第二章 §2.4 函数的对称性（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§2.4　函数的对称性 考试要求　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题． 知识梳理 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． (2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)． 2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称． 3．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　√　) (2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．(　×　) (3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(　×　) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　√　) 教材改编题 1．函数f(x)＝图象的对称中心为(　　) A．(0,0) B．(0,1) C．(1,0) D．(1,1) 答案　B 解析　因为f(x)＝＝1＋，由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋，又y＝关于(0,0)对称， 所以f(x)＝1＋的图象关于(0,1)对称． 2．已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为________． 答案　f(－4)>f(1) 解析　∵f(－2－x)＝f(－2＋x)， ∴f(x)关于直线x＝－2对称， 又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减， ∴f(－4)＝f(0)>f(1)， 故f(－4)>f(1)． 3．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________. 答案　5 解析　∵f(x)为偶函数， ∴f(－1)＝f(1)， 由f(x)的图象关于x＝2对称， 可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5. 题型一　轴对称问题 例1　(1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2 023)等于(　　) A．－2 B．2 C．0 D．－4 答案　B 解析　定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)， 故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(x)＝f(2－x)， 故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数． 则f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2. (2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________． 答案　(－1,1) 解析　∵f(x＋2)是偶函数， ∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝2对称， 又f(x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在(－∞，2]上单调递增． 又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)， ∴－x2>－1，即x2<1， ∴－1<x<1， ∴原不等式的解集为(－1,1)． 思维升华　函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称． 跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　) A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(－1)<f(2)<f(1) 答案　D 解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0， 所以f(x)的对称轴为x＝1， 又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1)． (2)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为(　　) A．2 B．3 C．4 D．－1 答案　C 解析　根据f(1＋x)＝f(－x)可知，f(x)的图象关于x＝对称， 那么求函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和，即求函数f(x)在[1,3]上的最大值与最小值之和， 因为f(x)＝log2(3x－1)在上单调递增，所以最小值与最大值分别为f(1)＝1，f(3)＝3，f(1)＋f(3)＝4. 题型二　中心对称问题 例2　(1)(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)＝f(－x) B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0 C．f(3)＝f(5) D．f(x＋2)＝f(x－2) 答案　ABC 解析　因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确； 因为f(x)的图象关于点(2,0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于(2,0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确； 由f(2＋x)＋f(2－x)＝0， 令x＝1，则f(3)＝－f(1)，令x＝3，则f(5)＝－f(－1)＝－f(1)，则f(3)＝f(5)，故C正确； 由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误． (2)已知函数f(x)满足f(－x)＋f(x＋2)＝0，若函数y＝f(x)－有6个零点，则6个零点的和为________． 答案　6 解析　∵f(－x)＋f(x＋2)＝0， ∴f(x)的图象关于点(1,0)对称， 又y＝的图象关于点(1,0)对称， ∴函数y＝f(x)－(x≠1)的图象关于点(1,0)对称， 该函数的零点之和为2×3＝6. 思维升华　函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称． 跟踪训练2　(1)函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于(　　) A．点(－2,0)对称 B．直线x＝－2对称 C．点(2,0)对称 D．直线x＝2对称 答案　C 解析　∵f(x)＝ex－2－e2－x，∴f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x， f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex， 所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0， 因此，函数f(x)的图象关于点(2,0)对称． (2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b等于(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 答案　C 解析　∵f(x)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)＋f(2－x)＝0， 又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b ＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b， ∴f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0， ∴ 解得a＝－3，b＝1. 题型三　两个函数图象的对称 例3　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3,0)对称 答案　A 解析　设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上， 而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称． 思维升华　函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称． 跟踪训练3　设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象(　　) A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于直线x＝1对称 D．关于直线y＝1对称 答案　C 解析　A选项，函数y＝f(x－1)关于y轴对称的函数为y＝f(－x－1)≠f(1－x)，故A错误； B选项，函数y＝f(x－1)关于x轴对称的函数为y＝－f(x－1)≠f(1－x)，故B错误； C选项，函数y＝f(x－1)关于直线x＝1对称的函数为y＝f(2－x－1)＝f(1－x)，故C正确； D选项，函数y＝f(x－1)关于直线y＝1对称的函数为y＝2－f(x－1)≠f(1－x)，故D错误． 课时精练 1．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(　　) A．(－1,2) B．(1,2) C．(－1，－2) D．(－2,1) 答案　A 解析　函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2)． 2．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于(　　) A．1 B．2 C．0 D．－2 答案　B 解析　函数y＝2|x|的图象关于y轴对称， 将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象， 所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2. 3．已知奇函数f(x)的图象关于x＝1对称且f(5)＝1，则f(2 025)等于(　　) A．－1 B．1 C．0 D．3 答案　B 解析　f(x)的图象关于x＝1对称， ∴f(－x)＝f(x＋2)， 又f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(2 025)＝f(1)＝f(5)＝1. 4．(2023·郑州质检)若函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，则下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x＋1)＋1 C．f(x)－1 D．f(x)＋1 答案　C 解析　∵f(－x)＋f(x)＝2， ∴f(x)的图象关于(0,1)对称， 将y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得函数y＝f(x)－1的图象，该图象关于(0,0)对称， ∴y＝f(x)－1为奇函数． 5．已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为(　　) A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2) C．(e，e3) D．(e，＋∞) 答案　C 解析　因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2|⇒1<ln x<3，解得e<x<e3. 6．(多选)已知函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(1－x)＝f(1＋x)，则(　　) A．f(0)＝f(2) B．f(－1)<f(4) C．f(2x＋1)<f(1) D．f(x＋1)为偶函数 答案　ABD 解析　由f(1－x)＝f(1＋x)知，函数f(x)关于直线x＝1对称， 所以f(0)＝f(2)，故A正确； 又f(x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在(－∞，1]上单调递减， 因为f(x)关于直线x＝1对称， 所以f(－1)＝f(3)<f(4)，故B正确； 因为1<2x＋1，f(x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以f(1)<f(2x＋1)，故C错误； 因为函数f(x)关于直线x＝1对称， 所以函数f(x＋1)关于直线x＝0对称， 即函数f(x＋1)关于y轴对称， 所以f(x＋1)为偶函数，故D正确． 7．与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________． 答案　y＝e2－x 解析　f(x)＝ex关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x， 即y＝e2－x. 8．(2022·江苏七市联考)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________. ①f(x)是定义域为R的奇函数； ②f(1＋x)＝f(1－x)； ③f(1)＝2. 答案　2sin x(答案不唯一) 解析　由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin x. 9．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>； (2)求函数g(x)＝图象的对称中心． 解　(1)对任意的x∈R,2x＋2－x>0，故函数f(x)的定义域为R， 又因为函数f(x)＝为奇函数，则f(0)＝＝0，解得a＝1， 所以f(x)＝，下面验证函数f(x)＝为奇函数， f(－x)＝＝－f(x)，故函数f(x)＝为奇函数， 由f(x)＝＝＝>，得2·4x>4，即22x＋1>22， 所以2x＋1>2，解得x>， 因此不等式f(x)>的解集为. (2)g(x)＝＝， 则g(－x)＝， 所以g(x)＋g(－x)＝＝2， 因此函数g(x)＝图象的对称中心为(0,1)． 10．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数． (1)若f(x)＝x3－3x2.求此函数图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论． 解　(1)设函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b， 则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b， 即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b， 即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b. 整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故解得 所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2)． (2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数． 11．(多选)(2023·哈尔滨模拟)设函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，则下面结论成立的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)＝f(x＋8) D．f(x＋6)为奇函数 答案　CD 解析　因为f(x＋2)，f(x－2)都为奇函数，即f(x)的图象关于(－2,0)和(2,0)对称，所以f(－x)＋f(4＋x)＝0，f(－x)＋f(－4＋x)＝0，所以f(－4＋x)＝f(4＋x)，所以f(x)＝f(8＋x)，因为f(x－2)＝－f(－x－2)， 所以f(x－2＋8)＝－f(－x－2＋8)，即f(x＋6)＝－f(－x＋6)，所以f(x＋6)为奇函数． 12．已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝|x2－4x－5|与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝________. 答案　2n 解析　因为f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称， 又因为函数f(x＋2)向右平移2个单位长度得到函数f(x)的图象， 所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称， 因为y＝|x2－4x－5|＝|(x－2)2－9|， 所以函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称， 所以x1＋x2＋…＋xn＝·4＝2n. 13．已知函数f(x)＝则此函数图象上关于原点对称的点有(　　) A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 答案　B 解析　作出函数y＝f(x)的图象，如图所示， 再作出－y＝f(－x)，记为曲线C， 由图象可知，满足条件的对称点只有一对，图中的A，B就是符合题意的点． 14．已知函数f(x)＝则满足f(2＋log4x)>f(1－log4x)的x的取值范围是(　　) A. B. C．(0,2) D．(2，＋∞) 答案　A 解析　当x≤2时，f(x)＝x－2－4＝22－x－4＝2|x－2|－4， 当x>2时，f(x)＝2x－2－4＝2|x－2|－4， 所以对任意的x∈R，f(x)＝2|x－2|－4， 则f(4－x)＝2|4－x－2|－4＝2|x－2|－4＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称， 因为函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增， 由f(2＋log4x)>f(1－log4x)可得|2＋log4x－2|>|1－log4x－2|， 即|log4x|>|1＋log4x|，不等式|log4x|>|1＋log4x|两边平方得log4x<－，解得0<x<. 学科网（北京）股份有限公司 $$