第二章 必刷小题2 函数的概念与性质（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

必刷小题2　函数的概念与性质

一、单项选择题

1．(2023·太原模拟)已知函数f(x)＝的定义域为A，集合B＝{x|－1<x<5}，则集合A∩B中整数的个数是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　C

解析　由题设，x2－3x≥0，可得定义域A＝{x|x≤0或x≥3}，

所以A∩B＝{x|－1<x≤0或3≤x<5}，故其中整数元素有0,3,4，共3个．

2．(2023·深圳模拟)若定义在R上的函数f(x)不是偶函数，则下列命题正确的是(　　)

A．∀x∈R，f(x)＋f(－x)＝0

B．∃x∈R，f(x)＋f(－x)＝0

C．∃x∈R，f(x)≠f(－x)

D．∀x∈R，f(x)≠f(－x)

答案　C

解析　因为定义在R上的函数f(x)不是偶函数，

所以∀x∈R，f(x)＝f(－x)为假命题，

则∃x∈R，f(x)≠f(－x)为真命题．

3．(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋2，若f(2)＝7，则f(－2)等于(　　)

A．－7  B．－3  C．3  D．7

答案　B

解析　设g(x)＝f(x)－2＝ax5＋bx3，则g(－x)＝－ax5－bx3＝－g(x)，即f(x)－2＝－f(－x)＋2，故f(－2)＝－f(2)＋4＝－3.

4．(2023·扬州模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是(　　)

A．y＝－   B．y＝x－sin x

C．y＝tan x   D．y＝x3－x

答案　B

解析　y＝－是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，故A错误；

y＝x－sin x，因为y′＝1－cos x≥0，x∈R，

所以在定义域上是增函数且是奇函数，故B正确；

y＝tan x在定义域上是奇函数但不是单调函数，故C错误；

y＝x3－x在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误．

5．(2022·镇江模拟) “函数f(x)＝sin x＋(a－1)cos x为奇函数”是“a＝1”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　函数f(x)＝sin x＋(a－1)cos x为奇函数，

则sin(－x)＋(a－1)cos(－x)＝－sin x－(a－1)cos x，

化简得a－1＝0，故a＝1，

当a＝1时，f(x)＝sin x是奇函数，

因此“函数f(x)＝sin x＋(a－1)cos x为奇函数”是“a＝1”的充要条件．

6．(2023·南京模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在R上单调递增，若a，b，c成等差数列，且b>0，则下列结论正确的是(　　)

A．f(b)>0，且f(a)＋f(c)>0

B．f(b)>0，且f(a)＋f(c)<0

C．f(b)<0，且f(a)＋f(c)>0

D．f(b)<0，且f(a)＋f(c)<0

答案　A

解析　由已知，f(b)>f(0)＝0.

因为a＋c＝2b>0，则a>－c，

从而f(a)>f(－c)＝－f(c)，

即f(a)＋f(c)>0.

7．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)

A．f(1)<f <f 

B．f <f(1)<f 

C．f <f <f(1)

D．f <f(1)<f 

答案　B

解析　因为函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，

所以函数y＝f(x)在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上满足f(2－x)＝f(2＋x)，

所以f(1)＝f(3)，

因为2<<3<，所以f >f(3)>f ，

则f >f(1)>f .

8．已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(5)＝0，则不等式(x－1)f(x)>0的解集为(　　)

A．(1,5)

B．(－5,0)∪(1,5)

C．(－∞，－5)∪(1,5)

D．(－5,1)∪(1，＋∞)

答案　B

解析　因为奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(5)＝0，

所以f(－5)＝－f(5)＝0，且函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，

则函数f(x)的大致图象如图所示，

不等式(x－1)f(x)>0，等价于

Error!或Error!

结合图象解得1<x<5或－5<x<0，

综上可得，不等式的解集为(－5,0)∪(1,5)．

二、多项选择题

9．(2023·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是(　　)

A．f(x)＝ex－e－x   B．f(x)＝－1

C．f(x)＝ln   D．f(x)＝ln sin x

答案　ABC