第八章 §8.6 双曲线（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§8.6　双曲线 考试要求　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用． 知识梳理 1．双曲线的定义 平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 常用结论 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. 4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2. 5．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　) (3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.(　√　) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　) 教材改编题 1．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　　) A．－1<k<5 B．k>5 C．k<－1 D．k≠－1或5 答案　C 解析　若曲线C是焦点在y轴上的双曲线， 则解得k<－1. 2．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 答案　C 解析　依题意知，双曲线－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝，虚半轴长b＝1， 所以双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是y＝±x. 3．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________. 答案　17 解析　根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8， 因为|PF1|＝9， 所以|PF2|＝1或17. 又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17. 题型一　双曲线的定义及应用 例1 (1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　　) A.－＝1(x>2) B.－＝1(x>3) C.＋＝1(0<x<2) D.＋＝1(0<x<3) 答案　A 解析　如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F， 则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝5－1＝4. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)， 即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5， 所以顶点C的轨迹方程为－＝1(x>2)． (2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______． 答案　2 解析　不妨设点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝＝， ∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2. 思维升华　在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． 跟踪训练1　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1) 答案　C 解析　设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切， 得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r， |MC2|－|MC1|＝2<6， 所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支， 且2a＝2，解得a＝1，又c＝3， 则b2＝c2－a2＝8， 所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． (2)已知双曲线C：－＝1的左焦点为F1，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为(3,1)，则|MD|－|MF1|的最大值为(　　) A．3 B．1 C．－3 D．－2 答案　C 解析　由题意知双曲线C的实半轴长a＝2，设右焦点为F2(3,0)， 所以|MD|－|MF1|＝|MD|－(|MF2|＋2a) ＝(|MD|－|MF2|)－2a≤|F2D|－2a＝－4＝－3， 当且仅当M为DF2的延长线与双曲线交点时取等号． 题型二　双曲线的标准方程 例2　(1)(2021·北京)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1 答案　A 解析　由e＝＝2， 得c＝2a，b＝＝a， 则双曲线的方程为－＝1， 将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此双曲线的标准方程为x2－＝1. (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则双曲线C的标准方程为(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　A 解析　因为焦距为2，所以半焦距为，故a2＋b2＝5， 因为P(2,1)在C的一条渐近线上，故×2＝1，解得a＝2，b＝1， 故双曲线C的标准方程为－y2＝1. 思维升华　求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值． 跟踪训练2　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　A 解析　易知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为ay＝±bx，由C的左焦点(－c,0)到其渐近线的距离是2，可得＝b＝2，则b2＝12， 由双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，得e＝＝2，又c2＝a2＋b2， 解得a＝2，c＝4， 则双曲线的方程为－＝1. (2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是(　　) A.－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 解析　由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上． 设该双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)， 则解得 故该双曲线的标准方程是－＝1. 题型三　双曲线的几何性质 命题点1　渐近线 例3　(1)(2022·北京)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________. 答案　－3 解析　方法一　依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2－＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±＝±，解得m＝－3. 方法二　依题意得m<0，令y2－＝0，得y＝±x，则±＝±，解得m＝－3. (2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________． 答案　4x2－y2＝1 解析　方法一　由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设－＝1(a>0，b>0)，则－＝1且＝2，联立解得a＝，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1； ②若双曲线的焦点在y轴上，则可设－＝1(a>0，b>0)，则－＝1，且＝2，此时无解，综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1. 方法二　由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)， ∵双曲线经过点(1，)， ∴λ＝4×12－()2＝1， ∴双曲线方程为4x2－y2＝1. 思维升华　(1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0. (2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2. 命题点2　离心率 例4　(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m， 在△F1PF2中， |F1F2|＝ ＝m， 所以C的离心率e＝＝＝ ＝＝. (2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________． 答案　2((1，]内的任意值均可) 解析　双曲线C的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点， 则2≥，∴≤4，∴e2＝＝1＋≤5， 又e＞1，∴e∈(1，]， ∴填写(1，]内的任意值均可． 思维升华　求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)． 跟踪训练3　(1)(多选)(2022·南京模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为(　　) A．2 B. C. D. 答案　AC 解析　∵双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x， ∴由双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为， 可得＝tan ＝或＝tan ＝. ∴双曲线的离心率为e＝＝， 即e＝2或. (2)(多选)(2023·聊城模拟)已知双曲线C：＋＝1(0<k<1)，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的焦点在x轴上 B．双曲线C的焦距等于4 C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于 D．双曲线C的离心率的取值范围为 答案　ACD 解析　对于A，因为0<k<1，所以9－k>0，k－1<0， 所以双曲线C：－＝1(0<k<1)表示焦点在x轴上的双曲线，故选项A正确； 对于B，由A知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝， 所以双曲线C的焦距等于2c＝2(0<k<1)，故选项B错误； 对于C，设焦点在x轴上的双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，焦点坐标为(±c,0)，则渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0， 所以焦点到渐近线的距离d＝＝b， 所以双曲线C：－＝1(0<k<1)的焦点到其渐近线的距离等于，故选项C正确； 对于D，双曲线C的离心率e＝＝＝， 因为0<k<1，所以1<2－<，所以e＝∈，故选项D正确． 课时精练 1．(2022·宜昌模拟)双曲线－＝λ(λ>0)的离心率为(　　) A. B. C.或 D. 答案　B 解析　因为λ>0，所以－＝1，所以双曲线焦点在x轴上，所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝6λ，所以离心率为＝＝＝. 2. “mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　因为方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，所以mn<0， 又当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线， 因此“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件． 3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1或－＝1 C.－＝1 D.－＝1或－＝1 答案　D 解析　设双曲线方程为－＝1(m≠0)， ∵2a＝4，∴a2＝4， 当m>0时，2m＝4，m＝2； 当m<0时，－m＝4，m＝－4. 故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 4．(2022·南通模拟)方程x2＋(cos θ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲线不可能为(　　) A．两条直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 答案　B 解析　因为θ∈(0，π)，所以cos θ∈(－1,1)， 所以当cos θ∈(－1,0)时，方程x2＋(cos θ)y2＝1表示双曲线； 当cos θ＝0时，方程x2＋(cos θ)y2＝1表示两条直线x＝±1； 当cos θ∈(0,1)时，方程x2＋(cos θ)y2＝1可化为x2＋＝1， 因为>1，所以方程表示焦点在y轴上的椭圆． 5．(多选)(2023·唐山模拟)已知F1，F2为双曲线C：－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则(　　) A．|PF1|－|PF2|＝2 B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x C．双曲线C的离心率为 D．|＋|≥2 答案　CD 解析　双曲线C：－x2＝1焦点在y轴上，a＝，b＝1，c＝＝2. 对于A选项，||PF1|－|PF2||＝2a＝2，而P点在哪支上并不确定，故A错误； 对于B选项，焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，故B错误； 对于C选项，e＝＝＝，故C正确； 对于D选项，设P(x，y)(x∈R)，则|PO|＝＝＝≥(当且仅当x＝0时取等号)， 因为O为F1F2的中点，所以|＋|＝|2|＝2||≥2，故D正确． 6．(多选)已知F1，F2是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1作倾斜角为30°的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，|PM|＝|MF1|，下列判断正确的是(　　) A．∠PF2F1＝60° B．|MF2|＝|PF1| C．E的离心率等于 D．E的渐近线方程为y＝±x 答案　BCD 解析　如图所示， 因为|PM|＝|MF1|， 即M为PF1中点，O为F1F2中点， 所以OM∥PF2， 因为OM⊥F1F2， 所以PF2⊥F1F2， 所以∠PF2F1＝90°，|MF2|＝|PF1|，故A错误，B正确； 由PF2⊥F1F2知，|PF2|＝， 又|F1F2|＝2c，∠PF1F2＝30°， 所以＝2c， 即(c2－a2)＝2ac， 所以e2－2e－＝0， 解得e＝(负值舍去)，故C正确； 因为e＝＝， 所以c2＝3a2， 所以b2＝c2－a2＝2a2， 所以＝， 所以E的渐近线方程为y＝±x，故D正确． 7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为________． 答案　y＝±x 解析　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2， 所以e＝＝＝＝2，所以＝3， 所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x. 8．若F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|＝4，△ABF2的周长是20，则m＝________. 答案　9 解析　由题意得m>0， 根据双曲线定义得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF2|－|BF1|＝2a＝2， 上述两式相加得(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝4， 即|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4， 即|AF2|＋|BF2|－4＝4， ∴|AF2|＋|BF2|＝4＋4， ∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4＋4＋4＝20， 解得m＝9. 9．已知双曲线C：x2－＝1(b>0)． (1)若双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程； (2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值． 解　(1)因为双曲线C：x2－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx，而它的一条渐近线方程为y＝2x， 所以b＝2， 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)因为PF1⊥PF2， 所以＝|PF1|·|PF2|， 因为△PF1F2的面积为9， 所以|PF1|·|PF2|＝18， 又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2， 所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝40， 又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， 所以c2＝10， 由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10， 所以b＝3. 10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与双曲线－＝1有相同的渐近线，且经过点M(，－)． (1)求双曲线C的方程； (2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离． 解　(1)在双曲线－＝1中，a′＝2，b′＝， 则渐近线方程为y＝±x＝±x， ∵双曲线C：－＝1与双曲线－＝1有相同的渐近线， ∴＝， ∴方程可化为－＝1， 又双曲线C经过点M(，－)，代入方程得 －＝1，解得a＝1，故b＝， ∴双曲线C的方程为x2－＝1. (2)由(1)知双曲线C的方程为x2－＝1， ∵a＝1，b＝，c＝， ∴实轴长2a＝2，离心率为e＝＝， 设双曲线C的一个焦点为(－，0)，一条渐近线方程为y＝x， ∴d＝＝， 即焦点到渐近线的距离为. 11．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，一条渐近线方程为x－y＝0，则C的方程为(　　) A.－y2＝1或y2－＝1 B．x2－＝1或y2－＝1 C.－y2＝1或－x2＝1 D．x2－＝1或－x2＝1 答案　A 解析　在椭圆＋＝1中，c＝＝2， ∴焦距2c＝4. ∵C的一条渐近线方程为x－y＝0， ∴设C的方程为－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为－＝1. 当λ>0时，c＝＝2，解得λ＝1，则C的方程为－y2＝1； 当λ<0时，c＝＝2，解得λ＝－1，则C的方程为y2－＝1. 综上，C的方程为－y2＝1或y2－＝1. 12．(2022·徐州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之比是∶，则该双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　过点A作AF⊥x轴，垂足为F，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，如图所示． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|OB|＝|OF2|＝c， 由渐近线的方程y＝x可知y2＝x2， 在Rt△OBE中，x＋x＝c2，解得x2＝a(舍负)， 由已知得x1∶x2＝∶，即x1＝a，即|AF|2＝c2－2＝c2－a2， 因为离心率e>， 所以c2－a2>0， 则点A的坐标为， 代入双曲线方程可得－＝1，化简得2a2＝c2，即e＝. 13．(多选)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足＋＋＝0(其中O为坐标原点)，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0 B．双曲线C的离心率为 C．||＝1 D．△OMN的面积为6 答案　ABD 解析　如图， 设双曲线C的焦距为2c＝2，MN与y轴交于点P， 由题意可知|OM|＝c＝， 则P(0，b)，由＋＋＝0，得点E为△OMN的重心，可得|OE|＝|OP|， 即a＝b，＝＝， 所以a＝2，b＝3，e＝. 所以双曲线C的渐近线方程为3x±2y＝0，||＝2， M的坐标为(2,3)，S△OMN＝6. 14．(2023·广州模拟)从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且|AB|＝|BC|＝|CD|，则该双曲线的离心率为________． 答案　 解析　如图，设圆O的半径为r，双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 因为|AB|＝|BC|＝|CD|，所以a＝， 由题意可知E，代入方程－＝1，得－＝1， 解得b2＝，所以e＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$