第二章 §2.8 对数与对数函数（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§2.8　对数与对数函数

考试要求　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．

知识梳理

1．对数的概念

如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN，这里，a叫作对数的底数，N叫作对数的真数．

以10为底的对数叫作常用对数，记作lg N.

以e为底的对数叫作自然对数，记作ln N.

2．对数的性质与运算性质

(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．

(2)对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②logaMn＝nlogaM (n∈R)；

③loga＝logaM－logaN.

(3)对数换底公式：logbN＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；N>0)．

3．对数函数的图象与性质

 

4.反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

常用结论

1．logab·logba＝1，＝logab.

2．如图给出4个对数函数的图象

则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．

3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　×　)

(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．(　×　)

(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)

(4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　√　)

教材改编题

1．若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为(　　)

A．[0,1]   B．(0,1)

C．(－∞，1]   D．[1，＋∞)

答案　A

解析　根据复合函数单调性同增异减可知f(x)在[0,1]上单调递增，

因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则log21≤log2(x＋1)≤log22，

即f(x)∈[0,1]．

2．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．

答案　(3,2)

解析　∵loga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，y＝2，∴函数的图象过定点(3,2)．

3．eln 2＋＝________.

答案　4

解析　eln 2＋＝2＋log416＝2＋2＝4.

题型一　对数式的运算

例1　(1)若2a＝5b＝10，则＋的值是(　　)

A．－1  B.  C.  D．1

答案　D

解析　由2a＝5b＝10，

∴a＝log210，b＝log510，

∴＝lg 2，＝lg 5，

∴＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.

(2)计算：log535＋－log5－log514＝________.

答案　2

解析　原式＝log535－log5－log514＋

＝log5＋

＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.

思维升华　解决对数运算问题的常用方法

(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．

(2)将同底对数的和、差、倍合并．