第二章 §2.11 函数的零点与方程的解（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§2.11　函数的零点与方程的解

考试要求　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.

3.了解用二分法求方程的近似解．

知识梳理

1．函数的零点与方程的解

(1)函数零点的概念

对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．

(2)函数零点与方程实数解的关系

方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．

(3)函数零点存在定理

一般地，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)<0，则存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.如果知道y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增或单调递减，就进一步断定，方程f(x)＝0在(a，b)内恰有一个根．

2．二分法

对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．

常用结论

1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．

2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　)

(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　×　)

(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　×　)

(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(　√　)

教材改编题

1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　)

答案　A

解析　由图象可知，B，D选项中函数无零点，A，C选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点．

2．函数y＝－ln x的零点所在区间是(　　)

A．(3,4)  B．(2,3)  C．(1,2)  D．(0,1)

答案　B

解析　因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y＝在(0，＋∞)上单调递减；y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，

所以函数y＝－ln x为定义在(0，＋∞)上的连续减函数，

又当x＝2时，y＝－ln 2>0；

当x＝3时，y＝1－ln 3<0，

两函数值异号，

所以函数y＝－ln x的零点所在区间是(2,3)．

3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　B

解析　由f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此

函数f(x)有且只有一个零点．

 

 

题型一　函数零点所在区间的判定

例1　(1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　)

A．(1,2)   B．(2,3)

C．(3,4)   D．(4,5)

答案　B

解析　由题意得，f(x)＝ln x＋2x－6，在定义域内单调递增，

f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0，

f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3>0，

则f(2)f(3)<0，

∴零点在区间(2,3)上．

延伸探究　用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

答案　C

解析　∵开区间(2,3)的长度等于1，

每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，

经过n次操作后，区间长度变为，

故有≤0.1，解得n≥4，

∴至少需要操作4次．

(2)(2023·蚌埠模拟)已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0,－log2x3＝0，则(　　)

A．x1<x2<x3   B．x2<x1<x3

C．x1<x3<x2   D．x2<x3<x1

答案　A

解析　设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上单调递增，

f(－1)＝－，f(0)＝1，即f(－1)f(0)<0，