8.1 平方根与算数平方根 课件 2024--2025学年人教版七年级数学下册

8.1 平方根 第 八 章 实数 平方根与算数平方根 知识回顾 10～20之间整数的平方，你都记得哪些？ 11²= ，12²= ，13²= ， 14²= ，15²= ，16²= ， 17²= ，18²= ，19²= . 121 144 169 196 225 256 289 324 361 问题1 学校要举行美术作品比赛， 阿迪想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ ∵52 =25, ∴这块正方形画布的边长应取5dm. 情境引入 正方形的面积和边长有怎样的数量关系呢？ S=a2 延伸 我们来计算几个不同面积的正方形的边长，请完成下表： 面积 1 9 36 0.81 边长 1 3 6 0.9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算. 1 4 9 求平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 求平方根 逆运算 求一个数的平方根的运算叫作开平方. 正数a有两个平方根， ，另一个是 ， 它们互为相反数。这两个平方根合起来可以记作 一个是算术平方根 读作：正负根号a 平方根的特征 正数有两个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根 特别强调 1、判断下列各数是否有平方根，请说明理由. -4; 0; 0.000001; 100; 考查点：平方根的定义 1、求下列各数的平方根 （1）64；(2）0.0004 （3）11 (4) 考查点：平方根的计算 2、判断下列各式计算是否正确，并说明理由 4、一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数． 考查点：平方根的计算 3、求下列各式的值： 填空 （2）16的算术平方根是 ； 4 （3） 的算术平方根是 . 2 一步运算 两步运算 （1）16的平方根是 易错点：平方根的计算 （4） 的平方根是 . 考查点：算数平方根的双重非负性 若 , 则m= 。 = （1） 考查点：算数平方根的性质 = （2） = （3） 归纳概括 数学模型：已知一个正数的平方，求这个正数. 这个实际问题可以概括为怎样的数学问题呢？ 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x2 =a, 那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. 数学定义 规定：0的算术平方根是0. a 的算术平方根记为“ ”,读作： 根号a , a 叫做被开方数. 数学表示 a 叫被开方数 表示 a 的算术平方根 读作：根号 a 已知正方形的面积是9求边长，边长就是9的算术平方根. 例1 求下列各数的算术平方根： (1)100； (2) ； (3)0.0001； (4)－1 解：(1)∵102=100， ∴100的算数平方根是10， 即 典型例题 (2)∵ ， ∴ 的算数平方根是 ， 即 例1 求下列各数的算术平方根： (1)100； (2) ； (3)0.0001； (4)－1 (3)∵0.012=0.0001， ∴0.0001的算数平方根是0.01， 即 典型例题 (4)因为不存在哪个数的平方等于-1， 所以-1没有算数平方根. 从例题可以看出： 1、被开方数越大，对应的算术平方根越大. （即“同增同减”） 2、负数没有算术平方根. 解：（1） ∵ 12=1 ∴1的算术平方根是1 即 例2 求下列各式的值： 解：（2） ∵ ∴ 的算术平方根是 即 例2 求下列各式的值： 解：（3） ∵ 42=16 ∴ 的算术平方根是4 即 例2 求下列各式的值： 解：（4） ∵ 0.052=0.0025 ∴0.0025的算术平方根是0.05 即 例2 求下列各式的值： 例3 计算： 具有双重非负性 在x2 =a中，因为a是正数x的平方，所以a是正数，当x=0时，a=0，综上所述，x与a的取值范围是什么呢？ x≥0， a≥0 1. a≥0 ，即被开方数是非负数 2. ，即算术平方根是非负数 重要性质 例4 下列各式中，x为何值时有意义？ ① ② ③ ∵ -x ≥0 ∴ x ≤0　 解: ∵1-2x≥0 ∴x≤ ∵ ≥0 ∴ x为任意实数 典型例题 总结：根据算术平方根的被开方数大于等于0解题. (1)若 ， 则a+b+c的算术平方根是 ; 例5 解: ∵ ，|b＋1| ≥0，(c-3)2≥0， 又∵ ∴a-2=0,b+1=0,c-3=0 ∴a=2，b=-1,c=3 ∴ 2 总结：几个非负数的和为0，则每个数均为0. (2)已知 ，则x= ， y= . 0 1 总结：两个被开方数都要大于等于0，所以 x 的范围要取公共部分. 解: ∵x≥0， ① 又∵-x≥0，即x≤0，② 综合①②得：x=0, ∴y=1. 易错分析 1. 分析 、 、 的区别. 表示的意义 被开方数 结果 42的算术平方根 42即16 4 (-4)2的算术平方根 (-4)2即16 4 4的算术平方根的平方 4 4 归纳两个重要公式： 2. 分析“16的算术平方根”与 “ 的算术平方根”的区别. 易错分析 “16的算术平方根” “ 的算术平方根” ① ②4的算术平方根等于2 （两步计算） （一步） 结束！ $$