第六章 §6.5 数列求和(一)（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§6.5　数列求和(一) 考试要求　1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握分组求和、并项求和、与奇偶项有关的求和等几种常见的求和方法． 知识梳理 数列求和的几种常用方法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和． ①等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. ②等比数列的前n项和公式： Sn＝ (2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (3)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 常用结论 常用求和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝. (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2. (3)12＋22＋32＋…＋n2＝. (4)13＋23＋33＋…＋n3＝2. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　√　) (2)求数列的前n项和可用分组转化法求和．(　√　) (3)1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1).(　√　) (4)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　√　) 教材改编题 1．数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为(　　) A．－200 B．－100 C．200 D．100 答案　D 解析　S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100. 2．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　) A．0 B．100 C．－100 D．10 200 答案　B 解析　由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100 ＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100. 3．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 答案　2n＋1－2＋n2 解析　Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2. 题型一　分组求和 例1　从①(3n－1)an＋1＝(3n＋2)an，②a2＝5,2an＋1＝an＋an＋2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．已知数列{an}满足a1＝2，________. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{an＋bn}的前n项和Tn. 注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分. 解　(1)选①，由(3n－1)an＋1＝(3n＋2)an及a1＝2，可知an≠0， 所以＝， 当n≥2时，有an＝××…××××a1 ＝××…××××2＝3n－1. 当n＝1时，a1＝2适合上式， 故an＝3n－1. 选②，由2an＋1＝an＋an＋2， 得an＋2－an＋1＝an＋1－an， 所以{an}为等差数列， 由a1＝2，a2＝5，得该数列的公差d＝a2－a1＝5－2＝3， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1. (2)由(1)知bn＝3n－1， ∴an＋bn＝3n－1＋3n－1， 则Tn＝[2＋5＋8＋…＋(3n－1)]＋， ∴Tn＝＋＝＋. 思维升华　(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和． (2)若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和． 跟踪训练1　(2023·太原模拟)已知各项都不相等的等差数列{an}中，a6＝11，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝＋an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 由a6＝11，知a1＋5d＝11，① 因为a1，a2，a5成等比数列，所以a＝a1a5，即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，② 由①②解得d＝2，a1＝1， 故{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)bn＝＋an＝22n－1＋2n－1＝×4n＋2n－1， 所以Sn＝(41＋42＋43＋…＋4n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝×＋＝×(4n－1)＋n2. 题型二　并项求和 例2　记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－2n＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝(－1)n·log2，数列{bn}的前n项和为Tn，求T100. 解　(1)当n＝1时，由Sn＝2an－2n＋1，可得a1＝S1＝2a1－2＋1，即有a1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－2an－1＋2(n－1)－1， 即an＝2an－1＋2，可得an＋2＝2(an－1＋2)，显然an－1＋2≠0. 所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，则an＋2＝3·2n－1，即有an＝3·2n－1－2. (2)bn＝(－1)n·log2＝(－1)n·log22n＝(－1)n·n. 所以T100＝－1＋2－3＋4－…－99＋100＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－99＋100)＝50. 思维升华　并项求和法的常见题型 (1)数列{an}的通项公式为an＝(－1)nf(n)，求数列{an}的前n项和． (2)数列{an}是周期数列或ak＋ak＋1(k∈N+)为定值，求数列{an}的前n项和． 跟踪训练2　(2022·安庆模拟)已知等差数列{an}满足an＋an＋1＝4n. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝ancos nπ，记{bn}的前n项和为Sn，求S2n. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，所以an＝a1＋(n－1)d＝nd＋a1－d， 所以an＋an＋1＝2dn＋2a1－d＝4n， 所以解得 则an＝2n－1. (2)因为an＝2n－1且bn＝ancos nπ， 所以bn＝(2n－1)·cos nπ＝ 所以b2k－1＋b2k＝－(4k－3)＋(4k－1)＝2， 所以S2n＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n－1＋b2n)＝2n. 题型三　与奇偶项有关的求和问题 例3　已知数列{an}是正项等比数列，满足a3是2a1,3a2的等差中项，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(－1)nlog2a2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)设等比数列{an}的公比为q， 因为a3是2a1,3a2的等差中项， 所以2a3＝2a1＋3a2， 即2a1q2＝2a1＋3a1q. 因为a1≠0， 所以2q2－3q－2＝0， 解得q＝2或q＝－. 因为数列{an}是正项等比数列， 所以q＝2. 因为a4＝16，即a4＝a1q3＝8a1＝16， 解得a1＝2，所以an＝2×2n－1＝2n. (2)由(1)可知，a2n＋1＝22n＋1， 所以bn＝(－1)n·log2a2n＋1＝(－1)n·log222n＋1＝(－1)n·(2n＋1)． ①若n为偶数， 则Tn＝－3＋5－7＋9－…－(2n－1)＋(2n＋1) ＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n－1)＋(2n＋1)] ＝2×＝n； ②若n为奇数， 当n≥3时，Tn＝Tn－1＋bn＝n－1－(2n＋1)＝－n－2， 当n＝1时，T1＝－3适合上式． 综上得Tn＝(或Tn＝(n＋1)·(－1)n－1，n∈N+)． 思维升华　分奇偶的数列求和的一般思路 当n为偶数时，并项求其前n项和；当n为奇数时，则n－1为偶数，故代入先求出前n－1项的和再加第n项，即前n项的和．用式子表示为Sn＝ 跟踪训练3　已知等差数列{an}中，a2＝5，a3＋a5＝18. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝an＋ncos(nπ)，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则解得 因此an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1. (2)因为bn＝an＋ncos nπ＝2n＋1＋(－1)nn， 所以当n为偶数时， Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝[3＋5＋7＋…＋(2n＋1)]＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n] ＝＋ ＝n2＋2n＋＝n2＋n. 当n为奇数时， Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)－[2(n＋1)＋1＋n＋1]＝n2＋n－. 综上，Tn＝ 课时精练　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2023·杭州模拟)已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝20，a2，a4，a8成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)bn＝2an＋1－3n＋2，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)设数列{an}的公差为d(d>0)， 由题意得 即 解得或(舍)， 所以an＝2＋(n－1)·2＝2n. (2)由(1)得，an＝2n， 所以bn＝4(n＋1)－3n＋2， 所以Tn＝4×2－33＋4×3－34＋…＋4(n＋1)－3n＋2＝4[2＋3＋…＋(n＋1)]－(33＋34＋…＋3n＋2)＝4n·－＝2n2＋6n＋－. 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由S3＋S4＝S5可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5， ∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2. ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)可得bn＝(－1)n－1·(2n－1)．当n为偶数时，Tn＝1－3＋5－7＋…＋(2n－3)－(2n－1)＝－n. 当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝－(n－1)＋(－1)n－1(2n－1)＝－(n－1)＋(2n－1)＝n. 综上，Tn＝(－1)n＋1n. 3．(2023·开封模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且nan＋1＋Sn＋1＝1(n∈N+)． (1)证明：数列{nSn}为等差数列； (2)选取数列{Sn}的第2n(n∈N+)项构造一个新的数列{bn}，求{bn}的前n项和Tn. (1)证明　∵数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且nan＋1＋Sn＋1＝1(n∈N+)， ∴n(Sn＋1－Sn)＋Sn＋1＝1，即(n＋1)Sn＋1－nSn＝1， ∴数列{nSn}为等差数列． (2)解　由(1)知，nSn＝2＋1×(n－1)＝n＋1， ∴Sn＝1＋，即bn＝S2n＝1＋， Tn＝1＋＋1＋＋1＋＋…＋1＋ ＝n＋＋＋＋…＋ ＝n＋ ＝n－＋1. 4．(2022·淄博模拟)已知数列{an}满足a1＝2，且an＋1＝(n∈N+)，设bn＝a2n－1. (1)证明：数列{bn＋2}为等比数列，并求出{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前2n项和． 解　(1)由题意知，bn＋1＝a2n＋1＝2a2n＝2(a2n－1＋1)＝2bn＋2， 所以＝2，又b1＋2＝a1＋2＝4， 所以{bn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列， 则bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1， 所以bn＝2n＋1－2. (2)数列{an}的前2n项和为S2n＝a1＋a2＋a3＋…＋a2n ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a1＋a3＋…＋a2n－1＋n) ＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋n ＝2(b1＋b2＋…＋bn)＋n ＝2×(22＋23＋…＋2n＋1－2n)＋n ＝2×－3n＝2n＋3－3n－8. 5．(2022·渭南模拟)在①数列{an}是各项均为正数的递增数列，a＝an·an＋2，a3＝8且a2，a3，a4－4成等差数列；②Sn＝2an－2；③Sn＝2n＋1－2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题． 问题：设数列{an}的前n项和为Sn，________. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log2an，求数列{a2n＋1＋bn}的前n项和Tn. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)若选①，数列{an}是各项均为正数的递增数列，a＝an·an＋2， 则数列{an}是等比数列， 因为a2，a3，a4－4成等差数列， 所以a4－4＋a2＝2a3，又a3＝8，所以8q－4＋＝2×8， 解得q＝2或q＝(舍去)， 所以an＝a3qn－3＝8×2n－3＝2n. 若选②，Sn＝2an－2，当n＝1时S1＝a1＝2a1－2， 解得a1＝2，当n≥2时Sn－1＝2an－1－2，则an＝Sn－Sn－1＝2an－2－2an－1＋2， 即an＝2an－1，所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n. 若选③，Sn＝2n＋1－2，当n＝1时a1＝S1＝22－2＝2， 当n≥2时Sn－1＝2n－2， 所以an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－2n＋2＝2n， 当n＝1时an＝2n也成立，所以an＝2n. (2)因为an＝2n， 所以bn＝log2an＝log22n＝n， 所以a2n＋1＋bn＝22n＋1＋n， 所以Tn＝23＋1＋25＋2＋27＋3＋…＋22n＋1＋n＝(23＋25＋27＋…＋22n＋1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋＝＋. 6．(2023·周口模拟)设正项数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝a＋an. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝acos ，Tn是数列{bn}的前n项和，求T3n. 解　(1)由2Sn＝a＋an，当n≥2时，2Sn－1＝a＋an－1， 两式相减得，2an＝a－a＋an－an－1， 整理可得(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， 因为an>0，所以an－an－1－1＝0，即an－an－1＝1(n≥2)， 在2Sn＝a＋an中，令n＝1，则a1＝1， 所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n. (2)bn＝acos ＝n2cos ， 设ck＝b3k－2＋b3k－1＋b3k＝(3k－2)2cos＋(3k－1)2cos＋(3k)2cos 2kπ＝－(3k－2)2＋(3k－1)2＋(3k)2＝9k－， 所以T3n＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＋＋＋…＋ ＝9(1＋2＋3＋…＋n)－n＝9×－n＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$