第二章 §2.12 函数模型的应用（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§2.12　函数模型的应用

考试要求　1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．

知识梳理

1．三种函数模型的性质

 

2．常见的函数模型

 

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　×　)

(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每

件还能获利．(　×　)

(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝logax(a>1)的增长速度．(　√　)

(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　×　)

教材改编题

1．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是(　　)

A．y＝5x   B．y＝log5x

C．y＝x5   D．y＝5x

答案　D

解析　结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．

2．在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表：

 

则对x，y最适合的函数模型是(　　)

A．y＝2x   B．y＝x2－1

C．y＝2x－2   D．y＝log2x

答案　D

解析　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.

3．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元．

答案　150

解析　因为y＝－＋12x－210＝－(x－150)2＋690，所以当x＝150时，y取最大值，即该商品的利润最大时，当日售价为150元.

题型一　用函数图象刻画变化过程

例1　(1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药

物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：

根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(　　)

A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用

B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒

C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用

D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒

答案　ABC

解析　从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．

(2)根据一组试验数据画出的散点图如图所示．

现有如下5个函数模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝log2x；⑤y＝x＋1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号)

答案　④

解析　由图可知上述点大体分布在函数y＝log2x的图象上，

故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．

思维升华　判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象．