第一章 必刷小题1 集合、常用逻辑用语、不等式（教师用书word）-【步步高】2024年高考数学大一轮复习讲义（ 湘教版 甘肃专用）

必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式 一、单项选择题 1．(2023·咸阳模拟)已知集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|2x2－5x－3<0}，那么集合A∩B等于(　　) A．{－1,0,1,2} B．{0,1,2,3} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2,3} 答案　C 解析　因为B＝{x|2x2－5x－3<0}＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}＝， 故A∩B＝{0,1,2}． 2．设集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}，则集合A的子集个数为(　　) A．16 B．32 C．15 D．31 答案　B 解析　因为集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}＝{1,2,3,4,5}， 所以集合A的子集个数为25＝32. 3．(2022·百师联盟联考)命题“∀x>0，cos x>－x2＋1”的否定是(　　) A．∀x>0，cos x≤－x2＋1 B．∀x≤0，cos x>－x2＋1 C．∃x>0，cos x≤－x2＋1 D．∃x≤0，cos x≤－x2＋1 答案　C 4．(2023·长沙模拟)已知p：>1；q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，1] 答案　C 解析　由>1，可得x(x－1)<0，解得0<x<1， 记A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}， 若p是q的充分条件， 则A是B的子集，所以m≤0， 所以实数m的取值范围是(－∞，0]． 5．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则ab的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．6 答案　D 解析　因为关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为， 则a<0，－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的根． 由根与系数的关系，得－＝－1＋，＝－1×， 解得a＝－3，b＝－2，故ab＝6. 6．(2023·衡水质检)已知实数x，y，z满足x>y，z>0，则下列不等式恒成立的是(　　) A.－>0 B.－<0 C．x2z－y2z>0 D．xz>yz 答案　D 解析　令x＝2，y＝1，z＝1，则－＝－，即－<0，所以A选项错误； 令x＝1，y＝－1，z＝1，则－＝2，即－>0，所以B选项错误； 令x＝－1，y＝－2，z＝1，则x2z－y2z＝－3<0，所以C选项错误； 因为xz－yz＝(x－y)z，由x>y，z>0得xz－yz>0，即xz>yz，所以D选项正确． 7．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，对于x∈S，如果x＋1∉S，x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有(　　) A．5个 B．6个 C．9个 D．12个 答案　B 解析　若由S的3个元素构成的集合中不含“好元素”，则这3个元素一定是连续的3个整数， 故不含“好元素”的集合有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个． 8．已知a>b，ax2＋4x＋b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x∈R，使ax2＋4x＋b＝0成立，则的最小值为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 答案　D 解析　由题意 所以ab＝4，a>0，从而b>0， 又a>b，则a－b>0， ＝＝a－b＋ ≥2＝4， 当且仅当a－b＝，即a－b＝2时等号成立， 此时a＝＋，b＝－. 二、多项选择题 9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2x>1}，则(　　) A．A∩(∁UB)＝∅ B．A∪B＝A C．A⊆B D．B⊆A 答案　AC 解析　∵A＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)， B＝{x|2x>1}＝(0，＋∞)， ∴A∩(∁UB)＝∅，A∪B＝B，A⊆B， 故AC正确，BD错误． 10．以下命题中是真命题的是(　　) A．∃x∈R，使ex<x＋1成立 B．∀θ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋θ)都不是偶函数 C．“a，b∈R，a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件 D．“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件 答案　CD 解析　设f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1， 当x＝0时，函数f′(x)＝0，当x<0时，f′(x)<0， 当x>0时，f′(x)>0， 故在x＝0时函数f(x)取得最小值，f(0)＝0， 所以f(x)＝ex－x－1≥f(x)min＝f(0)＝0， 即∀x∈R，ex≥x＋1，故A错误； 当x＝时f(x)＝sin＝cos 2x， 故函数f(x)为偶函数，故B错误； 当a>b>0时，等价于a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0， 当0>a>b时，等价于－a2＋b2＝－(a＋b)(a－b)>0， 当a>0>b时，等价于a2＋b2>0， 反之同样成立，故C正确； “x∈A∩B”⇒“x∈A”，“x∈A”⇏“x∈A∩B”，则“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件，故D正确． 11．(2022·莆田质检)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)与圆C：x2＋y2＝1相切，则下列说法正确的是(　　) A．ab≥ B．ab≤ C.＋≥4 D.2≤ 答案　BCD 解析　因为直线l：ax＋by＋1＝0与圆C：x2＋y2＝1相切， 所以圆心C(0,0)到直线l的距离等于1， 即＝1，即a2＋b2＝1，且a>0，b>0， 因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1， 所以ab≤＝，即A错误，B正确； 因为a2＋b2＝1， 所以＋＝＋＝2＋＋ ≥2＋2＝4 ，即C正确； 因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1， 所以2＝≤＝ (当且仅当a＝b时取等号)，即D正确． 12．已知实数a，b，c满足a>b>1，c<0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a2>b2>c2 B．a－ac>b－bc C.c>1 D．loga(a－c)<logb(b－c) 答案　BCD 解析　对于A，取a＝2.5，b＝2，c＝－3，即可判断选项A错误； 对于B，因为a>b，c<0，所以ac<bc， 即－ac>－bc，所以a－ac>b－bc，故选项B正确； 对于C，因为a>b>1，所以0<<1， 又因为c<0，所以c>0＝1，故选项C正确； 对于D，原不等式等价于loga(a－c)－1<logb(b－c)－1， 即loga<logb， 因为a>b>1，所以0<<<1， 又因为c<0，所以0<－<－， 所以1<1－<1－， 又因为a>b>1，所以logba>1， 所以loga<loga ＝<logb，故选项D正确． 三、填空题 13．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，若集合B＝{x|x≤a}满足A⊆B，则实数a的取值范围为________． 答案　[2，＋∞) 解析　∵A＝{x|－2≤x≤2}≠∅，A⊆B， ∴A与B的关系如图， ∴a≥2. 14．设p：实数x满足(x－3a)(x－a)<0，q：实数x满足≤0.当a<0时，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________． 答案　[－2，－1) 解析　由≤0，得 解得－3≤x<－2， 即q：B＝{x|－3≤x<－2}， 因为a<0，由(x－3a)(x－a)<0，得3a<x<a， 即p：A＝{x|3a<x<a}， 若p是q的必要条件，则q⇒p， 所以B⊆A， 所以即－2≤a<－1. 15．下列命题中，真命题的序号是________． ①∃x∈R，sin x＋cos x＝； ②若p：<0，则綈p：≥0； ③lg x>lg y是>的充要条件； ④△ABC中，边a>b是sin A>sin B的充要条件； ⑤“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件． 答案　④ 解析　对①，∵sin x＋cos x＝sin≤，>，故①为假命题； 对②，命题p：<0，解得0<x<1，所以綈p：{x|x≤0或x≥1}，而≥0的解集为{x|x≤0或x>1}，故②为假命题； 对③，当x＝1，y＝0时，满足>，但lg x>lg y不成立，故③为假命题； 对④，根据正弦定理＝可得，边a>b是sin A>sin B的充要条件，故为真命题； 对⑤，满足函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数的a的取值范围为a≤2，故“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故⑤为假命题． 16．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为________． 答案　[－1,0)∪(8,9] 解析　不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k<0或k>8， 设x2－kx＋2k＝0的两根分别为x1，x2，不妨令x1<x2，则x1＋x2＝k，x1x2＝2k， 由题意得x2－x1＝＝≤3，解得－1≤k≤9，结合k<0或k>8，所以实数k的取值范围为[－1,0)∪(8,9]． 学科网（北京）股份有限公司 $$