第二章 必刷小题2 函数的概念与性质（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

必刷小题2　函数的概念与性质 一、单项选择题 1．(2023·太原模拟)已知函数f(x)＝的定义域为A，集合B＝{x|－1<x<5}，则集合A∩B中整数的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　由题设，x2－3x≥0，可得定义域A＝{x|x≤0或x≥3}， 所以A∩B＝{x|－1<x≤0或3≤x<5}，故其中整数元素有0,3,4，共3个． 2．(2023·深圳模拟)若定义在R上的函数f(x)不是偶函数，则下列命题正确的是(　　) A．∀x∈R，f(x)＋f(－x)＝0 B．∃x∈R，f(x)＋f(－x)＝0 C．∃x∈R，f(x)≠f(－x) D．∀x∈R，f(x)≠f(－x) 答案　C 解析　因为定义在R上的函数f(x)不是偶函数， 所以∀x∈R，f(x)＝f(－x)为假命题， 则∃x∈R，f(x)≠f(－x)为真命题． 3．(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋2，若f(2)＝7，则f(－2)等于(　　) A．－7 B．－3 C．3 D．7 答案　B 解析　设g(x)＝f(x)－2＝ax5＋bx3，则g(－x)＝－ax5－bx3＝－g(x)，即f(x)－2＝－f(－x)＋2，故f(－2)＝－f(2)＋4＝－3. 4．(2023·扬州模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是(　　) A．y＝－ B．y＝x－sin x C．y＝tan x D．y＝x3－x 答案　B 解析　y＝－是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，故A错误； y＝x－sin x，因为y′＝1－cos x≥0，x∈R， 所以在定义域上是增函数且是奇函数，故B正确； y＝tan x在定义域上是奇函数但不是单调函数，故C错误； y＝x3－x在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误． 5．(2022·镇江模拟) “函数f(x)＝sin x＋(a－1)cos x为奇函数”是“a＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　函数f(x)＝sin x＋(a－1)cos x为奇函数， 则sin(－x)＋(a－1)cos(－x)＝－sin x－(a－1)cos x， 化简得a－1＝0，故a＝1， 当a＝1时，f(x)＝sin x是奇函数， 因此“函数f(x)＝sin x＋(a－1)cos x为奇函数”是“a＝1”的充要条件． 6．(2023·南京模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在R上单调递增，若a，b，c成等差数列，且b>0，则下列结论正确的是(　　) A．f(b)>0，且f(a)＋f(c)>0 B．f(b)>0，且f(a)＋f(c)<0 C．f(b)<0，且f(a)＋f(c)>0 D．f(b)<0，且f(a)＋f(c)<0 答案　A 解析　由已知，f(b)>f(0)＝0. 因为a＋c＝2b>0，则a>－c， 从而f(a)>f(－c)＝－f(c)， 即f(a)＋f(c)>0. 7．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　) A．f(1)<f <f  B．f <f(1)<f  C．f <f <f(1) D．f <f(1)<f  答案　B 解析　因为函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数， 所以函数y＝f(x)在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上满足f(2－x)＝f(2＋x)， 所以f(1)＝f(3)， 因为2<<3<，所以f >f(3)>f ， 则f >f(1)>f . 8．已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(5)＝0，则不等式(x－1)f(x)>0的解集为(　　) A．(1,5) B．(－5,0)∪(1,5) C．(－∞，－5)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1，＋∞) 答案　B 解析　因为奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(5)＝0， 所以f(－5)＝－f(5)＝0，且函数f(x)在(－∞，0)上单调递减， 则函数f(x)的大致图象如图所示， 不等式(x－1)f(x)>0，等价于 或 结合图象解得1<x<5或－5<x<0， 综上可得，不等式的解集为(－5,0)∪(1,5)． 二、多项选择题 9．(2023·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是(　　) A．f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝－1 C．f(x)＝ln D．f(x)＝ln sin x 答案　ABC 解析　由f(x)＝ex－e－x可得，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称； 由f(x)＝－1＝可得，f(－x)＝＝＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称； 由f(x)＝ln(x＋)可得，f(－x)＝ln(－x＋)＝ln ＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称； 由f(x)＝ln sin x知，sin x>0，所以2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故选ABC. 10．已知函数f(x)的定义域是[－1,5]，且f(x)在区间[－1，2)上单调递增，在区间[2,5]上单调递减，则以下说法一定正确的是(　　) A．f(2)>f(5) B．f(－1)＝f(5) C．f(x)在定义域上有最大值，最大值是f(2) D．f(0)与f(3)的大小不确定 答案　AD 解析　由函数f(x)在区间[2,5]上单调递减， 可得f(2)>f(5)，故A正确； 题中条件没有说明函数关于直线x＝2对称， 所以f(－1)和f(5)未必相等，故B不正确； 根据题意不确定f(x)在[－1,5]上是否连续， 所以不能确定最大值是f(2)，故C不正确； x＝0和x＝3不在同一个单调区间，且函数没有提及对称性， 所以f(0)与f(3)的大小不确定，故D正确． 11．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，f(1＋x)＝－f(1－x)，下列四个结论正确的是(　　) A．f(x)是周期为4的周期函数 B．f(x)的图象关于点(1,0)对称 C．f(x)是偶函数 D．f(x)的图象经过点(－2,0) 答案　ABC 解析　由f(x＋2)＝－f(x)， 得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以函数f(x)的周期为4，故A正确； 又f(1＋x)＝－f(1－x)， 所以f(x)图象关于(1,0)对称，故B正确； 又f(－x)＝－f(－x＋2)＝－f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数，故C正确； 又f(－2)＝－f(－2＋2)＝－f(0)， 无法判断其值，故D错误． 12．(2023·淮北模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则(　　) A．f(－2)＝0 B．f(1)＝0 C．f(2)＝0 D．f(4)＝0 答案　ACD 解析　因为f(x＋2)为奇函数， 所以f(x＋2)的图象经过原点(0,0)，即f(2)＝0，故C正确； 由f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度可得函数f(x)的图象知，f(x)的图象过点(4,0)，即f(4)＝0， 因为f(2x＋1)为偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)， 所以当x＝时，f(－2)＝f(4)＝0，故A，D正确； 令f(x)＝sin x，则满足f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，显然B不满足． 三、填空题 13．(2023·重庆质检)已知函数f(x)＝则f ＝________. 答案　 解析　由题意，可得f ＝sin ＝－sin ＝－，则f ＝f ＝2＋1＝. 14．已知函数f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为(－∞，＋∞)；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的一个解析式是________． 答案　f(x)＝－x2或f(x)＝－|x|(答案不唯一) 解析　根据题意，可知函数f(x)同时满足三个条件， 若f(x)＝－x2，则f(x)为二次函数，定义域为(－∞，＋∞)，开口向下，对称轴为x＝0，是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件， 所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－x2； 若f(x)＝－|x|＝则此时函数的定义域为(－∞，＋∞)，根据一次函数和分段函数，可知f(x)＝－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减， 故同时满足三个条件， 所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－|x|. 15．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝3x2－2x＋m，则f(x)在[1,2]上的最大值为________． 答案　－5 解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0， 又当x≤0时，f(x)＝3x2－2x＋m， ∴f(0)＝0＝m， ∴当x≤0时，f(x)＝3x2－2x， 设x>0，则－x<0，则f(－x)＝3x2＋2x， 则f(x)＝－f(－x)＝－3x2－2x， 即当x>0时，f(x)＝－3x2－2x， ∴f(x)在[1,2]上单调递减， ∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)＝－5. 16．已知函数f(x)＝－ln|x|，则使不等式f(2t＋1)>f(t＋3)成立的实数t的取值范围是________． 答案　∪ 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－ln|－x|＝－ln|x|＝f(x)， 故函数f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)＝－ln x， 因为函数y＝，y＝－ln x均在(0，＋∞)上单调递减，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 由f(2t＋1)>f(t＋3)得f(|2t＋1|)>f(|t＋3|)，则 即即 解得－<t<2且t≠－， 故不等式f(2t＋1)>f(t＋3)成立的实数t的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$