数解是：， 这个不等式的正整数解在数轴上表示如图： 【经典例题二 一元一次不等式组整数解中的参数问题】 11．（2024年级下·全国·期中）不等式的正整数解为1，2，3，4，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解求参数，根据题意得，根据此不等式正整数解为1，2，3，4得，则，可得，即可得，进行计算即可得，根据不等式的解确定a的取值范围是解题的关键． 【详解】解：， ∵此不等式正整数解为1，2，3，4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（23-24七年级下·上海闵行·期末）已知关于x的一元一次不等式组的解集是，求a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，由不等式组解得情况求参数．由①式得，由不等式组的解集是，可分和两种情况分解求解即可． 【详解】解： 解①式得：， ②， ∵不等式组的解集是， ∴当，即时， 此时，解得：， 当， 即， 此时，与不符，故舍去， 综上：． 13．（2024·上海静安·模拟预测）若关于的不等式组有且只有两个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于的不等式组，先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于的不等式组，求出即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于的不等式组有且只有两个整数解， 不等式组的解集为， 不等式组只有两个整数解，则它们是，0， ， 解得：， 故的取值范围为． 14．（24-25七年级下·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集即可得出a的取值范围． 【详解】解：．不等式可化为， ∴． ； 不等式可化为， ∴． ∴， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴． ． 15．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）已知不等式的正整数解有3个：1，2，3，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先算出，结合正整数解有3个：1，2，3，即可列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵正整数解有3个：1，2，3， ∴ 解得． 16．（23-24七年级下·上海静安·单元测试）已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题的关键是掌握不等式组的解法．先分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解是，，，，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得： ， ， ， ， 解不等式②得： ， ， 不等式组的整数解是，，，， 不等式组的解集是， ， 解得：． 17．（2025七年级下·上海金山·专题练习）（1）已知关于x的不等式的正整数解恰好是1，2，3，求a的取值范围． （2）已知不等式组只有一个整数解，试确定a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题属于含有字母的不等式问题，主要考查了一元一次不等式（组）的整数解，首先用含字母的代数式表示不等式（组）的解集，再根据列出关于此字母的不等式组，解之即得． （1）首先求得不等式的解，再根据不等式的正整数解即可得到一个关于a的不等式组，即可求得a的范围； （2）首先求出两个不等式的解集，确定出不等式组的解集，再根据不等式整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：（1）原不等式的解集为． 关于x的不等式的正整数解恰好是1，2，3， 所以， 所以a的取值范围是． （2）解不等式， 得， 所以． 解不等式， 得， 所以． 所以只有当时，原不等式组才有解，且解集为． 因为原不等式组只有一个整数解， 所以由条件，得， 所以a的取值范围是． 18．（23-24七年级下·上海宝山·期中）已知关于x的不等式组． (1)若这个不等式组无解，求a的取值范围； (2)若也是该不等式组的一个解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解题的关键是根据不等式组解的情况列出关于a的不等式或不等式组． （1）根据不等式组无解得出，解关于a的不等式即可； （2）根据也是该不等式组的一个解，得出，解关于a的不等式组即可． 【详解】（1）解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 这个不等式组无解， ， 解得：； （2）解不等式①得：， 解不等式②得：， 是该不等式组的一个解， ， 解得：． 19．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）已知关于x的不等式组 (1)若不等式组的解集是，求k的值； (2)若不等式组只有三个整数解，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先求出不等式组的解集，结合题意，即可得出结果； （2）根据不等式组只有三个整数解，得到，求出k的取值范围即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵原不等式组的解集为， ， （2）由题意，得原不等式组的解集为， ∵不等式组只有三个整数解， ， 解得． 20．（23-24七年级下·上海虹口·阶段练习）已知关于的不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求的值； (2)若该不等式组只有5个整数解，求整数的值． 【答案】(1) (2)的整数解是4，5，6 【分析】（1）先求出不等式组的解集为，根据题意即可得出答案； （2）根据题意可得出不等式组的整数解是，0，1，2，3，进而得出，解得，即可得出答案． 【详解】（1）解：解不等式组 得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得不等式组的解集为：， ∵不等式组只有5个整数解， ∴整数解是，0，1，2，3， 则， 解得：， m的整数解为4，5，6． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力，并根据不等式组的整数解个数得出关于m的不等式组． 【经典例题三 不等式（组）有解情况求参数】 21．（2024·上海杨浦·二模）若不等式组有解，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】根据不等式组的运算法则进行运算即可． 【详解】解：解不等式，得 解不等式，得 原不等式组有解，则 解得 【点睛】本题主要考查了不等式组的特殊解法，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 22．（2024七年级下·上海闵行·专题练习）若不等式组有解，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】先分别求出各不等式的解集，然后求其公共部分即可解答． 【详解】解： 解不等式①得 解不等式②得 ∵不等式组有解， ∴，即，解得：． 【点睛】本题主要考查了解不等式组、根据不等式解得情况求参数等知识点，正确求出不等式的解集是解答本题的关键． 23．（23-24七年级下·上海宝山·单元测试）已知关于的不等式组 (1)如果该不等式组有解，求的取值范围； (2)如果该不等式组有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式组有解得出，解关于a的不等式即可； （2）不等式组有个整数解得出，解关于a的不等式组即可． 【详解】（1）解：∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：， 即此时的取值范围是． （2）解：关于的不等式组的解集为：， ∵该不等式组有个整数解， ∴四个整数解为，4，5，6， ∴， 解得：， 即此时的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解题的关键是根据不等式组解的情况列出关于a的不等式或不等式组． 24．（2024七年级下·上海青浦·专题练习）已知关于的不等式组． (1)若该不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围； (2)若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在的范围内，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1） 解不等式①，得， 解不等式②，得． 不等式组有且只有三个整数解， 不等式组的解集为， ，解得． （2）由（1）可得，当不等式组有解时，不等式组的解集为， ，解得． 又它的解集中的任何一个值均不在的范围内， ，解得， 的取值范围为． 25．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）已知关于x的不等式组 （1）若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围； （2）若不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在的范围内，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解求出整数解，得出关于a的不等式组，从而求解； （2）结合不等式组有解及它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，得出关于a的不等式组，从而求解． 【详解】解：（1）解不等式，得． 解不等式，得， ∵该不等式组有且只有三个整数解， ∴这三个整数解为3，4，5． ∴． ∴． （2）∵该不等式组有解，由（1）知． ∴该不等式组的解集为． 又它的解集中的任何一个值均不在的范围内， ∴． 解不等式组得符合题意的a的取值范围为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组和不等式的整数解，根据题意列出不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 26．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a#b=a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算．例如：3#5=3﹣3×5+7． （1）求5#x>0解集； （2）若3m<2#x＜7有解，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围． 【答案】（1）x＜4；（2）；（3）-1≤m＜0 【分析】（1）根据新定义得出关于x的不等式，解之即可； （2）根据新定义列出关于x的不等式组，再分别求解即可得出其解集； （3）由不等式组整数解的个数得出关于m的不等式组，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）由题意得5-3x+7＞0， 解得x＜4； （2）由题意，得：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：x＜3-m， 则不等式组的解集为； （3）∵该不等式组有3个整数解， ∴3＜3-m≤4， 解得-1≤m＜0． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 27．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是 ； A．    B．    C． D． (2)若关于的不等式被“容纳”，求的取值范围； (3)若能被关于的不等式“容纳”，求的取值范围． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查不等式参数解问题及解不等式，解题的关键是注意参数不等式的分类讨论． （1）分别解出不等式比较即可得到答案； （2）解出不等式列不等式即可得到答案； （3）解出不等式根据能被关于的不等式 “容纳”列式即可得到答案． 【详解】（1）解：不等式A的解集为：， A不符合题意； 不等式B的解集为：， ∴B不符合题意； 不等式C的解集为：， ∴C符合题意； 不等式组D的解集为：无解， ∴D不符合题意； 综上，能被不等式“容纳”的是：C． 故答案为：C； （2）解不等式得， 不等式被 “容纳”， ， ； （3）能被关于的不等式 “容纳”， ，不等式的解集为， ， 的取值范围为 28．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）甲、乙、丙三位同学合作学习一元一次不等式组，要求每位同学给出关于x的不等式． 甲：我写的不等式所有解为非负数；乙：我写的不等式解集为x≤8； 丙：我给出的不等式在求解过程中需要改变不等号的方向， (1)请你填写符合上述条件的不等式，甲：　 　；乙：　 　；丙：　 　． (2)将（1）中的三个不等式列成不等式组，并解此不等式组． 【答案】(1)2x≥0，3x﹣24≤0，﹣4x＜﹣8（答案不唯一） (2)2＜x≤8 【分析】（1）根据不等式的基本性质和题干所描述列出相应不等式即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：符合不等式所有解为非负数的不等式可以是2x≥0； 符合不等式解集为x≤8的不等式为3x﹣24≤0； 符合在求解过程中需要改变不等号的方向的不等式为﹣4x＜﹣8， 故答案为：2x≥0，3x﹣24≤0，﹣4x＜﹣8（答案不唯一）； （2）不等式组为， 由不等式①，得：x≥0， 由不等式②，得：x≤8， 由不等式③，得：x＞2， ∴不等式组的解集为2＜x≤8． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 29．（2024七年级下·全国·专题练习）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：是的子集． (1)若不等式组：，，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填A或B）； (2)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是________； (3)已知a，b，c，d为互不相等的整数．其中，，下列三个不等式组：，，满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则的值为________． (4)已知不等式组有解，且是不等式组M的“子集”，请分别写出m、n满足的条件：________． 【答案】(1)A (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组以及定义运算，读懂题干“子集”的定义以及能求出不等式组的解集是解答此题的关键． （1）根据题意求出不等式组A与B的解集，进而利用题中的新定义判断即可； （2）由题意根据“子集”的定义确定出a的范围即可； （3）由题意根据“子集”的定义得到，再根据a、b、c、d都是整数确定出各自的值，代入原式计算即可求出值； （4）由题意根据“子集”的定义确定出所求即可． 【详解】（1）解：A：的解集为，B：的解集为，M：的解集为， ∴不等式组A是不等式组M的子集，不等式组B不是不等式组M的子集， 故答案为：A； （2）解：不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”， ∴， 故答案为：； （3）解：∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中， ∵A：，B：，C：满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：解不等式组M：得：， ∵不等式组M有解， ∴， ∵N：是不等式组的“子集”， ∴，， ∴， 故答案为：． 30．（23-24七年级下·上海静安·期中）【定义新知】 给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式P：是Q：的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 (1)请写出不等式的一个子集 ； (2)若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）； (3)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ； (4)若a，b，c，d为互不相等的整数，，，下列三个不等式组D：，E：，F：，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则的值为 ； (5)已知不等式组G：有解，且不等式组H：是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 ． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)A (3) (4)120 (5) 【分析】本题考查解一元一次不等式组以及新定义运算，读懂题干“子集”的定义以及能求出不等式组的解集是解答此题的关键． （1）由题意根据“子集”的定义进行解答即可； （2）根据题意求出不等式组A与B的解集，进而利用题中的新定义判断即可； （3）由题意根据“子集”的定义确定出a的范围即可； （4）由题意根据“子集”的定义得到，．即可代入原式计算求出值； （5）根据题题意解得．由m，n为正整数，求的最大值，则m最大为2，n最小为10，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的任意一个解都是不等式的一个解， ∴不等式的一个子集为：．（答案不唯一）． 故答案为：．（答案不唯一）． （2）解：解不等式组A得：； 解不等式组B得：； 解不等式组M得：． ∵不等式组A的任意一个解，都是不等式组M的一个解， ∴不等式组A是不等式组M：的“子集”． 故答案为：A． （3）解：∵不等式组的解集为：，关于x的不等式组是不等式组的“子集”， ∴关于x的不等式组的解集为．且． ∴． 故答案为：． （4）解：∵E：，F：，E是F的“子集”，a，b，c，d为互不相等的整数， ∴． ∴． ∵D是E的“子集”，D：， ∴． ∴． ∴． 故答案为：120． （5）解：∵不等式组G：有解， ∴解集为：． ∵不等式组H：是不等式组G的“子集”， ∴． 解得：． ∵m，n为正整数，求的最大值， ∴m最大为2，n最小为10． ∴的最大值为． 故答案为：． 【经典例题四 不等式（组）无解情况求参数】 31．（23-24七年级下·上海虹口·期中）已知关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】根据不等式组无解，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式组无解， ∴， ∴． 【点睛】本题考查根据不等式组的解集的情况，求参数．熟练掌握不等式组的解集的确定方法：大大小小，无解了，是解题的关键． 32．（23-24七年级下·上海宝山·开学考试）已知关于的不等式组无解，化简代数式． 【答案】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式组无解，求出的取值范围，然后利用绝对值的意义化简即可求出值． 【详解】解：， 原不等式组无解， ， ， ． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，绝对值的意义，求出的取值范围是解答此题的关键． 33．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）关于x的不等式组． (1)若该不等式组无解，求k的取值范围； (2)如果该不等式组恰好有2022个整数解，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式组无解可知，解之即可； （2）根据不等式组恰好有2022个整数解，那么整数解是从0开始到2021结束的自然数，由此可知，解之即可． 【详解】（1）解：∵不等式组无解， ∴， ∴； （2）解：∵不等式组恰好有2022个整数解， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确理解题意是解题的关键． 34．（23-24七年级下·上海静安·期中）对于任意实数m、n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：．． (1)若，则______． (2)若关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据定义得出，再解出方程，即可求解 （2）先根据定义得出，再结合可得关于x的不等式组，然后根据方程组无解，可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：； 故答案为： （2）解：∵， ∴， 即， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是截一元一次方程，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 35．（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知关于x的不等式组； (1)若该不等式组的解集为，求m的值． (2)若该不等式组无解，则m的取值范围为______． (3)若该不等式组只有4个整数解，求m的整数解． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查根据一元一次不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解，（1）先分别解一元一次不等式，再根据不等式组的解集可得，最后求解即可； （2）由（1）可得，，再根据不等式组无解可得，再求解即可； （3）由（1）可得，，根据该不等式组只有4个整数解，可得，再解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：， 由①得，， 由②， ∵该不等式组的解集为， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得，， ∵该不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：由（1）可得，， ∵该不等式组只有4个整数解， ∴， 解得， ∴m的整数解是0． 36．（23-24七年级下·上海闵行·期末）不等式组， (1)当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； (2)要使不等式组无解，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，数轴见解析 (2) 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法及无解问题，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）求出每个不等式的解集并表示在数轴上，即可得到不等式组的解集； （2）求出每个不等式的解集，根据不等式组无解即可得到m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，不等式组为， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 把解集表示在数轴上如下： ∴不等式组的解集为； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵使不等式组无解， ∴， 解得， 即m的取值范围是． 37．（24-25七年级下·上海嘉定·单元测试）老师在黑板上写下题目：解一元一次不等式组其中需要同学们在“□”中填写数字． (1)小颖填入数字后得到该不等式组的解集为，求出小颖填写的数字； (2)小明说：“当该一元一次不等式组无解时，在‘□’中填入的数字的取值范围大于．”请判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)小颖填写的数字为6． (2)小明的说法错误，理由见解析 【详解】解：（1）设小颖填写的数字为a， 则 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∵该不等式组的解集为， ∴，解得， ∴小颖填写的数字为6． （2）小明的说法错误，理由如下： 设在“□”中填入的数字为m， 由（1）可得，不等式组的解集为 ∵该一元一次不等式组无解， ∴，解得， ∴当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字的取值范围小于等于，故小明的说法错误． 38．（23-24七年级下·上海松江·期中）问读：解不等式． 解：根据乘法法则，和异号，时，或者时，即由题意得到不等式组①和② 解不等式组①，得， 解不等式组②，无解 ∴原不等式的解集为：． 试解不等式． 【答案】 【分析】根据提示，可知与异号，即时，，且；时，，且，由此即可求解． 【详解】解：，则与异号， ∴①和②， 解①得，，，且，无解； 解②得，，，且，即解集为， ∴的解集是． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的运用，掌握不等式的性质，分式的性质是解题的关键． 39．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖；不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖． (1)下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是_______（多选题）． A．     B．     C．    D． (2)若关于x的不等式被覆盖，请求出m的取值范围． (3)若关于x的不等式被覆盖，请求出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组及其应用．本题是阅读型题目，准确理解新定义并正确计算是解题的关键． （1）求出每一个不等式及不等式组的解集，利用题干的新定义判断即可； （2）求出关于x的不等式的解集，根据题干的新定义列出关于m的不等式即可求解； （3）根据题干的新定义，分两种情形列出关于m的不等式即可求解． 【详解】（1）解：解不等式得：，故不能被不等式覆盖； 解不等式得：，故不能被不等式覆盖； 解不等式组得：，故能被不等式覆盖； 不等式组无解，故被不等式覆盖； 故答案为：； （2）解不等式得：， ∵关于x的不等式被覆盖， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）解：， ∵关于x的不等式被覆盖， ∴当不等式有解时，， 解得：； 当不等式无解时，可得， 解得：； ∴或， 故答案为：或． 40．（23-24七年级下·上海闵行·期中）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务 解：由不等式①，得 移项、合并同类项，得第二步 解，得：第三步 由不等式②，得第四步 解，得第五步 所以，原不等式组的解集是无解……第六步 任务： (1)小明的解答过程中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)第四步的依据是 ； (3)直接写出这个不等式组正确的解集是 ． 【答案】(1)三；不等式两边同时除以一个负数时，不等号没有改变方向； (2)不等式基本性质2 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组： （1）观察可知，第三步出现错误，错误原因是不等式两边同时除以一个负数时，不等号没有改变方向； （2）根据不等式的性质求解即可； （3）把第三步的错误改正，求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：观察可知，第三步出现错误，错误原因是不等式两边同时除以一个负数时，不等号没有改变方向， 故答案为：三；不等式两边同时除以一个负数时，不等号没有改变方向； （2）解：由题意得，第四步的依据是不等式基本性质2， 故答案为：不等式基本性质2； （3）解：由不等式①，得 移项、合并同类项，得第二步 解，得：第三步 由不等式②，得第四步 解，得第五步 所以，原不等式组的解集是……第六步 【经典例题五 不等式（组）与方程综合求参问题】 41．（23-24七年级下·上海·单元测试）若不等式组的整数解是关于的方程的解，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题主要考查了解不等式组，解一元一次方程，先求出不等式组的解集为，得出整数解为，代入，求出a的值即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 所以不等式组的解集为， 所以整数解为， 把代入已知方程得：， 解得； 所以的值为． 42．（23-24七年级下·全国·课后作业）不等式组的最小整数解是关于x的方程的解，求m的值． 【答案】-7 【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集找出最小整数解，代入方程，即可求解． 【详解】解：解不等式， 得， 解不等式， 得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最小整数解为． 把代入方程，得，解得． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，解题的关键是根据一元一次不等式组的解集找出最小整数解． 43．（2024七年级下·上海崇明·专题练习）已知关于，的二元一次方程组． (1)若方程组的解、满足方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组： （1）把方程组的两个方程相减得到，再根据得到，据此求解即可； （2）由（1）可得，解不等式组即可． 【详解】（1）解： 得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， ∴． 44．（23-24七年级下·上海青浦·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”． (1)判定方程是不是不等式组的关联方程，并说明理由； (2)若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围． 【答案】(1)是关联方程，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式的知识解答． （1）根据关联方程的定义可以解答本题； （2）解已知方程和不等式组，再根据方程都是不等式组的关联方程可得新不等式组，可以求得的取值范围即可解决问题． 【详解】（1）解：是关联方程，理由： 解不等式组，得：，方程的解为， ， 是关联方程； （2）解：解不等式组得解集为，方程的解为，方程的解为， ，都在不等式组的解集内， ， ． 所以m的取值范围是． 45．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，点是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点，满足，那么我们把这样的点表示的数称为连动数，特别地，当点表示的数是整数时我们称为连动整数． (1)是连动数的是______； (2)关于的方程的解满足是连动数，求的取值范围； 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点距离计算，解一元一次不等式组，解一元一次方程： （1）设点P表示的数为，点Q表示的数为n，当，且时，可求出，当，且时，可求出，则当或时点Q可以满足，据此可得答案； （2）先解方程得到，根据（1）所求可得或，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：设点P表示的数为，点Q表示的数为n， 当，且时，则， ∴， ∴； 当，且时，则， ∴， ∴； ∴当或时点Q可以满足， ∴中只有是连动数， 故答案为：； （2）解：解方程得， ∵关于的方程的解满足是连动数， ∴或， 解得或． 46．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 【答案】(1)①② (2) 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于的不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：①， 解得：， ②， 解得：， ③， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为：， ∵和在的范围内， ∴不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ， 解得：， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键． 47．（24-25七年级下·上海静安·开学考试）定义：如果两个一元一次方程的解之差为6，我们就称这两个方程为“活力方程”，如果两个一元一次方程的解之差大于6，我们此称解较大的方程为另一方程的“领先方程”，例如：方程和为“活力方程”，方程是方程的“领先方程”． (1)若关于x的方程和方程是“活力方程”，求s的值． (2)若“活力方程”的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围． (3)方程是若关于x的方程的“领先方程”，关于x的不等式组有解且均为非负解，若，，，求M的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组．理解“活力方程”的定义是解题的关键． （1）先求出与的解，再根据“活力方程”的定义列出求解即可； （2）先求出关于x的不等式组的解集，根据题目条件“‘活力方程’的两个解分别为a，b，且a，b分别是关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解”得出，，从而可得，最后即可求出的取值范围； （3）先求出方程与方程的解，再根据“领先方程”的定义得到或，求得的取值范围；根据关于x的不等式组有解且均为非负解，进一步求出的取值范围，最后根据，，求出的代数式即可解答． 【详解】（1）解关于x的方程，得， 解方程，得. ∵关于x的方程和方程是“活力方程”， ∴， 解得或． （2）解：解关于x的不等式组得， a，b分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，且a，b为“活力方程”的最大整数解和最小整数解 ，， ， ． （3）解：方程的解是，关于x的方程的解是， ∵方程是若关于x的方程的“领先方程”， ∴或，即或， ∵关于x的不等式组有解且均为非负解， ∴，且， ∴． 综上所述，． 解得， ∴， 解得． 48．（23-24七年级下·上海闵行·期末）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”． (1)在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是________（填序号）． (2)已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：_________． (3)若关于x的不等式组的“中点关联方程”大于方程的解且小于方程的解，求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式(组)，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“中点关联方程”是解题的关键． （1）先分别求出三个方程的解和不等式组的解集，再根据“中点关联方程”的定义即可判断； （2）先求出不等式组的解集，根据关联方程的定义即可求解； （3）先求出不等式组的解集和两个一元一次方程的解，再根据题意列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：解不等式组得：， 解方程①得：， 故方程①是不等式组的“中点关联方程”； 解方程②得：， 故方程②不是不等式组的“中点关联方程”； 故答案为：①； （2）解：解不等式组得：， ∴这个不等式组的一个关联方程可以是(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)； （3）解：解不等式组得：，且，解得：． “解集中点”为． 解方程得：， 解方程得：， ∵关于的不等式组的“中点关联方程”大于方程的解且小于方程的解， ， 解得：，又， 故的取值范围是． 49．（23-24七年级下·上海虹口·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】（1）分别解三个方程和不等式组，根据“关联方程”的定义，即可判断求解， （2）解不等式组和方程，将方程的解代入不等式组的解集，即可求解， （3）解不等式组和方程，根据“不等式组有4个整数解”，的到的范围，将方程的解代入不等式组的解集，得到的范围，两者取公共部分，即可求解， 本题考查了，解一元一次不等式组，解一元一次方程，解题的关键是：熟练掌握解一元一次不等式组． 【详解】（1）解：①，解得：， ②，解得：， ③，解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴不等式组的“关联方程”是：①②， 故答案为：①②， （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ，解得：， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”，， ∴，解得：， （3）解：于的方程，解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组有4个整数解， ∴整数的值为1，2，3，4， ∴， ∴， ∵关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”， ∴，解得：， ∴m 的取值范围：． 50．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）阅读与思考 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为， 不等式组的解集为． ， 方程为不等式组的“相伴方程”． 阅读上面的内容完成下列问题： (1)填空： 下列方程是不等式组的“相伴方程”的是 ；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能准确解不等式组是解此题的关键． （1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，求出结果即可． 【详解】（1）解不等式组，得：， 解方程①，，得：， 解方程②，，得：， 解方程③，，得：， ， 不等式组的“相伴方程”的是②， 故答案为：②； （2）解：解不等式组，得：， 解方程得：， 关于的方程是不等式组的“相伴方程”， ， 解得：， 即的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$