第八章 必刷小题16 圆锥曲线（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

必刷小题16　圆锥曲线 一、单项选择题 1．(2023·淄博模拟)双曲线－x2＝1的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　双曲线－x2＝1的焦点在y轴上，a＝，b＝1，c＝＝2， 所以离心率为＝＝. 2．(2022·郑州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以C的上、下顶点和一个焦点为顶点的三角形的面积为48，则椭圆的长轴长为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 答案　D 解析　根据题意，由椭圆的离心率为可得＝， 又×2b×c＝48，即bc＝48，且a2＝b2＋c2， 故可得a＝10，b＝8，c＝6，则椭圆的长轴长2a＝20. 3．(2022·长春模拟)已知M为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则p等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，因为点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，所以＝2，所以p＝4. 4．(2023·河北衡水中学检测)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　A 解析　由题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)， 因为椭圆C的离心率为，面积为12π， 所以 解得a2＝16，b2＝9， 所以椭圆C的方程为＋＝1. 5．(2022·滁州模拟)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且在x轴的下方，若线段PF2的中点在以原点O为圆心，OF2为半径的圆上，则直线PF2的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　在椭圆＋＝1中，a＝2，b＝，c＝＝1， 设线段PF2的中点为M，连接PF1，MF1，如图所示，则F1F2为圆O的一条直径，则F1M⊥PF2， 因为M为PF2的中点，则|PF1|＝|F1F2|＝2c＝2，则|PF2|＝2a－|PF1|＝2， 所以△PF1F2为等边三角形，由图可知，直线PF2的倾斜角为. 6．(2023·石家庄模拟)已知，点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点M(3,4)，则|PM|＋|PN|的最小值是(　　) A．2－1 B.－1 C.＋1 D．2＋1 答案　A 解析　由抛物线C：y2＝4x知，焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1， 过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图， 由抛物线定义知|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|＝|PF|＋|PM|－1， 当F，P，M三点共线时，|PM|＋|PN|取得最小值，则最小值为|MF|－1＝－1＝2－1. 7．(2022·龙岩质检)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，且△OMF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为(　　) A.＋1 B.＋1 C．2(－1) D. 答案　A 解析　如图所示，连接MF1. 因为△OMF2为等边三角形， 所以|OM|＝|MF2|＝|OF2|＝|OF1|＝c， 所以∠F2MF1＝90°， 在Rt△F2MF1中，∠F1F2M＝60°， 所以|MF1|＝tan 60°|MF2|＝c. 由双曲线的定义可得|MF1|－|MF2|＝2a， 即c－c＝2a， 所以离心率e＝＝＝＋1. 8．(2023·济宁模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若＝，则线段BC的中点到准线的距离为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　由抛物线的方程可得焦点F(1,0)，准线的方程为x＝－1， 由＝，可得＝. 由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图所示，作BE垂直准线于点E， 准线交x轴于点N，则|BF|＝|BE|， 故＝＝，故cos∠ABE＝＝，即∠ABE＝， 而BE∥x轴，故∠AFN＝，所以直线AB的倾斜角为， 所以直线AB的方程为y＝x－1， 设B(x1，y1)，C(x2，y2)， 联立整理可得x2－6x＋1＝0， 可得x1＋x2＝6， 所以BC的中点的横坐标为3， 则线段BC的中点到准线的距离为3＋1＝4. 二、多项选择题 9．(2022·潍坊模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为y＝x，P为C上一点，则以下说法正确的是(　　) A．C的实轴长为8 B．C的离心率为 C．|PF1|－|PF2|＝8 D．C的焦距为10 答案　AD 解析　由双曲线方程知，渐近线方程为y＝±x， 而一条渐近线方程为y＝x， ∴a＝4，故C：－＝1， ∴双曲线实轴长为2a＝8， 离心率e＝＝＝， 由于P可能在C不同分支上， 则有||PF1|－|PF2||＝8， 焦距为2c＝2＝10. ∴A，D正确，B，C错误． 10．(2022·潍坊模拟)已知抛物线x2＝y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　) A．点F的坐标为 B．若直线MN过点F，则x1x2＝－ C．若＝λ，则|MN|的最小值为 D．若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为 答案　BCD 解析　易知点F的坐标为，选项A错误； 根据抛物线的性质知，MN过焦点F时， x1x2＝－p2＝－，选项B正确； 若＝λ，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，选项C正确； 抛物线x2＝y的焦点为， 准线方程为y＝－， 过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)， 所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|. 所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝， 所以线段|PP′|＝＝， 所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－＝－＝，选项D正确． 11．(2023·湖北四地联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(，1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则(　　) A．椭圆C的离心率的取值范围是 B．当椭圆C的离心率为时，|QF1|的取值范围是[2－，2＋] C．存在点Q使得·＝0 D.＋的最小值为1 答案　BCD 解析　由题意得a＝2， 又点P(，1)在椭圆C外， 则＋>1，解得b<， 所以椭圆C的离心率e＝＝>， 即椭圆C的离心率的取值范围是，故A不正确； 当e＝时，c＝，b＝＝1， 所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]， 即[2－，2＋]，故B正确； 设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)， 由于·＝b2－c2＝2b2－a2<0， 所以存在点Q使得·＝0，故C正确； (|QF1|＋|QF2|)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时，等号成立， 又|QF1|＋|QF2|＝4， 所以＋≥1，故D正确． 12．已知直线y＝kx(k≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a2，则以下结论正确的有(　　) A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为y＝±2x D．k＝± 答案　BCD 解析　以AB为直径的圆过右焦点F， ∴以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2， 设|AF|＝m，|BF|＝n，则|m－n|＝2a， S△ABF＝mn＝4a2，m2＋n2＝|AB|2＝4c2， ∴ 解得m＝2a，n＝4a或m＝4a，n＝2a， 所以c2＝5a2，即e＝，A错误，B正确； ＝＝2， ∴渐近线方程为y＝±2x，C正确； 不妨设k>0，且点B在第一象限， 则|BO|＝|OF|＝c，|BF|＝2a＝c， ∴由余弦定理得，cos∠BOF＝＝， ∴sin∠BOF＝，tan∠BOF＝， 此时k＝， 同理可得，当k<0时，k＝－， ∴k＝±，D正确． 三、填空题 13．(2022·烟台模拟)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程________________． ①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为. 答案　＋＝1(答案不唯一) 解析　只要椭圆方程形如＋＝1(m>0)或＋＝1(m>0)即可． 14．(2023·衡水中学模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为________． 答案　 解析　∵＝2，∴＝4，故＝4， ∴＝， ∴两条渐近线方程为y＝±x， ∴两条渐近线所成的锐角为. 15．(2023·海东模拟)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与相关的代数问题可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程＋＝4的解是________． 答案　x＝± 解析　因为＋＝4，所以＋＝4，可转化为点(x,2)到点(－2,0)和点(2,0)的距离之和为4，所以点(x,2)在椭圆＋＝1上，则＋＝1，解得x＝±. 16．(2022·临沂模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，Q(2,3)为C内的一点，M为C上的任意一点，且|MQ|＋|MF|的最小值为4，则p＝________；若直线l过点Q，与抛物线C交于A，B两点，且Q为线段AB的中点，则△AOB的面积为________． 答案　2　2 解析　如图，过点M作MM1垂直准线于点M1，由抛物线定义可知|MF|＝|MM1|.所以|MQ|＋|MF|＝|MQ|＋|MM1|. 过点Q作QQ1垂直准线于点Q1，交抛物线于点P， 所以|MQ|＋|MM1|≥|PQ|＋|PQ1|， 所以当M在P处时，|MQ|＋|MM1|＝|PQ|＋|PQ1|＝|QQ1|最小， 此时|QQ1|＝3＋＝4，解得p＝2. 所以抛物线标准方程为x2＝4y. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 两式相减得x－x＝4y1－4y2， 即(x1＋x2)(x1－x2)＝4(y1－y2)． 因为Q(2,3)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝4，所以直线AB的斜率为k＝＝＝1，所以直线AB的方程为y－3＝1×(x－2)，即y＝x＋1. 由A(x1，y1)，B(x2，y2)符合消去y得x2－4x－4＝0， 所以x1＋x2＝4，x1x2＝－4. 所以弦长|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝8. 而O到直线AB的距离为d＝＝， 所以S△AOB＝|AB|·d＝×8×＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$