第二章 §2.5 函数性质的综合应用[培优课]（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§2.5　函数性质的综合应用

 

函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查．

题型一　函数的奇偶性与单调性

例1　(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)

A．[－1,1]∪[3，＋∞)

B．[－3，－1]∪[0,1]

C．[－1,0]∪[1，＋∞)

D．[－1,0]∪[1,3]

答案　D

解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，

则f(0)＝0.

又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，

画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，

则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．

　　　　 (1)　　　　　　　　　(2)

当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，

则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.

当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，

则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.

故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．

思维升华　(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．

(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小．

跟踪训练1　函数y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递减，f(－2)＝0，则f(2－3x)>0的解集为(　　)

A．(－∞，0)∪   B.

C.   D．(－∞，0)∪

答案　D

解析　因为函数y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递减，则该函数在[0，＋∞)上单调递增，

且f(2)＝f(－2)＝0，

由f(2－3x)>0可得f(|3x－2|)>f(2)，

所以|3x－2|>2，可得3x－2<－2或3x－2>2，解得x<0或x>.

因此，不等式f(2－3x)>0的解集为(－∞，0)∪.

题型二　函数的奇偶性与周期性

例2　(2023·襄阳模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)单调递增，则(　　)

A．f(6)<f(－7)<f 

B．f(6)<f <f(－7)

C．f(－7)<f <f(6)

D．f <f(－7)<f(6)

答案　B

解析　∵f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，

∴函数f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(6)＝f(2)＝－f(0)＝f(0)，f ＝f ＝－f ＝f ，f(－7)＝f(1)，

又当x∈[0,1]时，f(x)单调递增，

∴f(0)<f <f(1)，

即f(6)<f <f(－7)．

思维升华　周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解．

跟踪训练2　函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对任意x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 021)＋f(2 022)的值为(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．2

答案　C

解析　因为f(x)是定义在R上的偶函数，

所以f(－2 021)＝f(2 021)，

又因为当x≥0时，f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2，

所以f(－2 021)＋f(2 022)＝f(2 021)＋f(2 022)＝f(1)＋f(0)，

当x∈[0,2)时，函数f(x)＝log2(x＋1)，

得f(1)＋f(0)＝log2(1＋1)＋log2(0＋1)＝1.

题型三　函数的奇偶性与对称性

例3　(多选)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则下列结论一定正确的是(　　)

A．f(x＋2)＝f(x)

B．函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称

C．函数y＝f(x＋1)是偶函数

D．f(2－x)＝f(x－1)

答案　BC

解析　对于A选项，因为f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，

则f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(x＋2)＝－f(x)，A错；

对于B选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

因为f(－x)＋f(x)＝0，则f(－(2＋x))＋f(2＋x)＝0，

即f(2＋x)＝－f(－2－x)＝－f(2－x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，

故函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称，B对；

对于C选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，故函数y＝f(x＋1)是偶函数，C对；

对于D选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))，即f(2－x)＝f(x)≠f(x－1)，D错．

思维升华　由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．