第二章 §2.1 函数的概念及其表示（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

§2.1　函数的概念及其表示

考试要求　1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．

知识梳理

1．函数的概念

一般地，设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数，也记作y＝f(x)(x∈A，y∈B)．

2．函数的三要素

(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．

(2)两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等．

3．函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

4．分段函数

一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数．

常用结论

1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．

2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．

3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　×　)

(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．(　×　)

(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．(　×　)

(4)函数f(x)＝Error!的定义域为R.(　√　)

教材改编题

1．(多选)下列所给图象是函数图象的是(　　)

答案　CD

解析　A中，当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；B中，当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；CD中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．

2．下列各组函数表示同一个函数的是(　　)

A．y＝x－1与y＝

B．y＝x－1与y＝－

C．y＝2与y＝2x

D．y＝与v＝

答案　D

解析　y＝x－1的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A不正确；

y＝x－1＝与y＝－的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B不正确；

y＝2＝2|x|与y＝2x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C不正确；

y＝与v＝的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D正确．

3．已知函数f(x)＝Error!则函数f 等于(　　)

A．3  B．－3  C.  D．－

答案　C

解析　由题意可知，f ＝ln ＝－ln 3，所以f ＝f(－ln 3)＝e－ln 3＝.

题型一　函数的定义域

例1　(1)函数y＝的定义域为(　　)

A．(－4，－1)   B．(－4,1)

C．(－1,1)   D．(－1,1]

答案　C

解析　由题意得Error!解得－1<x<1，故定义域为(－1,1)．

(2)已知矩形的周长为定值a，设它的一条边长为x，则矩形面积的函数S＝f(x)的定义域为(　　)

A．(0，＋∞)   B．(0，a)

C．[0，＋∞)   D.

答案　D

解析　边长为x>0，另一条边长为>0，

得x<，所以0<x<，

故f(x)的定义域为.

思维升华　(1)求函数定义域，即求使解析式有意义的自变量x的取值集合；(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成的，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集；(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可；(4)注意不要轻易对解析式化简变形，否则易出现定义域错误．

跟踪训练1　函数f(x)＝＋的定义域为(　　)

A．(1,3]   B．(1,2)∪(2,3]