第二章 §2.3 函数的奇偶性、周期性（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§2.3　函数的奇偶性、周期性

考试要求　1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．

知识梳理

1．函数的奇偶性

 

2.周期性

(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，x±T都有定义，并且f(x±T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．

常用结论

1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　×　)

(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　×　)

(3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　×　)

(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N+)也是函数的一个周期．(　√　)

教材改编题

1．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上(　　)

A．单调递增，且有最小值f(1)

B．单调递增，且有最大值f(1)

C．单调递减，且有最小值f(2)

D．单调递减，且有最大值f(2)

答案　A

解析　偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，

则由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1,2]上单调递增，

即有最小值为f(1)，最大值为f(2)．

对照选项，A正确．

2．已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝________.

答案　－6

解析　因为函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，

所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6.

3．已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝________.

答案　－1

解析　因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，

所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.

题型一　函数奇偶性的判断

例1　(多选)下列函数是奇函数的是(　　)

A．f(x)＝tan x   B．f(x)＝x2＋x

C．f(x)＝   D．f(x)＝ln|1＋x|

答案　AC

解析　对于A，函数的定义域为Error!，且f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数，符合题意；

对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；

对于C, 函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，故函数为奇函数，符合题意；

对于D，函数定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，不符合题意．

思维升华　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件

(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．

跟踪训练1　(多选)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)

A．y＝x＋ex   B．y＝

C．y＝2x＋   D．y＝

答案　AB

解析　记f(x)＝x＋ex，则f(－1)＝－1＋e－1，f(1)＝1＋e，

显然f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，故y＝x＋ex为非奇非偶函数；

y＝的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，

故y＝为非奇非偶函数；

由奇偶性定义易知，y＝2x＋和y＝为偶函数．

题型二　函数奇偶性的应用

命题点1　利用奇偶性求值(解析式)

例2　(1) (2022·十堰模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋ax＋a＋1，则f(－2)等于(　　)

A．－2  B．2  C．－6  D．6

答案　A

解析　因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，

则有f(0)＝a＋1＝0，

解得a＝－1，

当x≥0时，f(x)＝x2－x，则f(－2)＝－f(2)＝－2.