第四章 必刷小题8 解三角形（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

必刷小题8　解三角形 一、单项选择题 1．(2023·重庆模拟)在△ABC中，sin A＝，AC＝，B＝45°，则BC等于(　　) A．2 B. C．2 D．2 答案　D 解析　由正弦定理知，＝， ∴BC＝＝＝2. 2．(2023·南昌模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝2，△ABC的面积为2sin B，则cos A等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为b＝3，c＝2，△ABC的面积为2sin B，所以S△ABC＝acsin B＝2sin B， 所以a＝2，由余弦定理得cos A＝＝. 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若asin A＋b(sin B＋sin A)＝csin C，则C等于(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　D 解析　因为asin A＋b(sin B＋sin A)＝csin C， 所以由正弦定理得a2＋b(b＋a)＝c2， 化简得a2＋b2－c2＝－ab， 所以由余弦定理得cos C＝＝＝－， 因为C∈(0，π)， 所以C＝150°. 4．(2023·郑州模拟)2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单．某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场A地测得纪念塔顶D的仰角为45°，乙同学在二七广场B地测得纪念塔顶D的仰角为30°，塔底为C(A，B，C在同一水平面上，DC⊥平面ABC)，测得AB＝63 m，∠ACB＝30°，则纪念塔的高CD为(　　) A．40 m B．63 m C．40m D．63m 答案　B 解析　如图所示，∠DAC＝45°，∠CBD＝30°，∠ACB＝30°，设塔高CD为t，因为DC⊥平面ABC，所以DC⊥CA，DC⊥CB， 所以AC＝t，BC＝t，又AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB， 即632＝t2＋3t2－2×t×t×， 解得t＝63 m. 5．(2022·南宁模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，b2＋c2＝a2＋bc，则△ABC外接圆的面积是(　　) A. B. C．2π D．4π 答案　B 解析　因为b2＋c2＝a2＋bc，所以b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理得cos A＝＝， 所以sin A＝， 设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2R＝＝， 所以R＝， 所以△ABC外接圆的面积是πR2＝. 6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，tan A＝，且B为钝角．则sin A＋sin C的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由tan A＝以及正弦定理得＝＝，所以sin B＝cos A，即sin B＝sin， 又B为钝角，所以＋A∈， 故B＝＋A， C＝π－(A＋B)＝－2A>0⇒A∈， 于是sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1＝－22＋， 因为A∈，所以0<sin A<， 由此<－22＋≤，即sin A＋sin C的取值范围是. 7．(2022·洛阳模拟)已知在△ABC中，AB＝5，AC＝4，则当函数f(A)＝sin＋cos－cos 2A取得最大值时，BC等于(　　) A．4 B. C. D．2 答案　B 解析　f(A)＝2－cos 2A＝2sin－cos 2A＝2cos A－(2cos2A－1)＝－2cos2A＋2cos A＋1， 当cos A＝，即A＝时，f(A)max＝， ∴BC2＝52＋42－2×5×4×＝21，∴BC＝. 8．(2022·吉安模拟)在△ABC中，AB＝BC，点D是边AB的中点，△ABC的面积为，则线段CD的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(1，＋∞) C. D. 答案　C 解析　设AB＝BC＝t，CD＝m，所以S△ABC＝t2sin B＝，即t2sin B＝，① 在△BCD中，由余弦定理得m2＝t2＋2－2t··cos B， 即t2cos B＝t2－m2，② 由①②得t4＝2＋， 即9t4－40m2t2＋16m4＋＝0， 令t2＝x>0，设g(x)＝9x2－40m2x＋16m4＋，则方程g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，所以g＝92－40m2×＋16m4＋≤0，解得m4≥，即m≥. 二、多项选择题 9．(2022·福州模拟)下列对△ABC解的个数的判断中正确的是(　　) A．a＝7，b＝14，A＝30°，有一解 B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 C．a＝，b＝，A＝60°，有一解 D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解 答案　AB 解析　选项A，bsin A＝14sin 30°＝7＝a，则三角形有一解，判断正确； 选项B，bsin A＝25sin 150°＝，则a>b>bsin A，则三角形有一解，判断正确； 选项C，bsin A＝sin 60°＝，则a<bsin A，则三角形无解，判断错误； 选项D，bsin A＝9sin 45°＝，则a<bsin A，则三角形无解，判断错误． 10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝0，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 答案　AD 解析　＋＝0，变形得＝， 结合余弦定理得＝， 因为c≠0，所以sin Bcos B＝sin Acos A， 即sin 2A＝sin 2B. 因为A，B∈(0，π)， 所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝， 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 11．(2023·宁波模拟)已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccos A＋asin C＝0，若角A的角平分线交BC于D点，且AD＝1，则下列结论正确的是(　　) A．A＝ B．A＝ C．b＋c的最小值为2 D．b＋c的最小值为4 答案　AD 解析　由ccos A＋asin C＝0及正弦定理， 得sin Ccos A＋sin Asin C＝0， 因为C∈(0，π)，sin C≠0，所以cos A＋sin A＝0，即tan A＝－， 因为A∈(0，π)，所以A＝，故A正确； S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 所以bc·sin ＝c·1·sin ＋b·1·sin ， 所以bc＝b＋c，即＋＝1， 所以b＋c＝(b＋c)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当b＝c＝2时，等号成立， 所以b＋c的最小值为4，故D正确． 12．(2023·南昌模拟)已知O是△ABC的外心，若··＋·＝2m2，且2sin B＋sin C＝，则实数m可取的值为(　　) A. B. C. D．1 答案　AB 解析　设△ABC的外接圆半径为R，因为O是△ABC的外心，故可得|AO|＝R， 且·＝||2＝c2，·＝||2＝b2， 故·＋·＝2m2， 即|AB|·|AC|＋|AB|·|AC|＝2mR2， 也即bc＝2mR2，则m＝， 又2sin B＋sin C＝， 由正弦定理可得2b＋c＝2R，则R2＝， 故m＝＝≤＝， 当且仅当＝，即c＝2b时，m取得最大值， 故结合选项知m可取的值为或. 三、填空题 13．△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B＝2sin C，且a＝，cos A＝，则△ABC的面积为________． 答案　 解析　由sin B＝2sin C及正弦定理可得b＝2c， 故cos A＝＝＝，解得c＝2，b＝4， 故S△ABC＝bcsin A＝×4×2×＝. 14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2C＝sin2A＋cos2B－sin Asin C，且b＝6，则B＝________，△ABC外接圆的面积为________． 答案　　12π 解析　由cos2C＝sin2A＋cos2B－sin Asin C， 可得1－sin2C＝sin2A＋1－sin2B－sin Asin C， 即sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C， 则由正弦定理得ac＝a2＋c2－b2，由余弦定理可得cos B＝＝， 又因为B∈(0，π)，可得B＝， 所以△ABC外接圆的半径R＝＝2， 所以△ABC外接圆的面积为πR2＝12π. 15．(2023·临汾模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足5a2＋3b2＝3c2，则tan A的最大值为________． 答案　 解析　∵5a2＋3b2＝3c2，∴a2＝， ∴cos A＝＝＝≥＝， 当且仅当c2＝4b2，即c＝2b时等号成立， 又A∈(0，π)，∴cos A∈，cos2A∈， ∴tan A＝＝≤＝. 16.(2023·晋中模拟)如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC且夹角为120°的公路(长度均超过4千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM＝5千米，AN＝3千米．若∠MPN＝60°，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为________千米． 答案　14 解析　在△AMN中，由余弦定理得， MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos 120°＝25＋9－2×5×3×＝49， 所以MN＝7千米． 设∠PMN＝α， 因为∠MPN＝60°，所以∠PNM＝120°－α，0°<α<120°， 在△PMN中，由正弦定理得＝＝＝＝， 所以PM＝sin(120°－α)，PN＝sin α， 因此PM＋PN＝sin(120°－α)＋sin α ＝×＝×＝14sin(α＋30°)， 因为0°<α<120°， 所以30°<α＋30°<150°. 所以当α＋30°＝90°，即α＝60°时，PM＋PN取到最大值14千米． 学科网（北京）股份有限公司 $$