第四章 §4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质

考试要求　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．

知识梳理

1．简谐运动的有关概念

已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0

 

2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点

 

3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径

 

 

常用结论

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　×　)

(2)函数f(x)＝sin 2x向右平移个单位长度后对应的函数g(x)＝sin.(　×　)

(3)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得函数解析式为y＝sin x.(　×　)

(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.(　√　)

教材改编题

1．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)

A．2，，   B．2，，

C．2，，   D．2，，－

答案　A

解析　由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.

2．(2022·浙江)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

答案　D

解析　因为y＝2sin＝2sin 3，所以要得到函数y＝sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点向右平移个单位长度即可，故选D.

3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.

答案　1

解析　当t＝12时，f(12)＝2sin＝2sin ＝1，

即12点时潮水的高度是1 m.

题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

例1　(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　)

A．sin   B．sin

C．sin   D．sin

答案　B

解析　依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，

所以y＝siny＝sin的图象