第二章 §2.6 二次函数与幂函数（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§2.6　二次函数与幂函数

考试要求　1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．

知识梳理

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般来说，当x为自变量而α为非零实数时， 函数y＝xα叫作(α次)幂函数．其中x是自变量，α是常数．

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①当α>0时，它在[0，＋∞)上有定义且递增，值域为[0，＋∞)，函数图象过(0,0)和(1,1)两点；

②当α<0时，它在(0，＋∞)上有定义且递减，值域为(0，＋∞)，函数图象过点(1,1)，向上与y轴正向无限接近，向右与x轴正向无限接近．

2．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．

(2)二次函数的图象和性质

 

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y＝是幂函数．(　×　)

(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(　√　)

(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　)

(4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　×　)

教材改编题

1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(8)的值等于(　　)

A.  B．4  C．8  D.

答案　D

解析　设幂函数f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象经过点，所以f(5)＝5α＝，

解得α＝－1，所以f(x)＝x－1，则f(8)＝8－1＝.

2．已知函数f(x)＝－x2－4x＋5，则函数y＝f(x)的单调递增区间为(　　)

A．(－∞，－2]   B．(－∞，2]

C．[－2，＋∞)   D．[2，＋∞)

答案　A

解析　f(x)＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9，故函数f(x)的对称轴为x＝－2，

又函数f(x)的图象开口向下，故函数的单调递增区间为(－∞，－2]．

3．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为(　　)

A．[－6,2]   B．[－6,1]

C．[0,2]   D．[0,1]

答案　A

解析　函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1，

则f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，

∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，

即f(x)的值域为[－6,2].

题型一　幂函数的图象与性质

例1　(1)若幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp在第一象限内的图象如图所示，则(　　)

A．m>n>p 

B．n>m>p

C．n>p>m 

D．p>n>m

答案　B

解析　因为在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴，所以n>m>p.

(2)(2023·德州模拟)幂函数f(x)＝(m2＋m－5)在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于(　　)

A．27  B．9  C.  D.

答案　A

解析　由题意，得m2＋m－5＝1，

即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3，

当m＝2时，可得函数f(x)＝x3，

此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；