第二章 §2.4 函数的对称性（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§2.4　函数的对称性

考试要求　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．

知识梳理

1．奇函数、偶函数的对称性

(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．

(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)．

2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；

若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．

3．两个函数图象的对称

(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；

(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　√　)

(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．(　×　)

(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(　×　)

(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　√　)

教材改编题

1．函数f(x)＝图象的对称中心为(　　)

A．(0,0)   B．(0,1)

C．(1,0)   D．(1,1)

答案　B

解析　因为f(x)＝＝1＋，由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋，又y＝关于(0,0)

对称，

所以f(x)＝1＋的图象关于(0,1)对称．

2．已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为________．

答案　f(－4)>f(1)

解析　∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，

∴f(x)关于直线x＝－2对称，

又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，

∴f(－4)＝f(0)>f(1)，

故f(－4)>f(1)．

3．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________.

答案　5

解析　∵f(x)为偶函数，

∴f(－1)＝f(1)，

由f(x)的图象关于x＝2对称，

可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5.

题型一　轴对称问题

例1　(1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2 023)等于(　　)

A．－2  B．2  C．0  D．－4

答案　B

解析　定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，

故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，

∴f(x)＝f(2－x)，

故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，

∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，

∴f(x)是周期为4的周期函数．

则f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.

(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式

f(－x2)>f(－1)的解集为________．

答案　(－1,1)

解析　∵f(x＋2)是偶函数，

∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，

∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，

又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，

∴f(x)在(－∞，2]上单调递增．

又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)，

∴－x2>－1，即x2<1，

∴－1<x<1，

∴原不等式的解集为(－1,1)．

思维升华　函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；

若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称．

跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　)

A．f(－1)<f(1)<f(2)

B．f(1)<f(2)<f(－1)

C．f(2)<f(－1)<f(1)

D．f(－1)<f(2)<f(1)

答案　D

解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，

所以f(x)的对称轴为x＝1，

又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1)．

(2)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为(　　)

A．2  B．3  C．4  D．－1

答案　C

解析　根据f(1＋x)＝f(－x)可知，f(x)的图象关于x＝对称，

那么求函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和，即求函数f(x)在[1,3]上的最大值与最小值