第二章 §2.2 函数的单调性与最值（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§2.2　函数的单调性与最值

考试要求　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.

2.掌握函数单调性的简单应用．

知识梳理

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

 

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空子集．

(1)如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点．

(2)如果有a∈D，使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最小值M＝f(a)，称M为f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点．

常用结论

1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．

2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．

3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．

4．复合函数的单调性：同增异减．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)因为f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上是增函数．(　×　)

(2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．(　×　)

(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(　×　)

(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　)

教材改编题

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)

A．y＝x2－1   B．y＝x3

C．y＝2x   D．y＝－x＋2

答案　D

2．y＝＋1在[3,4]上的最大值为(　　)

A．2  B.  C.  D．4

答案　A

解析　因为y＝＋1在[3,4]上单调递减，

所以当x＝3时，y取得最大值为＋1＝2.

3．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f 的x的取值范围是________．

答案　

解析　∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，

∴2x－1≥0，即x≥，

又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，

∴2x－1<，即x<，

则x的取值范围为.

题型一　确定函数的单调性

命题点1　函数单调性的判断

例1　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝ex－e－x   B．y＝|x2－2x|

C．y＝2x＋2cos x   D．y＝

答案　AC

解析　∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数，

∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确；

由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；

对于选项C，y′＝2－2sin x≥0，

∴y＝2x＋2cos x在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；

y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确．

命题点2　利用定义证明函数的单调性

例2　证明函数g(x)＝在(1，＋∞)上单调递增．

证明　任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，

则g(x1)－g(x2)＝－＝，

由于1<x1<x2，∴x1－x2<0，(x1－1)(x2－1)>0，

∴g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)，

故g(x)在(1，＋∞)上单调递增．

思维升华　确定函数单调性的四种方法

(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．

跟踪训练1　(1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　　)

A.   B.