第七章 §7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§7.1　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 考试要求　1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图． 知识梳理 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4．柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 S表＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 S表＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 S表＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S表＝4πR2 V＝πR3 常用结论 1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)． 2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)菱形的直观图仍是菱形．(　×　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　×　) (3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(　×　) (4)锥体的体积等于底面积与高之积．(　×　) 教材改编题 1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是(　　) A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 答案　C 解析　由几何体的结构特征知，盛水部分的几何体是四棱柱． 2．下列说法正确的是(　　) A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形的直观图是正方形 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 答案　D 解析　由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形． 3．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D. cm 答案　B 解析　设圆锥底面圆的半径为r cm，母线长为l cm， 依题意得2πr＝πl，∴l＝2r， S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm). 题型一　基本立体图形 命题点1　结构特征 例1　(多选)下列说法中不正确的是(　　) A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 答案　ABC 解析　由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A错误； 由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体，故B错误； 底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误； 棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确． 命题点2　直观图 例2　已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，则原四边形OABC的面积为(　　) A. B．3 C．4 D．5 答案　B 解析　方法一　由已知求得O′C′＝，把直观图还原为原图形如图， 可得原图形为直角梯形，OA∥CB，OA⊥OC，且OA＝1，BC＝2，OC＝2， 得原四边形OABC的面积为×(1＋2)×2＝3. 方法二　由题意知A′B′＝1， ∴S直观图＝×(1＋2)×1＝， ∴S原图形＝2S直观图＝3. 命题点3　展开图 例3　如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为(　　) A．12 cm B．13 cm C. cm D．15 cm 答案　C 解析　如图，把侧面展开2周可得对角线最短，则AA1＝＝(cm)． 思维升华　空间几何体结构特征的判断技巧 (1)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可． (2)在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． (3)在解决空间折线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化． 跟踪训练1　(1)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为(　　) A．4＋4 B．4＋4 C．8 D．8 答案　B 解析　根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示， 其中OA＝2，OD＝4，AB＝CD＝2，则AD＝＝2， 故原平面图形的周长为2＋2＋2＋2＝4＋4. (2)(多选)下列命题中不正确的是(　　) A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 C．不存在每个面都是直角三角形的四面体 D．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 答案　ACD 解析　A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C不正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；D不正确，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等． (3)(2023·岳阳模拟)已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl，由题意得＝，解得l＝，∵圆锥底面圆的周长即为侧面展开图扇形的弧长为2πr，∴该扇形的圆心角为α＝＝＝. 题型二　表面积与体积 命题点1　表面积 例4　(1)(2022·深圳模拟)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(　　) A．8π B．4π C．8 D．4 答案　A 解析　以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体为圆柱，其底面半径r＝2，高h＝2， ∴所得圆柱的侧面积S＝2πrh＝2π×2×2＝8π. (2)(2023·丽江模拟)已知三棱锥的三条侧棱长均为2，有两个侧面是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为(　　) A．4＋3＋ B．4＋＋2 C．4＋＋ D．4＋2＋ 答案　C 解析　结合题目边长关系，三棱锥如图所示，AB＝AC＝AD＝2，CE＝， 由题意得△ABC，△ACD是等腰直角三角形，则BC＝CD＝2， BE＝＝，BD＝2，AE＝＝1，则该三棱锥的表面积为S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD＝×2×2＋×2×2＋×2×1＋×2×＝4＋＋. 命题点2　体积 例5　(1)(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为(　　) A．20＋12 B．28 C. D. 答案　D 解析　作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图， 因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2， 所以该棱台的高h＝＝， 下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4， 所以该棱台的体积V＝h(S1＋S2＋) ＝××(16＋4＋)＝. (2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为(　　) A. B. C．4 D．6 答案　B 解析　如图，三棱锥A－B1CD1是由正方体ABCD－A1B1C1D1截去四个小三棱锥A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD得到的， 又＝23＝8， ＝××23＝， 所以＝8－4×＝. 思维升华　求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 跟踪训练2　(1)(2021·北京)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨(<10 mm)，中雨(10 mm－25 mm)，大雨(25 mm－50 mm)，暴雨(50 mm－100 mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级(　　) A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 答案　B 解析　由题意，一个半径为＝100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为×＝50(mm)，高为150(mm)的圆锥， 所以积水厚度d＝＝12.5(mm)，属于中雨． (2)(2022·沈阳模拟)在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7 cm，底面边长为7 cm(数据为笔筒的外观数据)，用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为(　　) A．120 cm2 B．162.7 cm2 C．785.4 cm2 D．1 570.8 cm2 答案　C 解析　根据正六棱柱的底面边长为7 cm，得正六棱柱的侧面积为6×7×18.7＝785.4(cm2)， 所以至少需要绒布的面积为785.4 cm2. 课时精练 1．以斜边长为2的等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为(　　) A．2π B. C．4π D．4π 答案　B 解析　由题意，所得到的几何体是底面半径为，高为的圆锥体， 该圆锥体的体积V＝×π×()2×＝. 2.如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB的直观图(图中虚线分别与x′轴、y′轴平行)，则原图形△AOB的面积是(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 答案　C 解析　根据题意，如图，原图形△AOB的底边OB的长为4，高为16， 所以其面积S＝×4×16＝32. 3．(多选)下列说法不正确的是(　　) A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 答案　ABC 解析　选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A错误；选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B错误；选项C，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确． 4．(2022·莆田模拟)已知圆锥的侧面展开图为一个面积为2π的半圆，则该圆锥的高为(　　) A. B．1 C. D. 答案　D 解析　设圆锥的母线长为l，圆锥的底面圆半径为r，如图． 由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则解得r2＝1，l2＝4， 则圆锥的高h＝＝. 5.如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为(　　) A．12 B．16 C．24 D．24 答案　A 解析　如图，设圆锥侧面展开图的圆心角为θ， 则由题意可得2π×4＝12θ， 则θ＝， 在△POP′中，OP＝OP′＝12， 则小虫爬行的最短路程为 PP′＝＝12. 6．(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　　) A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3 C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3 答案　C 解析　如图，由已知得该棱台的高为 157．5－148.5＝9(m)， 所以该棱台的体积 V＝×9×(140＋＋180)×106＝60×(16＋3)×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C. 7.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为36，E为棱CC1上的点，且CE＝2EC1，则三棱锥E－BCD的体积是(　　) A．3 B．4 C．6 D．12 答案　B 解析　因为S△BCD＝S四边形ABCD，CE＝CC1，＝S四边形ABCD·CC1＝36，所以VE－BCD＝S△BCD·CE＝×S四边形ABCD×CC1＝×36＝4. 8.(多选)(2023·邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为米，则(　　) A．正四棱锥的底面边长为6米 B．正四棱锥的底面边长为3米 C．正四棱锥的侧面积为24平方米 D．正四棱锥的侧面积为12平方米 答案　AC 解析　如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点， 则SH⊥AB， 设底面边长为2a米． 因为∠SHO＝30°， 所以OH＝AH＝a米，OS＝a米，SH＝a米． 在Rt△SAH中，a2＋2＝21， 解得a＝3，所以正四棱锥的底面边长为6米，侧面积为S＝×6×2×4＝24(平方米)． 9.如图，在六面体ABC－FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，FE∥GD，∠FGD＝90°，AB＝BC＝BG＝2，GD＝2BC，四边形AEDC是菱形，则六面体ABC－FEDG的体积为________． 答案　8 解析　如图，连接AG，AD， 则V六面体ABC－FEDG＝V四棱锥A－FEDG＋V四棱锥A－BCDG＝2V四棱锥A－FEDG， 由题意得，EF＝2，DG＝4，FG＝AF＝2， ∴S梯形FEDG＝×(2＋4)×2＝6， ∴V四棱锥A－FEDG＝×S梯形FEDG×AF＝4， ∴V六面体ABC－FEDG＝8. 10．(2022·张家口模拟)陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，且AC＝3AB＝3BD，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是________． 答案　2 解析　设AB＝BD＝m， 则AD＝m， 因为AC＝3AB＝3m，所以BC＝2m， 则圆柱的侧面积S1＝2πr·BC＝4πm2， 圆锥的侧面积S2＝πr×AD＝πm2， 故＝＝2. 11.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，点M，N分别为棱AA1，CC1的中点，则棱锥B－AMNC的体积为________． 答案　V 解析　如图，连接AN， 对于三棱锥B－ACN，B－AMN，显然它们等底同高， 故VB－ACN＝VB－AMN， 而VB－ACN＝VN－ABC， 注意到CN＝C1N， 于是三棱锥N－ABC的高是三棱柱ABC－A1B1C1的一半，且它们都以△ABC为底面， 故VN－ABC＝×V＝V， 故VB－AMNC＝2×V＝V. 12．(2023·吕梁模拟)公园、旅游景点的护栏顶部常常用“半正多面体”装饰(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图2是一个棱数为24的半正多面体，其棱长为，则该半正多面体的表面积为________，体积为________. 答案　12＋4　 解析　已知该半正多面体的棱长为，则将其还原成一个正方体(图略)，该正方体的棱长为2， 故半正多面体的表面积为6××＋8××××sin 60°＝12＋4； 半正多面体的体积为8－8×××1×1×1＝. 13．(2022·徐州模拟)如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落处，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是(　　) A．15π B．36π C．45π D．48π 答案　C 解析　如图为圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F，因为MN平行于地面，故∠MNF＝30°， 因为椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18， 故NF＝18－12＝6， 在Rt△MFN中，MF＝NF×tan 30°＝2，即圆柱的底面半径为， 所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为(12＋18)的圆柱体积的一半， 即为×π×()2×(12＋18)＝45π. 14．(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则等于(　　) A. B．2 C. D. 答案　C 解析　方法一　由甲、乙两个圆锥的母线长相等， 结合＝2， 可知甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1. 不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2， 则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆， 所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1. 由勾股定理得， h1＝＝，h2＝＝2， 所以＝＝＝.故选C. 方法二　设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，侧面展开图的圆心角分别为n1，n2， 则由＝＝＝2，得＝＝2. 由题意知n1＋n2＝2π， 所以n1＝，n2＝， 所以2πr1＝l,2πr2＝l， 得r1＝l，r2＝l. 由勾股定理得，h1＝＝l， h2＝＝l， 所以＝＝＝.故选C. 15．(多选)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列判断正确的是(　　) A．直三棱柱的侧面积是4＋2 B．直三棱柱的体积是 C．三棱锥E－AA1O的体积为定值 D．AE＋EC1的最小值为2 答案　ACD 解析　因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°， 所以△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋×2＝4＋2，故A正确； 直三棱柱的体积V＝S△ABC·AA1＝×1×1×2＝1，故B不正确； 如图所示，由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点， 所以三棱锥E－AA1O的高为定值，＝××2＝， 所以＝××＝，为定值，故C正确； 由该棱柱的侧面展开图易知(图略)，AE＋EC1的最小值为＝＝2，故D正确． 16．(2023·榆林模拟)如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为16 cm2的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过杯口高度，则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为________cm3. 答案　 解析　设圆锥的底面半径为r cm，圆柱形冰块的底面半径为x cm，高为h cm， 由已知可得，××(2r)2＝16，解得r＝4， h＝(r－x)·tan 60°＝(4－x)，0＜x＜4. 设圆柱形冰块的体积为V，则V＝πx2(4－x)，0＜x＜4. 令f(x)＝πx2(4－x)，0＜x＜4. 则f′(x)＝πx(8－3x)， 则当x∈时，f′(x)＞0，当x∈时，f′(x)＜0， ∴f(x)max＝f ＝. ∴酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为 cm3. 学科网（北京）股份有限公司 $$