第二章 §2.2 函数的单调性与最值（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§2.2　函数的单调性与最值 考试要求　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义. 2.掌握函数单调性的简单应用． 知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，对∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，就称f(x)是区间I上的增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，就称f(x)是区间I上的减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空子集． (1)如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点． (2)如果有a∈D，使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最小值M＝f(a)，称M为f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点． 常用结论 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)因为f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上是增函数．(　×　) (2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．(　×　) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(　×　) (4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　) 教材改编题 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝x2－1 B．y＝x3 C．y＝2x D．y＝－x＋2 答案　D 2．y＝＋1在[3,4]上的最大值为(　　) A．2 B. C. D．4 答案　A 解析　因为y＝＋1在[3,4]上单调递减， 所以当x＝3时，y取得最大值为＋1＝2. 3．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f 的x的取值范围是________． 答案　 解析　∵f(x)的定义域是[0，＋∞)， ∴2x－1≥0，即x≥， 又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数， ∴2x－1<，即x<， 则x的取值范围为. 题型一　确定函数的单调性 命题点1　函数单调性的判断 例1　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝ 答案　AC 解析　∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数， ∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； 对于选项C，y′＝2－2sin x≥0， ∴y＝2x＋2cos x在(0，＋∞)上单调递增，故C正确； y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确． 命题点2　利用定义证明函数的单调性 例2　证明函数g(x)＝在(1，＋∞)上单调递增． 证明　任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2， 则g(x1)－g(x2)＝－＝， 由于1<x1<x2，∴x1－x2<0，(x1－1)(x2－1)>0， ∴g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)， 故g(x)在(1，＋∞)上单调递增． 思维升华　确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法． 跟踪训练1　(1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) A. B. C．[1，＋∞) D.∪[1，＋∞) 答案　B 解析　g(x)＝x·|x－1|＋1＝画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递减区间为. (2)函数f(x)＝的单调递增区间是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 答案　B 解析　f(x)＝分解为y＝2u和u＝－x2－2x两个函数，y＝2u在R上单调递增， u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减， 根据复合函数单调性得到函数f(x)＝在(－∞，－1)上单调递增． 题型二　函数单调性的应用 命题点1　比较函数值的大小 例3　若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，对任意的x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，有<0，则(　　) A．f(3)<f(1)<f(－2) B．f(3)<f(－2)<f(1) C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(1)<f(－2)<f(3) 答案　B 解析　∵对任意的x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，有<0，∴当x≥0时，函数f(x)单调递减，∴f(3)<f(2)<f(1)，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，f(x)＝f(－x)，∴f(3)<f(－2)<f(1)． 命题点2　求函数的最值 例4　函数f(x)＝x－(x∈[1,2])的最大值为(　　) A．－1 B．1 C. D．2 答案　B 解析　因为函数y＝x，y＝－在区间[1,2]上均单调递增，故函数f(x)在[1,2]上单调递增， 当x∈[1,2]时，f(x)max＝f(2)＝2－1＝1. 命题点3　解函数不等式 例5　函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________． 答案　[－1,1) 解析　依题意⇒－1≤a<1. 所以a的取值范围是[－1,1)． 命题点4　求参数的取值范围 例6　已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(0,1) D．(0,1] 答案　B 解析　因为函数f(x)＝是定义在R上的增函数， 所以解得0<a≤， 所以实数a的取值范围为. 思维升华　(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)的解集是(　　) A．(－2,1) B．(0,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) 答案　C 解析　由函数f(x)＝的图象(图略)可得f(x)在R上单调递增， 则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)等价于x＋2<x2＋2x， 即x2＋x－2>0， 解得x>1或x<－2， 则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． (2)若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________． 答案　[1,2) 解析　f(x)＝＝＝1＋， ∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增， ∴⇒1≤a<2. 课时精练 1．下列函数在R上为增函数的是(　　) A．y＝x2 B．y＝x C．y＝－ D．y＝ 答案　B 解析　y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选项A错误； y＝x在R上为增函数，故选项B正确； y＝－在[0，＋∞)上单调递减，故选项C错误； y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，故选项D错误． 2．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[0,2] D．[0，＋∞) 答案　B 解析　∵y＝|x－2|＝ ∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)， ∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞)． 3．若函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　　) A．(－∞，3] B．(2,3) C．(2,3] D．[3，＋∞) 答案　C 解析　f(x)＝＝2＋， ∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0<≤1， ∴f(x)∈(2,3]． 4．(2023·南通模拟)已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有(　　) A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c) C．f(a)>f(c)>f(b) D．f(c)>f(a)>f(b) 答案　A 解析　因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数， 所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0. 又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0， 所以f(x)在R上单调递增． 又c＝log20.9<0,0<b＝log32<1，a＝50.01>1， 即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c)． 5．(多选)关于函数f(x)＝的结论，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的单调递增区间是[－1,1] B．f(x)的单调递减区间是[1，＋∞) C．f(x)的最大值为2 D．f(x)没有最小值 答案　AC 解析　要使函数有意义，有－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，可知选项B错误； 当x＝－1或x＝3时，－x2＋2x＋3＝0，此时函数有最小值0，可知选项D错误； 令y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，根据复合函数的单调性可知选项A正确； 根据函数的单调性及定义域，可知f(x)max＝f(1)＝2，从而选项C正确． 6．(多选)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　) A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增 B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．当a>0时，f(x)的值域为R 答案　BCD 解析　当a>0时，f(x)＝x－， 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A错误； 又当x→－∞时，f(x)→－∞， 当x→0－时，f(x)→＋∞， ∴f(x)的值域为R，故D正确； 当a＝－4时，f(x)＝x＋， 由其图象(图略)可知，B，C正确． 7．函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________． 答案　(－∞，－3]，[0,3] 解析　由题意得函数f(x)＝ 当x≥0时，函数f(x)＝x2－6x＋8的单调递减区间为[0,3]， 当x<0时，函数f(x)＝x2＋6x＋8的单调递减区间为(－∞，－3]， 综上，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－3]，[0,3]． 8．已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，则f(x)在(0,4)上单调递增”．能说明命题p为假命题的一个函数是________． 答案　f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)(答案不唯一，如f(x)＝只要满足题意即可) 解析　由题意知， f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)， 则函数f(x)的图象在(0,4)上先单调递减再单调递增， 当x＝1时，函数值最小，且f(x)<f(4)，满足题意， 所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)可以说明命题p为假命题． 9．已知函数f(x)＝x|x－4|. (1)把f(x)写成分段函数，并在直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象； (2)写出函数f(x)的单调递减区间． 解　(1)f(x)＝x|x－4| ＝ 函数图象如图所示． (2)由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4)． 10．已知函数f(x)＝a－. (1)求f(0)的值； (2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论． 解　(1)f(0)＝a－＝a－1. (2)f(x)在R上单调递增．证明如下： ∵f(x)的定义域为R， ∴任取x1，x2∈R且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝， ∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2， ∴， ∴－<0,＋1>0,＋1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴f(x)在R上单调递增． 11．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，1] 解析　f(x)＝ 当x≥a时，f(x)单调递增，当x<a时，f(x)单调递减， 又f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以a≤1. 12．设函数f(x)＝x2 022－＋5，则f(x)的单调递增区间为________，不等式f(x－1)<5的解集为________． 答案　(0，＋∞)　(0,1)∪(1,2) 解析　由题意得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数．当x>0时，f(x)＝x2 022－＋5，f(x)单调递增，因此当x<0时，f(x)单调递减．又因为f(1)＝f(－1)＝5，所以由f(x－1)<5可得－1<x－1<0或0<x－1<1，即0<x<1或1<x<2. 13．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f(x)＋x是增函数 B．y＝f(x)＋x是减函数 C．y＝f(x)是增函数 D．y＝f(x)是减函数 答案　A 解析　不妨令x1<x2，∴x1－x2<0， ∵>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1)＋x1<f(x2)＋x2， 令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)<g(x2)， 又x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数． 14．(2022·贵阳模拟)若a＝ln 3，b＝lg 5，c＝log126，则(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．a>c>b 答案　D 解析　∵a＝ln 3>ln e＝1，b＝lg 5<lg 10＝1，c＝log126<log1212＝1， ∴a>b，a>c， ∵lg 5＝＝，log126＝＝， ∴构造函数f(x)＝＝1－(x>0)， 显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又∵0<log25<log26， ∴f(log25)<f(log26)，即lg 5<log126， ∴a>c>b. 学科网（北京）股份有限公司 $$